资源描述
第九节 离散型随机变量的均值 与方差、正态分布,最新考纲展示 1理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 2.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,一、均值 1一般地，若离散型随机变量X的分布列为,则称E(X) 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 2若YaXb，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aXb) . 3(1)若X服从两点分布，则E(X) . (2)若XB(n，p)，则E(X) .,x1p1x2p2xipixnpn,平均水平,aE(X)b,p,np,二、方差 1设离散型随机变量X的分布列为,三、正态分布 1正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴 ，与x轴不相交 (2)曲线是单峰的，它关于直线 对称 (3)曲线在 处达到峰值 . (4)曲线与x轴之间的面积为 . (5)当一定时，曲线随着的变化而沿x轴平移 (6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“_”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“ ”，表示总体的分布越 ,上方,x,x,1,瘦高,矮胖,分散,2正态分布的三个常用数据 (1)P(X) . (2)P(2X2) . (3)P(3X3) .,0.682 6,0.954 4,0.997 4,一、离散型随机变量的均值与方差 1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关( ) (2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定( ) (3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小( ) (4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事( ) (5)(教材习题改编)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7，方差是0.21.( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5),2已知X的分布列为,答案：C,3有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件若X表示取到次品的个数，则E(X)_.,答案：A,5某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布N(100,102)，已知P(90100)0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为_,答案：10,例1 (1)设随机变量服从正态分布N(1，2)，若P(2)0.8，则P(01)的值为( ) A0.2 B0.3 C0.4 D0.6 (2)(2014年合肥模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，P(4)0.84，则P(0)( ) A0.16 B0.32 C0.68 D0.84 (3)已知某县农民的月均收入服从正态分布N(1 000，402)，且P(9201 080)0.954 4，则此县农民月均收入在1 000元到1 080元之间的人数的百分比为_,正态分布(自主探究),解析 (1)P(04)1P(4)0.16.,答案 (1)B (2)A (3)47.72 %,规律方法 求正态总体在某个区间内取值的概率时应注意： (1)熟记P(X)，P(2X2)， P(3X3)的值 (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上概率相等 P(Xa)1P(Xa)，P(Xa)P(Xa),例2 (2014年高考江苏卷)盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同 (1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P； (2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数求X的概率分布和数学期望E(X) 解析 (1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，,离散型随机变量的均值与方差(师生共研),所以随机变量X的概率分布如下表：,规律方法 求解该类问题，首先要理解问题的关键，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算，也就是要过“三关”：阅读理解关概率计算关公式应用关，如方差、均值公式要准确理解、记忆,1(2015年南昌质检)如图，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,1,0)，B2(0，2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V0) (1)求V0的概率； (2)求V的分布列及数学期望E(V),因此V的分布列为,例3 (2014年高考福建卷)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额 (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： 顾客所获的奖励额为60元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望,均值与方差的应用(师生共研),(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由,即X的分布列为,所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540(元) (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案 对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.,对于面值由20元和40元组成的情况，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为,对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为,规律方法 (1)解决实际应用问题时，关键是正确理解随机变量取每一个值时所表示的具体事件 (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定,(1)现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率； (2)若用X表示该班某一位同学收看的环节数，求X的分布列与期望,即X的分布列,
展开阅读全文