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第八节 二项分布、正态分布及其应用,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)条件概率的定义: 设A,B为两个事件,且P(A)0,称P(B|A)= 为在_发生的 条件下,_发生的条件概率.,事件A,事件B,(2)条件概率的性质: 条件概率具有一般概率的性质,即0P(B|A)1; 如果B,C是两个互斥事件,则P(BC|A)=_+_. (3)相互独立事件的定义及性质: 定义:设A,B是两个事件,若P(AB)=_,则称事件A与事件B相 互独立. 性质: 若事件A与B相互独立,那么A与_,_与B, 与_也都相互独立.,P(B|A),P(C|A),P(A)P(B),(4)独立重复试验概率公式: 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,若用Ai(i=1,2,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2A3An)= _.,P(A1)P(A2)P(A3)P(An),(5)二项分布的定义: 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发 生的概率为p,则P(X=k)=_,k=0,1,2,n.此时称随机变 量X服从二项分布,记作XB(n,p),并称p为成功概率.,(6)正态曲线的定义: 函数,(x)=_,x(-,+),其中实数和(0) 为参数,称,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. (7)正态分布的定义及表示: 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= 则称随机变量X服从正态分布,记作N(,2).,2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)正态曲线的特点: 曲线位于x轴的_,与x轴不相交; 曲线是单峰的,它关于直线_对称; 曲线在_处达到峰值,上方,x=,x=,曲线与x轴之间的面积为1; 当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着的变化而沿着_平 移; 当一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越“_”,表示 总体的分布越_;越大,曲线越“_”,表示总体的分布越_ _.,瘦高,集中,矮胖,x轴,分,散,(2)3原则: P(-X+)=_; P(-2X+2)=_; P(-3X+3)=_. (3)二项分布是在独立重复试验中产生的,离开独立重复试验不存在二项分布. (4)若XB(n,p),则当k由0增大到n时,P(X=k)先由小到大然后由大到小,且当k取不超过(n+1)p的最大整数时P(X=k)最大.,0.6826,0.9544,0.9974,3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:正难则反、待定系数法、图象法. (2)数学思想:方程思想、数形结合.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)条件概率一定不等于它的非条件概率.( ) (2)相互独立事件就是互斥事件.( ) (3)对于任意两个事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.( ) (4)二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a+b)n二项展开式的通项公式,其中的a=p,b=1-p.( ),(5)在正态分布函数,(x)= 中的是正态分布的期 望值,是正态分布的标准差.( ),【解析】(1)错误.当A,B为相互独立事件时P(B|A)=P(B).因此该说法错误. (2)错误.两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生,两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响,两个事件相互独立不一定互斥. (3)错误.因为只有两个事件是相互独立事件时,公式P(AB)=P(A)P(B)才成立.,(4)错误.二项分布是一个概率分布,是一个用公式P(X=k)= pk(1- p)n-k,k=0,1,2,n表示的概率分布,其公式相当于二项展开式的通 项公式,其中的a=1-p,b=p. (5)正确.由正态分布函数可知,是正态分布的期望值,是正态分布 的标准差. 答案:(1) (2) (3) (4) (5),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-3P58T1改编)某机械零件加工由2道工序组成,第1道工序的废品率为a,第2道工序的废品率为b,假定这2道工序出废品的概率彼此无关,那么产品的合格率是( ) A.ab-a-b+1 B.1-a-b C.1-ab D.1-2ab,【解析】选A.由于第一道工序与第二道工序出废品的概率彼此无关,故产品的合格率为P=(1-a)(1-b)=ab-a-b+1.,(2)(选修2-3P54T2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球, 它们大小形状完全相同,现需一个红球,甲每次从中任取一个不放回, 在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为( ) 【解析】选B.事件A:“第一次拿到白球”,B:“第二次拿到红球”,则 P(A)= P(AB)= 故P(B|A)=,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2014新课标全国卷)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45,【解题提示】设出所求概率为p,然后根据已知条件列出关于p的方程,求得p. 【解析】选A.设某天空气质量优良,则随后一天空气质量也优良的概率为p,则得0.6=0.75p,解得p=0.8,故选A.,(2)(2013湖北高考改编)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服 从正态分布N(800,502)的随机变量,记一天中从甲地去乙地的旅客人 数不超过900的概率为p0.则p0的值为( ) (参考数据:若XN(,2),有P(-X+)=0.6826,P(-2 X+2)=0.9544,P(-3X+3)=0.9974) A.0.954 4 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.9772,【解析】选D.由于随机变量X服从正态分布N(800,502),故有=800, =50,P(700X900)=0.9544.由正态分布的对称性,可得p0=P(X 900)=P(X800)+P(800X900)= + P(700X900)=0.9772.,(2014湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成 功的概率分别为 和 .现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B. 设甲、乙两组的研发相互独立. 求至少有一种新产品研发成功的概率. 若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成 功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期 望.,【解题提示】利用对立事件求解;利用分布列、期望的定义求解. 【解析】记E=甲组研发新产品成功，F=乙组研发新产品成功.由 题设知， P(E)= , 且事件E与F，E与 与F， 与 都相互独立. 记H=至少有一种新产品研发成功，则 于是 = 故所求的概率为P(H)=1,设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220， 因P(X=0)= P(X=100)= P(X=120)= P(X=220)=P(EF)=,故所求的分布列为 数学期望为 E(X)=,考点1 条件概率 【典例1】(1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A:“取到的2个 数之和为偶数”,事件B:“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( ),(2)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则P(B|A)= .,【解题提示】(1)先求出事件A与AB的概率,再由条件概率公式P(B|A) = 计算.(2)事件A与AB属于几何概型,先求出两者的概率,再由 条件概率公式求解.,【规范解答】(1)选B.P(A) P(AB) 由条件概率计算公式，得P(B|A),【一题多解】本题还可以用如下方法解决： 选B.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，取到两个数之和为偶数的 事件个数为n(A)= =4, 再者取到的两个数均为偶数的事件个数为n(B)= =1, 故所求事件的概率,(2)由题意可得，事件A发生的概率P(A) 事 件AB表示“豆子落在EOH内”，则P(AB) 故P(B|A) 答案:,【互动探究】把第(1)题中的事件B:“取到的2个数均为偶数”改为 “事件B:取到的2个数均为奇数”,则P(B|A)= . 【解析】事件A=“取到的2个数之和为偶数”，所包含的基本事件有： (1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，所以P(A)= . 事件B=“取到的2个数均为奇数”，所包含的基本事件有(1，3)， (1，5)，(3，5)，所以P(AB)= ,所以P(B|A)= 答案：,【规律方法】条件概率的求法 (1)定义法:先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)= 求P(B|A). (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件 数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)=,【变式训练】(1)10件产品中有2件次品,不放回地抽取2次,每次抽1件.已知第一次抽到的是正品,则第二次抽到次品的概率为 . (2)市场上供应的灯泡中,甲厂占70%,乙厂占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的合格率是80%,则市场上灯泡的合格率是 .,【解析】(1)方法一：从10件产品中不放回抽取2次，记“第一次抽到 正品”为事件A，“第二次抽到次品”为事件B.“从10件产品中不放 回抽取2次”共包含 90个基本事件事件A包含8972个基本 事件所以P(A) 事件AB，即“从10件产品中依次抽2件， 第一次抽到的是正品，第二次抽到的是次品”包含8216个基本事 件，所以P(AB) 所以已知第一次抽到的是正品，第二次 抽到次品的概率P(B|A),方法二：因为已知第一次抽到的是正品，所以相当于“从9件产品(有 2件次品)，任取一件，求这件是次品的概率”由古典概型知其概率 为 (2)记A甲厂产品，B乙厂产品，C合格产品，则CAC BC，所以P(C)P(AC)P(BC)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)70% 95%30%80%0.90590.5%. 答案:(1) (2)90.5%,【加固训练】(2015贵阳模拟)袋中有5个球,其中3个白球,2个黑球,现不放回地每次抽取1个球,则在第一次取到白球的条件下,第二次取到白球的概率为 .,【解析】方法一：记第二次取到白球为事件B，则P(B)= 方法二：第一次取到白球为事件A，第二次取到白球为事件B，则 答案：,考点 正态分布及其应用 【典例】(1)设随机变量XN(1,52),且P(X0)=P(Xa-2),则实数a 的值为( ) A.4 B.6 C.8 D.10 (2)随机变量服从正态分布N(1,2),已知P(0)=0.3,则P(2) = .,【解题提示】(1)由概率P(X0)=P(Xa-2),可得0与a-2的均值为1.(2)可借助于正态分布曲线的对称性求解.,【规范解答】(1)选A.因为XN(1,52)，P(X0)P(Xa2)， 所以 1，所以a4. (2)由题意可知，正态分布的图象关于直线x1对称， 所以P(2)P(0)P(01)P(12)， 又P(01)P(12)0.2， 所以P(2)0.7. 答案：0.7,【规律方法】正态分布下两类常见的概率计算 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主 要是正态曲线关于直线x=对称,及曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变 量的,进行对比联系,确定它们属于(-,+),(-2,+ 2),(-3,+3)中的哪一个.,【变式训练】1.(2015济南模拟)设随机变量服从正态分布N(0,1),若P(1)=p,则P(-10)=( ) A. +p B.1-p C.1-2p D. -p,【解析】选D.因为随机变量服从正态分布N(0,1),所以正态分布曲线关于直线x=0对称, 所以P(0)=P(1)=P(-1)=p, 所以P(-10) =P(0)-P(-1)= -p.,2.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .,【解析】因为三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502), 所以三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为P= .超过1000 小时时元件1或元件2正常工作的概率P1=1-(1-P)2= ,那么该部件的 使用寿命超过1000小时的概率为P2=P1P= . 答案:,【加固训练】设随机变量服从正态分布N(,2),函数f(x)=x2+4x +没有零点的概率是 ,则等于 . 【解析】根据题意,函数f(x)=x2+4x+没有零点时,=16-44,根据正态曲线的对称性,当函数f(x)=x2+4x+没有零点的概率 是 时,=4. 答案:4,考点2 相互独立事件与独立重复试验的概率 知考情 相互独立事件的概率、二项分布,是高考考查的一个重要考向,常与概率及其概率分布列、期望值、现实生活应用等知识综合考查,经常以解答题的形式出现.,明角度 命题角度1:相互独立事件的概率及其分布列 【典例2】(2014山东高考)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图, 甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次 测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落,点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,小 明回球的落点在C上的概率为 ,在D上的概率为 ;对落点在B上的来 球,小明回球的落点在C上的概率为 ,在D上的概率为 .假设共有两 次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:,(1)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率. (2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望. 【解题提示】(1)本题考查了相互独立事件的概率. (2)本题考查的是随机变量的分布列及数学期望,先列出的所有值,并求出每个值所对应的概率,列出分布列,然后根据公式求出数学期望.,【规范解答】(1)设恰有一次的落点在乙上这一事件为E， P(E)= (2)的可能取值为0，1，2，3，4，6， P(=0)= P(=1)= P(=2)= P(=3)=,P(=4)= P(=6)= 所以的分布列为 所以其数学期望为E()=,命题角度2:独立重复试验及其应用 【典例3】(2015梅州模拟)甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中 目标的概率为 ,乙每次击中目标的概率为 . 求(1)甲恰好击中目标2次的概率. (2)乙至少击中目标2次的概率. (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.,【解题提示】(1)甲进行3次射击,服从二项分布.(2)至少击中目标2次,包含击中目标2次和击中目标3次.(3)乙恰好比甲多击中目标2次,包含2个互斥事件.,【规范解答】(1)设X为甲击中目标的次数，则： 故甲恰 好击中目标2次的概率为P(X2) (2)设Y为乙击中目标的次数，则： 故乙至少击中目标2次的概率为P(Y2)P(Y2)P(Y3),(3)设“乙恰好比甲多击中目标2次”为事件A，包含以下2个互斥事 件，设B1为事件“乙恰好击中目标2次且甲恰好击中目标0次”，则 P(B1) 设B2为事件“乙恰好击中目标3次且甲 恰好击中目标1次”，则P(B2) 于是P(A)P(B1) P(B2) 即乙恰好比甲多击中目标2次的概率为 .,悟技法 1.求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算.,(3)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此),就像对立事件是互斥事件的特例一样,只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单,就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样.,2.独立重复试验概率求解的策略 (1)首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种,在任何一次试验中,某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求解. (2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.,通一类 1.(2015贵阳模拟)已知P箱中有红球1个,白球9个,Q箱中有白球7个(P,Q箱中所有的球除颜色外完全相同).现随机从P箱中取出3个球放入Q箱,将Q箱中的球充分搅匀后,再从Q箱中随机取出3个球放入P箱,则红球从P箱移到Q箱,再从Q箱返回P箱中的概率等于( ),【解析】选B.可看作是两个独立事件.A：红球从P箱移到Q箱，B：红 球从Q箱返回P箱同时发生，可知P(A)= 对于B发生时，Q箱 中有红球1个，白球9个，再从中取出2白1红，所以P(B)=P(A)= 根据独立事件同时发生的概率计算公式，有P=P(A)P(B)= 故 选B.,2.(2015枣庄模拟)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是( ),【解析】选C.09中总共有5个偶数，他不超过2次就按对的概率是,3.(2015太原模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是 ， 构造数列an，使得an 记Sna1a2 an(nN*)，则S42的概率为( ) 【解析】选C.依题意得，“S42”表示在连续四次抛掷中恰有三次 出现正面，因此“S42”的概率为,【加固训练】1.(2014陕西高考)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：,(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列. (2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率.,【解题提示】(1)先由已知确定X所有可能的取值,再利用概率公式求出X对应值的概率,从而得到X的分布列.(2)利用问题(1)的结论得某1季此作物的利润不少于2000元的概率,再分类求得这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.,【解析】(1)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”, 由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因为利润=产量市场价格-成本. 所以X所有可能的取值为 50010-1000=4000,5006-1000=2000, 30010-1000=2000,3006-1000=800,P(X=4 000)= =(1-0.5)(1-0.4)=0.3, P(X=2 000)= =(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4) =0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2. 所以X的分布列为,(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3), 由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利润均不少于2000元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512.,3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为 =30.820.2 =0.384, 所以这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896.,2.(2014烟台模拟)设两球队A,B进行友谊比赛,在每局比赛中A队获胜的概率都是p(0p1). (1)若比赛6局,且p= ,求其中A队至多获胜4局的概率是多少. (2)若比赛6局,求A队恰好获胜3局的概率的最大值是多少. (3)若采用“五局三胜”制,求A队获胜时的比赛局数的分布列和数学期望.,【解析】(1)设“比赛6局，A队至多获胜4局”为事件A， 则P(A)1P6(5)P6(6) 所以A队至多获胜4局的概率为,(2)设“若比赛6局，A队恰好获胜3局”为事件B，则P(B) 当p0或p1时，显然有P(B)0. 当0p1时，P(B) 当且仅当p1p，即p 时取等号 故A队恰好获胜3局的概率的最大值是,(3)若采用“五局三胜”制，A队获胜时的比赛局数3,4,5. P(3)p3； P(4) p3(1p)3p3(1p)； P(5) p3(1p)26p3(1p)2， 所以的分布列为： E()3p3(10p224p15),规范解答20 与相互独立事件有关概率综合题 【典例】(12分)(2014安徽高考)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连 胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多 者赢得比赛,假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局 比赛结果相互独立. (1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率. (2)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).,解题导思 研读信息 快速破题,规范解答 阅卷标准 体会规范 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”, Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5. (1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)= P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4) = = 5分,(2)X的可能取值为2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2) =P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= , 6分 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= , 7分,P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+ P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= , 8分 P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)= . 9分,故X的分布列为 10分 E(X)= 12分,高考状元 满分心得 把握规则 争取满分 1.注意答题的规范性 在解题过程中,注意答题要求,严格按照题目及相关知识的要求答题.如本题中用Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,并且将每个事件表示成几个互斥事件的和事件.另外还要注意:,(1)X的可能取值为2,3,4,5时的概率不能写成P2,P3,P4,P5,要写成P(X=2),P(X=3),P(X=4),P(X=5). (2)注意分布列要用表格的形式列出来,不要认为求出各个相应的概率就结束了.,2.关键步骤要全面 阅卷时,主要看关键步骤、关键点,有关键步骤、关键点则得分,没有要相应扣分,所以解题时要写全关键步骤、踩分点,对于纯计算过程等非得分点的步骤可简写,如求概率值、期望值.,
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