资源描述
最新考纲 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理； 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一 些简单的实际问题.,第1讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,1分类加法计数原理 完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N_种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N_种不同的方法,知 识 梳 理,m1m2mn,m1m2mn,3分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成,1判断正误(请在括号中打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 ( ) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 ( ) (3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成 ( ) (4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i1，2，3，n)，那么完成这件事共有m1m2m3mn种方法 ( ),诊 断 自 测,2从集合1，2，3，10中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为 ( ) A3 B4 C6 D8 解析 以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9； 以2为首项的等比数列为2，4，8； 以4为首项的等比数列为4，6，9； 把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列， 所求的数列共有2(211)8(个) 答案 D,4现有4种不同颜色要对如图所示的四个部 分进行着色，要求有公共边界的两块不 能用同一种颜色，则不同的着色方法共 有 ( ) A24种 B30种 C36种 D48种 解析 按ABCD顺序分四步涂色，共有432248(种) 答案 D,5(人教A选修23P13B2改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有_种 解析 每位同学都有2种报名方法，因此，可分五步安排5名同学报名，由分步乘法原理，总的报名方法共2222232(种) 答案 32,考点一 分类加法计数原理的应用 【例1】 (1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ( ) A4种 B10种 C18种 D20种 (2)满足a，b1，0，1，2，且关于x的方程ax22xb0有实数解的有序数对(a，b)的个数为 ( ) A14 B13 C12 D9,当a0时，则方程有实根，44ab0，所以ab1.(*) ()当a1时，满足(*)式的b1，0，1，2有4种 ()当a1时，b1，0，1，有3种可能 ()当a2时，b1，0，有2种可能 由分类加法计数原理，有序数对(a，b)共有4432 13(个) 答案 (1)B (2)B,规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词或关键元素、关键位置首先根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类(即标准明确，不重不漏),【训练1】 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 ( ) A10 B11 C12 D15,答案 B,考点二 分步乘法计数原理的应用 【例2】 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加) (1)每人恰好参加一项，每项人数不限； (2)每项限报一人，且每人至多参加一项； (3)每项限报一人，但每人参加的项目不限 解 (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理， 知共有选法36729(种),(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法654120(种) (3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63216(种),规律方法 利用分步乘法计数原理解决问题：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的(2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成任务，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数,【训练2】 (1)(2014商洛一模)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花 ( ) A3 360元 B6 720元 C4 320元 D8 640元 (2)用0，1，2，3，4，5可组成无重复数字的三位数的个数为_个,解析 (1)从01至10中选3个连续的号共有8种选法；从11至20中选2个连续的号共有9种选法；从21至30中选1个号有10种选法；从31至36中选一个号有6种选法，由分步乘法计数原理知共有891064 320(种)选法，至少需花4 32028 640(元) (2)可分三步给百、十、个位放数字，第一步：百位数字共5种放法；第二步：十位数字有5种放法；第三步：个位数字有4种放法根据分步乘法计数原理，三位数个数为554100(个) 答案 (1)D (2)100,考点三 两个计数原理的综合应用 【例3】 将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解 法一 设想染色按SABCD的顺序进行，对S，A，B染色，有54360(种)染色方法 由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：,C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一)，D应与A(C)，S 不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种可选择的颜 色，D也有2种颜色可供选择从而对C、D染色有13 227(种)染色方法 由乘法原理，总的染色方法有607420(种),规律方法 (1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数原理(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化,【训练3】 如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275等)，那么所有凸数的个数为 ( ) A240 B204 C729 D920 解析 若a22，则“凸数”为120与121，共122个若a23，则“凸数”有236个若a24，满足条件的“凸数”有3412个，若a29，满足条件的“凸数”有8972个所有凸数有26122030425672240(个) 答案 A,思想方法 1应用分类加法计数原理要注意以下三点： (1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事 (2)完成这件事的n类办法是相互独立的，无论哪种办法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他办法 (3)确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类办法，不同类的任意两种方法是不同的方法，这是分类问题中所要求的“不重复”、“不遗漏”,2使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的 (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整个事件才算完成，这是分步的基础，也是关键从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数 (3)解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以重复选取,易错防范 1切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行 2分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步 3确定题目中是否有特殊条件限制.,
展开阅读全文