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最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,第3讲 平面向量的数量积,1平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则数 量_ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作ab，即 ab_，规定零向量与任一向量的数量积为0， 即0a0. (2)几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积,知 识 梳 理,|a|b|cos ,|a|b|cos ,|b|cos ,2平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角 (1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.,3平面向量数量积的运算律 (1)abba(交换律) (2)ab(ab)a(b)(结合律) (3)(ab)cacbc(分配律),诊 断 自 测,答案 A,解析 因为2a3b(2k3，6)，由(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得k3，选C. 答案 C,答案 90,5(人教A必修4P104例1改编)已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的投影为_ 解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为： |b|cos 4cos 1202. 答案 2,深度思考 对于第(2)小题同学们首先想到的方法是什么？这里提醒同学们此题可有三种解法：法一利用定义；法二利用向量的坐标运算；法三利用数量积的几何意义，你不妨试一试,(2)法一 如图，,答案 (1)10 (2)1 1,规律方法 (1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加减运算或数量积的运算律化简再运算但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补,答案 (1)6 (2)25,考点二 平面向量的夹角与垂直 【例2】 (1)平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_,【训练2】 (1)已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是_ (2)已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b.若bc0，则t_,(2)以D为原点，分别以DA，DC所在直线为 x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 设DCa，DPx， D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)， P(0，x),思想方法 1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用 2利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧,易错防范 1(1)0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系 2ab0不能推出a0或b0，因为ab0 时，有可能ab. 3在运用向量夹角时，注意其取值范围0，,
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