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第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件,最新考纲 1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义,知 识 梳 理 1四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系,(2)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性 ,相同,没有关系,2充分条件、必要条件与充要条件的概念,充分,必要,充分不必要,必要不充分,充要,既不充分也不必要,答案 C,3(2013福建卷)已知集合A1，a，B1,2,3，则 “a3”是“AB”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 解析 a3时，A1,3，显然AB. 但AB时，a2或3.所以A正确 答案 A,4(2014浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件,解析 因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”“ACBD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“ACBD” “四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“ACBD”的必要条件 综上，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件 答案 A,5(人教A选修11P10练习4改编)下列命题： x2是x24x40的必要不充分条件； 圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； sin sin 是的充要条件； ab0是a0的充分不必要条件 其中为真命题的是_(填序号) 答案 ,答案 A,规律方法 (1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假(3)判断一个命题为假命题可举反例,答案 (1)C (2)D,考点二 充要条件的判定 【例2 】 (1)(2014广东卷)在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“ab”是“sin Asin B”的 ( ) A充分必要条件 B充分非必要条件 C必要非充分条件 D非充分非必要条件 (2)(2015杭州、嘉兴学校联考)ax22x10至少有一个负实根的充要条件是 ( ) A0a1 Ba1 Ca1 D0a1或a0,法二 (排除法)当a0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D； 当a1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B. 答案 (1)A (2)C 规律方法 判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题,解析 (1)令a1，b2，显然ab，但a2b2； “ab”不是“a2b2”的充分条件 令a2，b1，显然a2b2，但ab， “ab”不是“a2b2”的必要条件 “ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件 (2)a(x1,2)，b(2,1)， ab2(x1)212x. 又abab0，2x0，x0. 答案 (1)D (2)D,答案 ,(2)由x22x30，得x3或x1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件故a1. 答案 (1)A (2)A 规律方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象,答案 (1)A (2)0,2,思想方法 1写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定,2命题的充要关系的判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假 (2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法 (3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则“xA”是“xB”的充分条件或“xB”是“xA”的必要条件；若AB，则“xA”是“xB”的充要条件,易错防范 对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.,
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