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3.8 正弦定理和余弦定理的应用,1.仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线 的角叫仰角,在水平线 的角叫俯角(如图).,2.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）.,上方,下方,【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？ 提示： 三者的参照不同.仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.,3.方向角 相对于某一正方向的水平角（如图) (1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向. (2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.,4.坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）. 坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图，i为坡比）. 【思考探究】 2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？ 提示： 利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.,1.（2013沧州模拟)有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长变为（ ） A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 20,【解析】如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160. 在ABD中，由正弦定理得 ，ADAB 【答案】C,2.若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60， 且ACBC，则点A在点B的（ ） A.北偏东15 B.北偏西15 C.北偏东10 D.北偏西10,【解析】如图所示，ACB90， 又ACBC，CBA45， 而30， 90453015. 点A在点B的北偏西15. 【答案】B,【解析】由AC50 m，ACB45，CAB105， CBA30，在ABC中， 由正弦定理可得， 即， AB50 m. 【答案】50 m,【解析】依题意可得AD m，AC m， 又CD50 m，所以在ACD中， 由余弦定理，得cosCAD 又0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45. 【答案】45,测量距离的问题,求距离问题要注意: (1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. (2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,【变式训练】1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA，即可计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45， 求A，B两点间的距离.,【解析】ADCADBCDB60，ACD60， DAC60，ACDC . 在BCD中，DBC45， 由正弦定理，得BC 在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 45 . AB ,A，B两点间的距离为 km.,测量高度问题,测量高度问题一般是利用地面上的观测点,通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决.,【变式训练】2.如图，某人在塔的正东方向上的C处在 与塔垂直的水平面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，的最大值为60. （1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟； （2)求塔的高AB.,【解析】（1)依题意知，在DBC中，BCD30，DBC180DBF18045135， CD6 000 100（米)，D1801353015， 由正弦定理得 BC （米). 在RtABE中，tan ,AB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD. 当BECD时，在RtBEC中， ECBCcosBCE50（ 1) 25（3 )（米). 设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟， 则t （分钟). （2)由（1)知当取得最大值60时，BECD， 在RtBEC中，BEBCsinBCD， ABBEtan 60BCsinBCDtan 60 50（31) 325（3 )（米). 即所求塔高AB为25（3 ) 米.,测量角度问题,测量角度问题也就是通过解三角形求角问题,求角问题可以转化为求该角的函数值.如果是用余弦定理求得该角的余弦,该角容易确定,如果用正弦定理求得该角的正弦,就需要讨论解的情况了.,我国海军在东海举行大规模演习.在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A（31) km的B处有一艘“敌舰”.在A处北偏西75的方向，距离A 2 km的C处的“青岛号”驱逐舰奉命以103 km/h的速度追截“敌舰”.此时，“敌舰”正以10 km/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜， 问“青岛号”沿什么方向能最快追上“敌舰”？,11/17/2019,【方法总结】用解三角形知识解决实际问题的步骤： 第一步：将实际问题转化为解三角形问题； 第二步：将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中. 第三步：用正弦定理和余弦定理解这个三角形. 第四步：将所得结果转化为实际问题的结果.,3. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距 20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，接到信号后乙船朝北偏东方向沿直线前往B处救援，问的正弦值为多少？,1.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意 分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图. (3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解.演算过程中,要算法简练,计算正确,并作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义,对解进行取舍.,2.解斜三角形实际应用举例 (1)常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. (2)解题时需注意的几个问题 要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角； 要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决. (3)解题的基本思路 运用正、余弦定理处理实际测量中的距离、高度、角度等问题，实质是数学知识在生活中的应用.要解决好，就要把握如何把实际问题数学化，也就是一个抽象、概括的问题，即建立数学模型.,从近两年的高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查.,（2013江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速 直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35. （1)求索道AB的长. （2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？,【规范解答】（1)在ABC中，因为cos A ，cos C ， 所以sin A ，sin C . 从而sin Bsin（AC)sin（AC) sin Acos Ccos Asin C 由正弦定理， 得AB sin C 1 040（m). 所以索道AB的长为1 040 m.,（2)假设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得 d2（10050t)2（130t)22130t（10050t) 200（37t270t50). 由于0t ，即0t8， 故当t （min)时，甲、乙两游客距离最短. （3)由正弦定理 ，得BC sin A 500（m乙从B出发时，甲已走了50（281)550（m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，由题意得3 3， 解得 v ，所以为使两位游客在C处互相 等待的时间不超过3 min， 乙步行的速度应控制在 （单位：m/min)范围内.,【阅后报告】（1）本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可. （2）三角形问题求解中函数建模思想的常见类型： 利用余弦定理转化为长度关于某一未知数的函数. 由面积公式S=12absin C转化为面积S关于角的三角函数的函数. 由正弦定理转化为边的长度关于某一三角形内角的函数.,1.（2014四川卷） 如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度是60 m，则河流的宽度BC等于（) A.240（ 1) m B.180（ 1) m C.120（ 1) m D.30（ 1) m,【解析】由题意可知，AC 120. BAC753045，ABC1804530105， 所以sinABCsin 105sin（6045) sin 60cos 45cos 60sin 45 在ABC中，由正弦定理得， 于是BC （m).故选C. 【答案】C,2.（2014全国新课标卷） 如图，为测量山高MN， 选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45，以及MAC75，从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN m.,【解析】在RtABC中，BC100，CAB45， 所以AC1002. 在MAC中，MAC75，MCA60， 所以AMC45，由正弦定理有， 即AM 于是在RtAMN中，有MNsin 60100 150. 【答案】150,3.（2013福建卷)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP ，点M在线段PQ上. （1)若OM ，求PM的长； （2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值.,【解析】（1)在OMP中，OPM45，OM ，OP ，由余弦定理，得OM2OP2MP2OPMPcos 45，得MP24MP30，解得MP1或MP3. （2)设POM，060.在OMP中，由正弦定理，得 所以OM， 同理ON 故SOMN OMONsin MON,因为060，则30230150，所以当30时， sin（230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值 .即POM30时，OMN的面积的最小值为,
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