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第十一节 导数在研究函数中的应用,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)函数的导数与单调性的关系: 函数y=f(x)在某个区间内可导: 若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; 若f(x)0,则f(x)在这个区间内_; 若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是_.,单调递增,单调递减,常数函数,(2)函数的极值与导数: 函数的极小值与极小值点: 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数 值_,且f(a)=0,而且在x=a附近的左侧_,右侧_ _,则a点叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值; 函数的极大值与极大值点: 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值_,且f(b)=0,而且在x=b附近的左侧_,右侧_ _,则b点叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值.,都小,f(x)0,f(x),0,都大,f(x)0,f(x),0,(3)函数的最值与导数: 函数f(x)在a,b上有最值的条件: 如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条_的曲线,那么它必有最大值和最小值. 求y=f(x)在a,b上的最大(小)值的步骤: ()求函数y=f(x)在(a,b)内的_. ()将函数y=f(x)的各极值与_比较,其中_的一个是最大值,_的一个是最小值.,连续不断,极值,端点处的函数值f(a),f(b),最大,最小,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)可导函数f(x)在a,b上是增函数,则有_在a,b上恒成立. (2)可导函数f(x)在a,b上是减函数,则有_在a,b上恒成立.,f(x)0,f(x)0,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:利用导数判断单调性的方法,利用导数求极值、最值的方法. (2)数学思想:分类讨论、数形结合. (3)记忆口诀:导数应用比较广,单调极值及最值; 导数恒正单调增,导数恒负当然减; 求出导数为零点,左增右减极大值; 左减右增是极小,同增同减非极值; 若是加上端点值,最大最小皆晓得.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,那么在区间(a,b)上一定有f(x)0.( ) (2)如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,则函数f(x)在此区间内没有单调性.( ) (3)导数为零的点不一定是极值点.( ) (4)三次函数在R上必有极大值和极小值.( ),【解析】(1)错误.函数f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f(x)0.故f(x)0是f(x)在区间(a,b)上单调递增的充分不必要条件. (2)正确.如果函数在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常数函数.如f(x)=3,则f(x)=0,函数f(x)不存在单调性. (3)正确.导数为零的点不一定是极值点.如函数y=x3在x=0处导数为零,但x=0不是函数y=x3的极值点. (4)错误.对于三次函数y=ax3+bx2+cx+d,y=3ax2+2bx+c.当(2b)2-12ac0,即b2-3ac0时,y=0无实数根,此时三次函数没有极值. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-2P26T1(2)改编)函数f(x)=ex-2x的单调递增区间是 . 【解析】f(x)=ex-2,令f(x)0,解得xln2,则函数f(x)=ex-2x的单调递增区间为(ln2,+). 答案:(ln2,+),(2)(选修2-2P29T2(2)改编)函数f(x)=x3-12x的极大值是_. 【解析】由题意得f(x)=3x2-12,令f(x)=0,解得x=-2或x=2.当x(-,-2)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(-2,2)时,f(x)0,f(x)单调递增.因此f(x)的极大值为f(-2)=16. 答案:16,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)上单调递增,则k的取值范围是( ) A.(-,-2 B.(-,-1 C.2,+) D.1,+),【解析】选D.因为f(x)在(1,+)上递增，所以f(x)0恒成立，因为f(x)=kx-ln x，所以f(x)=k- 0，即k . 因为x1,所以 1, 所以k1.所以k1,+),选D.,(2)(2013浙江高考)已知函数y=f(x)的图象是下 列四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图 所示,则该函数的图象是( ),【解析】选B.因为f(x)0(x(-1,1),所以f(x)在(-1,1)为增函数,又x(-1,0)时,f(x)为增函数,x(0,1)时,f(x)为减函数,所以选B.,(3)(2013浙江高考)已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1) (x-1)k(k=1,2),则( ) A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值 C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值 【解题提示】当k=1,2时,分别验证f(1)=0是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.,【解析】选C.当k=1时,f(x)=ex(x-1)+ex-1,此时f(1)0,故排除A,B;当k=2时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时f(1)=0,在x=1附近左侧,f(x)0,所以x=1是f(x)的极小值点.,考点1 利用导数研究函数的单调性 【典例1】(1)(2015太原模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=0,当x0时,有 0的解集 是( ) A.(-2,0)(2,+) B.(-2,0)(0,2) C.(-,-2)(2,+) D.(-,-2)(0,2),(2)(2014湖南高考改编)已知常数a0，函数f(x)=ln(1+ax)- 讨论f(x)在区间(0,+)上的单调性. 【解题提示】(1)先判断函数 的单调性、奇偶性，求出 0的解集，再根据x2f(x)=x3 的奇偶性，写出解集. (2)先求f(x)，分a1与0a1两种情况求解.,【规范解答】(1)选D.当x0时， 0，即( )0， 令y= ，则函数y= 在区间(0，+)上为减函数，又f(x)在定 义域上是奇函数，所以函数y= 在定义域上是偶函数，且 =0，则 0在区间(0,+)上的解集是(0,2);函数x2f(x)= x3 是定义域上的奇函数，则x2f(x)0的解集是(-,-2) (0,2)，故选D.,(2)f(x)= (*) 当a1时，f(x)0(x(0,+)，此时f(x)在区间(0，+)上单调递增；当00. 故f(x)在区间(0，x1)上单调递减，在区间(x1,+)上单调递增. 综上所述，当a1时，f(x)在区间(0，+)上单调递增；当0a1时，f(x)在区间(0， )上单调递减，在区间( ,+)上单调递增.,【互动探究】若本例题(2)中条件改为aR,f(x)=aln x+ ,讨论f(x)的单调性. 【解析】f(x)= (x0). 当a=0时，f(x)= 恒大于0，f(x)在定义域上单调递增. 当a0时，f(x)= f(x)在定义域上单调递增.,当a0，x1,2 对称轴 方程为 .且x1x2=10，所以f(x)在(0， )上单调递减，( )上单调递增， 上单调递减. 综上所述，a0时，f(x)在定义域上单调递增；a 时，,f(x)在定义域上单调递减； a0时，f(x)在(0, )上单调递减，( )上单调递增， ( ,+)上单调递减.,【规律方法】 1.用导数求函数的单调区间的“三个方法” (1)当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0求出单调区间. (2)当方程f(x)=0可解时,确定函数的定义域,解方程f(x)=0,求出实数根,把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来,把定义域分成若干个小区间,确定f(x)在各个区间内的符号,从而确定单调区间.,(3)不等式f(x)0或f(x)0及方程f(x)=0均不可解时求导数并化简,根据f(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f(x)的符号,得单调区间. 2.根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”来求解.,提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,【变式训练】(2014江西高考改编)若函数f(x)=(x2+bx+b) (bR)在区间(0， )上单调递增，则b的取值范围为( ),【解析】选A.因为f(x)= ，f(x)在区间(0, )上单调递增，所以f(x)0对任意的x(0， )恒成立，即5x2+(3b-2)x0对任意的x(0, )恒成立.即5x+3b-20对任意的x(0, )恒成立,即b 对任意的x(0, )恒成立，令g(x)= x(0， )，则g(x)g( )= ，所以b .,【加固训练】1.在区间(-1,1)内不是增函数的是( ) A.y=ex+x B.y=sin x C.y=x3-6x2+9x+2 D.y=x2+x+1,【解析】选D.A选项中y=ex+1，xR时都有y0，所以y=ex+x在R 上为单调递增函数，所以在(-1，1)上是增函数；B选项中(-1，1) ，而y=sin x在 上为增函数，所以y=sin x在 (-1，1)上是增函数；C选项y=3x2-12x+9，令y=3x2-12x+90得 x3或x0，得x ，所以有y=x2+x+1在( ， +)上为增函数，所以本题选D.,2.(2014广东高考)已知函数f(x)= x3+x2+ax+1(aR)，求函数f(x)的单调区间. 【解析】因为f(x)=x2+2x+a，二次方程x2+2x+a=0的判别式=4-4a. 当a1时，0，f(x)0，此时(-，+)是函数f(x)的单调递增区间； 当a0，f(x)=0有两个实数根x=-1+ 和x=-1- ，此时(-,-1- ),(-1+ ,+)是函数f(x)的单调递增区间，(-1- ，-1+ )是函数f(x)的单调递减区间.,综上，当a1时，函数f(x)只有单调递增区间(-,+)；当a1 时，函数f(x)的单调递增区间是(-，-1- ),(-1+ ， +)，单调递减区间是(-1- ,-1+ ).,3.(2015哈尔滨模拟)已知定义在R上的函数f(x)=-2x3+bx2+cx (b,cR),函数F(x)=f(x)-3x2是奇函数,函数f(x)满足f(-1)=0. (1)求f(x)的解析式. (2)讨论f(x)在区间(-3,3)上的单调性. 【解析】(1)f(x)=-6x2+2bx+c,F(x)=f(x)-3x2是奇函数,得b=3,f(-1)=-6-2b+c=0,得c=12,所以f(x)=-2x3+3x2+12x.,(2)令f(x)=-6x2+6x+12=0,得x=2或-1, 所以单调递增区间为(-1,2),单调递减区间为(-3,-1),(2,3).,考点2 利用导数研究函数的极值(最值) 知考情 利用导数研究函数的极值、最值是高考考查热点,几乎每年都会考查,有时会和函数的单调性、不等式、导数的几何意义等相结合命题,常常作为高考的压轴题出现,难度为中、高档.,明角度 命题角度1:利用导数研究函数的极值 【典例2】(2014天津高考改编)已知函数f(x)=x2- ax3(a0),xR,则f(x)的极大值为 . 【解题提示】根据求极值的步骤直接求解即可.,【规范解答】由已知,有f(x)=2x-2ax2(a0),令f(x)=0,解得x=0或x= . 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 可知,当x= 时,f(x)有极大值,且极大值为f( )= 答案:,命题角度2:利用导数研究函数的最值 【典例3】(2014江西高考)已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2) ,其中a0. (1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间. (2)若f(x)在区间1,4上的最小值为8,求a的值. 【解题提示】(1)求导整理后,令导数大于零即可. (2)求导整理后,注意讨论临界点与区间的位置关系.,【规范解答】(1)f(x)=(4x2-16x+16) ， 定义域为0,+)， f(x)= 令f(x)0得0x2， 所以f(x)的单调递增区间为0, )，(2,+).,(2)f(x)= 令f(x)=0得x= 或x= f(x)在定义域上的单调性为0, 上单调递增，( , )上单调递减， ,+)上单调递增. 从而需要讨论 , 与1及4的大小. 当 4或 1， 即a-40或-2a0时，f(x)在1,4上单调递增， 故f(x)的最小值为f(1)=4+4a+a2=8，解得a=-22 ，均需舍去；,当 1且 4， 即-10a-8时，f(x)在1,4上单调递减， 故f(x)的最小值为f(4)=2(64+16a+a2)=8， 解得a=-10或a=-6(舍去)； 当1 4，即-8a-2时， f(x)的最小值为f( ), 因为f( )=0，所以不成立；,当1 4，即-40a-10时，f(x)在1, 上单调递增，在 ,4上单调递减，f(x)的最小值为f(1)与f(4)中的一个， 根据上面的得均不成立.综上所述a=-10.,【易错警示】解答本题有三点容易出错 (1)在定义域上，对于f(x)的单调递增区间0, , ,+)中间容易用“”符号连接. (2)求最值时容易忽略对 与区间1，4的讨论. (3)在每一步讨论中，求得a值后，容易忽略对所求a值的验证.,悟技法 求函数f(x)极值的方法 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求导函数f(x). (3)求方程f(x)=0的根. (4)检查f(x)在方程的根的左右两侧的符号,确定极值点.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果f(x)在这个根的左右两侧符号不变,则f(x)在这个根处没有极值.,通一类 1.(2015信阳模拟)已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在0,1上的最大值为4,则f(x)在-1,0上的最小值为( ),【解析】选A.因为a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x,所以导函数f(x)=3ax2+b+2xln2. 因为a,b为正实数,所以当0x1时,3ax20,2xln20, 所以f(x)0,即f(x)在0,1上是增函数,所以f(1)最大且为a+b+2=4a+b=2 ; 又当-1x0时,3ax20,2xln20,所以f(x)0,即f(x)在-1,0上是增函数,所以f(-1)最小且为-(a+b)+ ,将代入得f(-1)= -2+ =- ,故选A.,2.(2015东北师大附中模拟)函数f(x)=x3-3x+m恰好有两个零点,则m的值为 . 【解析】因为f(x)=x3-3x+m,所以f(x)=3x2-3, 由f(x)0,得x1或x-1,此时函数单调递增, 由f(x)0,得-1x1,此时函数单调递减. 即当x=-1时,函数f(x)取得极大值,当x=1时,函数f(x)取得极小值. 要使函数f(x)=x3-3x+m只有两个零点,则满足极大值等于0或极小值等于0,由极大值f(-1)=-1+3+m=m+2=0,解得m=-2;再由极小值f(1)=1-3+m=m-2=0,解得m=2.综上,实数m的值为-2或2. 答案:-2或2,3.(2014贵阳模拟)已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1. (1)试求a,b的值并求出f(x)的单调区间. (2)求在区间-2,2上的最大值与最小值. 【解析】(1)因为f(x)=x3-3ax2+2bx,所以f(x)=3x2-6ax+2b, 由已知得f(1)=0,则3-6a+2b=0, 因为当x=1时有极小值-1,所以f(1)=1-3a+2b=-1,由得a= ,b=- , 把a= ,b=- 代入f(x)中, 得f(x)=x3-x2-x,所以f(x)=3x2-2x-1, 令f(x)=0,则f(x)=(3x+1)(x-1)=0, 若f(x)0,即在(-,- ),(1,+)上,函数f(x)单调递增, 若f(x)0,即在(- ,1)上,函数f(x)单调递减.,(2)由(1)知f(x)=x3-x2-x,f(x)=3x2-2x-1, 令f(x)=0,则f(x)=(3x+1)(x-1)=0,解得x=- 或x=1. 因为f(-2)=-10,f(- )= ,f(1)=-1,f(2)=2, 所以f(x)在区间-2,2上的最大值为2,最小值为-10.,【加固训练】已知函数f(x)=x-aln x(aR). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线方程. (2)求函数f(x)的极值. 【解析】函数f(x)的定义域为(0,+)，f(x)=1- (1)当a=2时，f(x)=x-2ln x，f(x)=1- (x0), 因而f(1)=1，f(1)=-1， 所以曲线y=f(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.,(2)由f(x)= x0知： 当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0,+)上的增函数，函数f(x)无极值； 当a0时，由f(x)=0，解得x=a. 又当x(0,a)时，f(x)0. 从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-aln a，无极大值. 综上，当a0时，函数f(x)无极值； 当a0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a，无极大值.,规范解答2 导数在研究函数中的应用 【典例】(12分)(2013山东高考)设函数f(x)= (1)求f(x)的单调区间，最大值. (2)讨论关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数.,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 (1)因为f(x)= +c,所以f(x)=(1-2x)e-2x，1分 令(1-2x)e-2x=0，解得x= 当x0， f(x)为单调增函数， 当x 时， f(x)0，f(x)为单调减函数.2分,所以f(x)的单调增区间为（-, ）， 单调减区间为（ ，+）. 3分 最大值为f( )= e-1+c.4分,(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-xe-2x-c，x(0,+).5分 ()当x(1，+)时，ln x0，则g(x)=ln x-xe-2x-c， 所以g(x)=e-2x( +2x-1)，因为x(1,+)，所以2x-10， 0， 于是g(x)0，因此g(x)在(1,+)上为单调递增函数.6分,()当x(0,1)时，ln x1x0， 于是- -1，又因为2x-11，所以- +2x-10， 即g(x)0，因此g(x)在(0，1)上为单调递减函数.,综合()()可知,当x(0,+)时,g(x)g(1)=-e-2-c.8分 当g(1)=-e-2-c0,即c-e-2时, a.当x(1,+)时,由(1)知g(x)=ln x-xe-2x-cln x-( e-1+c) ln x-1-c,要使g(x)0,只需要ln x-1-c0,即x(e1+c,+).10分,b.当x(0,1)时,由(1)知g(x)=-ln x-xe-2x-c-ln x-( e-1+c) -ln x-1-c, 要使g(x)0,只需要-ln x-1-c0,即x(0,e-1-c), 所以c-e-2时,g(x)有两个零点, 故关于x的方程|ln x|=f(x)根的个数是2.11分 综上所述,当c-e-2时,方程|ln x|=f(x)根的个数为2.12分,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.注意答题的规范性 在解题过程中,注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求答题,如本例中的求单调区间,要写成区间的形式.另外还要注意:(1)如果一个函数有多个单调区间,区间之间不能用“”连接,可用“,”“和”连接.(2)注意“方程的根”与“函数的零点”,求解时应还原为题目要求.,2.关键步骤要全面 阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有关键步骤、关键点则得分,没有要相应扣分,所以解题时要写全关键步骤,踩点得分,对于纯计算过程等非得分点的步骤可简写或不写,如本题第(2)问对g(x)求导数的计算过程,可以省略.,
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