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第2讲 导数在研究函数中的应用,考试要求 1.函数单调性与导数的关系，A级要求；2.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求；3.函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，A级要求；4.利用导数求函数的极大值、极小值，闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)，B级要求,知 识 梳 理 1函数的导数与单调性的关系 函数yf(x)在某个区间内可导，则 (1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内 (2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内 (3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是 ,单调递增,单调递减,常数函数,2函数的极值与导数,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,3. 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的 将函数yf(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值， 的一个是最小值,连续不断,极值,端点处的函数值f(a)，f(b),最小,诊 断 自 测 1思考辨析(在括号中打“”或“”) (1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件 ( ) (2)函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (3)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件 ( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值 ( ),2.(2015北京海淀区模拟)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是_ 答案 (0,1),3(苏教版选修22P34T8(2)改编)函数f(x)x33x22在区间1,1上的最大值是_ 解析 f(x)3x26x，令f(x)0，得x0或x2. f(x)在1,0)上是增函数，f(x)在(0,1上是减函数 f(x)maxf(x)极大值f(0)2. 答案 2,4如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为_ 解析 由题意知在x1处f(1)0，且其左右两侧导数符号左负右正 答案 1,5(2014新课标全国卷改编)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是_ 答案 1，),考点一 利用导数研究函数单调性 【例1】 已知f(x)ln xax. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)在(1,2)上单调递减，求实数a的范围,规律方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到,考点二 利用导数求函数的极值 【例2】 (2013重庆卷)设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6) (1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值,规律方法 利用导数研究函数极值的一般步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f(x)；(3)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检验f(x)在方程根左右侧值的符号，求出极值(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)；若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况，从而求解,【训练2】 设函数f(x)ax32x2xc(a0) (1)当a1，且函数图象过(0,1)时，求函数的极小值； (2)若f(x)在R上无极值点，求a的取值范围,规律方法 (1)不含参数求f(x)在a，b上的最值时，只需把f(x)的极值与端点函数值进行比较其中最大的是最大值，最小的是最小值(2)含参数时，应注意讨论f(x)在相应区间上的单调性，进而求最值,【训练3】 已知函数f(x)(xk)ex. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间0,1上的最小值 解 (1)由题意知f(x)(xk1)ex. 令f(x)0，得xk1. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下： 所以f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，),(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k； 当0k11，即1k2时， f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1； 当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减， 所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e. 综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k； 当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1； 当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k)e.,思想方法 1最值与极值的区别与联系 (1)“最值”是整体概念，是比较整个定义域或区间内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性 (2)从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的，而极值不唯一 (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有,2求极值、最值时，要求步骤规范；含参数时，要按一定标准讨论参数 3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较,易错防范 1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行 2求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论 3解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.,
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