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最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题,第6讲 离散型随机变量的均值与方差,1离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 (1)均值 称E(X)_为随机变量X的均值或_，它反映了离散型随机变量取值的_,知 识 梳 理,x1p1x2p2xipixnpn,数学期望,平均水平,2均值与方差的性质 (1)E(aXb)_ (2)D(aXb)_ (a，b为常数) 3两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)_ (2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)_,平均偏离程度,标准差,aE(X)b,a2D(X),p(1p),np(1p),1判断正误(请在括号中打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)期望值就是算术平均数，与概率无关 ( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定 ( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小 ( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事 ( ),诊 断 自 测,2已知某一随机变量X的分布列如下，且E(X)6.3，则a的值为 ( ) A.5 B6 C7 D8 解析 由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4. E(X)40.5a0.190.46.3.a7. 答案 C,3(2014陕西卷)设样本数据x1，x2，x10的均值和方差分别为1和4，若yixia(a为非零常数，i1，2，10)，则y1，y2，y10的均值和方差分别为 ( ) A1a，4 B1a，4a C1，4 D1，4a 解析 将每个数据都加上a后均值也增加a，方差不变，故选A. 答案 A,A5 B8 C10 D16 答案 B,5(人教A选修23P69B1改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为_,考点一 离散型随机变量的均值与方差 【例1】 (2013浙江卷)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分 (1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量X为取出此2球所得分数之和，求X的分布列；,所以X的分布列为,(2)由题意知Y的分布列为,规律方法 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算(2)注意性质的应用：若随机变量X的均值为E(X)，则对应随机变量aXb的均值是aE(X)b，方差为a2D(X),【训练1】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1，2，3，4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号 (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值 解 (1)X的分布列为,考点二 与二项分布有关的均值、方差,(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？,(2)法一 设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2),法二 设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为Y1，都选择方案乙所获得的累计得分为Y2，则Y1，Y2的分布列为：,规律方法 求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果XB(n，p)，则用公式E(X)np；D(X)np(1p)求解，可大大减少计算量,【训练2】 (2014辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示,将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X) 解 (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此,P(A1)(0.0060.0040.002)500.6， P(A2)0.003500.15， P(B)0.60.60.1520.108.,分布列为 因为XB(3，0.6)，所以数学期望E(X)30.61.8， 方差D(X)30.6(10.6)0.72.,考点三 均值与方差在决策中的应用 【例3】 (2014湖北卷)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立 (1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；,(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系： 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？,(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元) 安装1台发电机的情形 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000. 安装2台发电机的情形 依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下 所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.,安装3台发电机的情形 依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1.因此得Y的分布列如下 所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2台,规律方法 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定,【训练3】 某投资公司在2015年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：,针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由 解 若按“项目一”投资，设获利为X1万元则X1的分布列为,若按“项目二”投资，设获利X2万元， 则X2的分布列为：,所以E(X1)E(X2)，D(X1)D(X2)， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资,微型专题 概率的创新题型 近年来，概率统计已成为高考的重点、热点注意考查学生分析数据，提取信息，解决实际问题的应用能力它可以与其他知识相互融合，形成一些背景、样式新颖的题型,【例4】 (2013四川卷)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1，2，3，24这24个整数中等可能随机产生,(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i1，2，3)； (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i1，2，3)的频数以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据 甲的频数统计表(部分),乙的频数统计表(部分) 当n2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；,(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数X的分布列及数学期望 点拨 (1)运行程序框图，分别数出输出y的值为1，2，3的数的个数，即事件包含的基本事件个数，利用古典概型公式求解 (2)利用已知条件中频数统计表得出各小组频数，利用频率公式得频率，再与(1)的结论比较，得出结论,(2)当n2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1，2，3)的频率如下：,比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大,故X的分布列为,点评 (1)本题将程序框图，古典概型，独立重复试验及随机变量分布列结合起来考查，具有一定的综合性，同时形式也比较新颖(2)本题注重考查学生的识图，用图能力，数据处理能力，分析问题解决问题的能力等基本能力.,思想方法 1掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便： (1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)， D(aXb)a2D(X)； (2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p) 2基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；,(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解； (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解 易错防范 1在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式 2对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差,
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