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1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件,1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题.其中 的 语句叫真命题, 的语句叫假命题.,判断真假,判断为真,判断为假,2.四种命题及其关系 (1)四种命题间的逆否关系,(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有 的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性 . 【思考探究】 一个命题的“否命题”与“否定”是同一个命题吗？,相同,没有关系,提示: 不是.命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论,而命题的否定仅是否定命题的结论.,3.充分条件与必要条件 (1)如果p q,则p是q的 ,q是p的 ; (2)如果p q,q p,则p是q的 .,充分条件,必要条件,充要条件,1.下列命题是真命题的为 （ ） A.若 = ,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则 = D.若xy,则x2y2,2.(2013北京西城模拟)命题“若ab，则a1b”的逆否命题是（ ） A.如果a1b，则ab B.如果a1b，则ab C.如果a1b，则ab D.如果a1b，则ab,【解析】逆否命题为“若a1b，则ab”. 【答案】C,3. “a0且1b0”是“a+ab0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析： a+ab0即a(1+b)0， 故选A. 答案: A,4.命题“ax22ax30恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是.,5.若关于x的不等式|xm|2成立的充分不必要条件是2x3，则实数m的取值范围是.,【解析】由|xm|3,由此解得1m4， 即实数m的取值范围是（1,4). 【答案】（1,4),命题及其关系与命题的真假判定,在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”和“逆否命题”. 能判断真假的陈述句称之为命题.因此命题有真有假，判断数学命题的真假需要相关的数学知识和推理方法，同时四种命题间有着下列相应的真假结论：即原命题为真，它的逆命题不一定为真，它的否命题也不一定为真，但它的逆否命题一定为真.,分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假： (1)若q1，则方程x2+2x+q=0有实根； (2)若x、y都是奇数，则x+y是偶数； (3)平行四边形是矩形.,解析: (1)原命题是真命题;逆命题:若方程x2+2x+q=0有实根,则q1,真命题;否命题：若q1,则方程x2+2x+q=0无实根,真命题；逆否命题:若方程x2+2x+q=0无实根,则q1,真命题. (2)原命题是真命题;逆命题:若x+y是偶数,则x、y都是奇数，假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，假命题；逆否命题：若x+y不是偶数，则x、y不都是奇数，真命题. (3)原命题：如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形是矩形，假命题；逆命题：如果一个四边形是矩形，那么这个四边形是平行四边形，真命题；否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么这个四边形不是矩形，真命题；逆否命题：如果一个四边形不是矩形，那么这个四边形也不是平行四边形，假命题.,【变式训练】 1.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： (1)面积相等的两个三角形是全等三角形; (2)若x2+y2=0,则实数x、y全为零； (3)若3-2x-x20，则x-1或x3.,解析: (1)原命题是假命题； 逆命题:两个全等三角形的面积相等,真命题； 否命题:面积不相等的两个三角形不是全等三角形,真命题； 逆否命题:两个不全等的三角形的面积不相等,假命题. (2)原命题是真命题； 逆命题:若实数x,y全为零,则x2+y2=0,真命题； 否命题:若x2+y20,则实数x,y不全为零,真命题； 逆否命题:若实数x,y不全为零,则x2+y20,真命题. (3)由3-2x-x20得x2+2x-30， -3x1,原命题是假命题； 逆命题：若x-1，或x3，则3-2x-x20，假命题； 否命题：3-2x-x20，则-1x3，假命题； 逆否命题：若-1x3，则3-2x-x20，假命题.,充分条件与必要条件的判定,充分条件、必要条件、充要条件的判定 (1)定义法 分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论； 找推式：判断“p q”及“ q p”的真假； 下结论：根据推式及定义下结论. (2)等价转化法条件和结论带有否定性词语的命题,常 转化为其逆否命题来判断.,指出下列各小题中,p是q的什么条件. (1)p:(x-2)(x-3)=0,q:x-2=0; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形; (3)p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0; (4)在ABC中,p:AB,q:BCAC.,解析: (1)(x-2)(x-3)=0 x-2=0(可能x-3=0），但 x-2=0 (x-2)(x-3)=0，p是q的必要不充分条件. (2)四边形的对角线相等 四边形是平行四边形,四边形是平行四边形 四边形的对角线相等,p是q的既不充分也不必要条件. (3)(x-1)2+(y-2)2=0 x=1且y=2 (x-1)(y-2)=0,而(x-1)(y-2)=0 (x-1)2+(y-2)2=0.p是q的充分不必要条件. (4)在ABC中,大边对大角,大角对大边.AB BCAC,同时,BCAC AB,p是q的充要条件.,【变式训练】,2.判断下列各题中p是q的什么条件： （1）p:|x|2，q:x2x20； （2）p:直线a2xy+6=0与直线4x(a3)y+9=0 互相垂直,q:a=1; （3）p:cos Acos B，q:A0.,【解析】（1）p:x2或x2；q:x1或x2， p q，但q p，故p是q的充分不必要条件. （2）当且仅当4a2+（a3)=0，即a=1或a=34时， 两条直线互相垂直，即p q，而q p，故p是q的必要不充分条件. （3）由于p q，且q p，故p是q的既不充分也不必要条件. （4）p: 0，p是q的充要条件.,充分条件与必要条件的应用,解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.,已知p：|1- |2, q：x2-2x+1-m20(m0)；且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；并判断是否存在正实数m使得p q成立，为什么？,【变式训练】3.已知全集UR，集合 A ，B （1)当a 时， 求 （ )A； （2)命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围,【解析】（1)当a 时，A B ，（ B)A （2)若q是p的必要条件，即p q，可知B A. a22a，所以Bx|a2，即a 时，Ax|2x3a1， 由 a2， a223a1，解得 a,当3a12，即a 时，A 符合题意； 当3a12，即a 时，Ax|3a1x2， 由 a3a1， a222，解得 a 综上，a,1.对命题正误的判断,正确的命题要加以论证;不一定正确的命题要举出反例,这是最基本的数学思维方式.在判断命题正误的过程中,要注意简单命题与复合命题之间的真假关系;要注意命题四种形式之间的真假关系. 2.在充分条件、必要条件和充要条件的判断过程中，可利用图示这种数形结合的思想方法；在证明充要条件时，首先要弄清充分性和必要性. 3.特殊情况下如果命题以p:xA,q:xB的形式出现，则有： （1）若A B，则p是q的充分条件; （2）若B A，则p是q的必要条件； （3）若A=B，则p是q的充要条件.,从近两年的高考试题看,充要条件的判定、判断命题的真假等是高考的热点.题型以选择题、填空题为主，分值为5分，属中低档题目.本节知识常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等有关知识相结合，考查学生对函数的有关性质、不等式的解法及直线与平面位置关系判定的掌握程度.,（2013安徽卷）“a0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间 (0,+)内单调递增”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【规范解答】当a =0 时， f(x)=|x| y=f(x)在(0,+)上单调递增； 当a0时，f(x)=(-ax+1)x,y=f(x)在(0,+)上单调递增. a0是y=f(x)在(0,+)上单调递增的充分条件. 相反，当y=f(x)在(0,+)上单调递增 a0, a0是y=f(x)在(0,+)上单调递增的必要条件. 故前者是后者的充分必要条件.所以选C. 【答案】C,【阅后报告】 高考对命题的考查，充要条件的判断是重点，常以方程、不等式、函数等代数 知识及几何知识为载体考查；从能力上主要考查推理判断能力和论证能力.涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决.,1.（2014福建卷） 直线l：ykx1与圆O：x2y21相交于A，B两点，则“k1”是“OAB的面积为 ”的（ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件,【解析】由直线l与圆O相交，得圆心O到直线l的距离d 1，解得k0. 当k1时，d ，|AB|2 ，则OAB的面积为 ； 当k1时，同理可得OAB的面积为 ，则“k1”是“OAB的面积为 ”的充分不必要条件. 【答案】A,2.（2014广东卷） 在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的 （ ) A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件,【解析】设R是三角形外切圆的半径，R0，由正弦定理， 得a2Rsin A，b2Rsin B，则ab sin Asin B.故选A. 【答案】A,3.（2013上海卷）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的 （ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件,【解析】便宜没好货，不代表不便宜就有好货，但认为好货一定不便宜，所以是必要条件. 【答案】B,4.（2011新课标全国卷）已知a与b均为 单位向量，其夹角为，有下列四个命题： p1:|a+b|1 0， ） p2:|a+b|1 ( , p3:|a-b|1 (0, ) p4:|a-b|1 ( , 其中的真命题是（ ） A.p1,p4 B.p1,p3 C.p2,p3 D.p3,p4,
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