高考数学 10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件.ppt

第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第一节 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理,【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)分类加法计数原理: 完成一件事有_,在第1类方案中有m种不同的方法, 在第2类方案中有n种不同的方法,完成这件事共有N=_种方法. (2)分步乘法计数原理: 完成一件事需要_,做第1步有m种不同的方法,做第2步有 n种不同的方法,完成这件事共有N=_种方法.,两类不同的方案,m+n,两个步骤,mn,2.必备结论 教材提炼 记一记 分步用乘法、分类用加法. 3.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:直接法、间接法. (2)数学思想:分类讨论、数形结合.,(3)记忆口诀: 排组分清,加乘分明, 有序排列,无序组合, 分类相加,分步相乘.,【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.( ) (2)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法都能直接完成这件事.( ) (3)在分步乘法计数原理中,各种方法中完成某个步骤的方法是各不相同的.( ) (4)在分步乘法计数原理中,事件是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( ),【解析】(1)错误.在分类加法计数原理中,两类不同的方案中,方法是不相同的. (2)正确.在分类加法计数原理中,每类中的各种方法必须能完成这件事. (3)错误.在分步乘法计数原理中,各种方法中完成某个步骤的方法可以相同. (4)错误.如果单独的步骤能完成这件事,这就不是某一步了,而是一类. 答案:(1) (2) (3) (4),2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(选修2-3P10T1改编)乘积(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开后共有 项. 【解析】由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积,由分步乘法计数原理可得:其展开式共有345=60项. 答案:60,(2)(选修2-3P12T5改编)已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从M,N这两个集合中各选一个元素分别作为点的横坐标、纵坐标,则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、第二象限内不同的点的个数是 . 【解析】分两类:第一类,第一象限内的点,有22=4(个);第二类,第二象限内的点,有12=2(个).由分类加法计数原理可得:共有4+2=6个. 答案:6,3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2015滨州模拟)甲、乙两人从4门课程中选修2门,则甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法有( ) A.6种 B.12种 C.24种 D.30种,【解析】选C.分步完成,首先甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法,其次是甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法,最后乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法.于是,甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法共有432=24(种).,(2)(2015成都模拟)某城市有3个演习点同时进行消防演习,现将4个消防队分配到这3个演习点,若每个演习点至少安排1个消防队,则不同的分配方案种数为( ) A.12 B.36 C.72 D.108,【解析】选B.先从4个消防队中选出2个作为一个整体,有 种选法; 再将三个整体进行全排列,有 种方法;根据分步乘法计数原理得不 同的分配方案种数为 =36.,(3)(2015长春模拟)直线Ax+By=0,若从集合E=0,1,3,5,7,8中每次取出两个不同的数作为A,B的值,则可表示 条不同的直线. 【解析】若A或B中有一个为零时,有2条;若AB0时,有54=20条,由分类加法计数原理可知:共有2+20=22条不同的直线. 答案:22,考点1 分类加法计数原理 【典例1】(1)满足a,b-1,0,1,2,且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为( ) A.14 B.13 C.12 D.9 (2)三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是 . 【解题提示】(1)方程ax2+2x+b=0可能是一次方程,也可能是二次方程. (2)构成三角形的条件为两边之和大于第三边.,【规范解答】(1)选B.由于a,b-1,0,1,2, 当a=0时,有x=- 为实根,则b可取-1,0,1,2,有4种可能; 当a0时,方程有实根, 所以=4-4ab0,所以ab1.(*) 当a=-1时,满足(*)式的b可取-1,0,1,2,有4种可能. 当a=1时,b可取-1,0,1,有3种可能. 当a=2时,b可取-1,0,有2种可能. 所以由分类加法计数原理,有序数对(a,b)共有4+4+3+2=13(个).,(2)另两边长用x,y(x,yN*)表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须x+y12.当y取11时,x可取1,2,3,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,10,有9个三角形;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形. 所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36. 答案:36,【易错警示】解答本例题(1)有三点容易出错: (1)将方程ax2+2x+b=0误认为二次方程,没有讨论当a=0时的情况. (2)容易漏掉a与b相等的情况. (3)不能分清是分步还是分类,造成结论错误.,【互动探究】本题(2)条件不变,则构成钝角三角形的个数是多少? 【解析】另两边长用x,y(x,yN*)表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须x+y12,由余弦定理可知:x2+y2-1120,满足以上条件的x,y有:当y=10时,x可取2,3,4;当y=9时,x可取3,4,5,6;当y=8时,x可取4,5,6,7;当y=7时,x可取5,6,7;当y=6时,x可取6.由分类加法计数原理可知:共有3+4+4+3+1=15个.,【规律方法】 1.分类加法计数原理的实质 分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完成一件事要分为若干类,各类的方法相互独立,每类中的各种方法也相对独立,用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.,2.使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则. 提醒:对于分类问题所含类型较多时也可以考虑使用间接法.,【变式训练】在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中,与正八边形有公共边的三角形有 个. 【解析】分两类:有一条公共边的三角形共有84=32(个);有两条公共边的三角形共有8个.故共有32+8=40(个). 答案:40,【加固训练】1.某学生去书店,发现3本好书,决定至少买其中1本,则购买方式共有( ) A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 【解析】选C.分3类:买1本书,买2本书和买3本书,各类的购买方式依次有3种、3种和1种,故购买方式共有3+3+1=7(种).,2.若x,yN*,且x+y6,则有序数对(x,y)共有 个. 【解析】当x=1时,y可取的值为5,4,3,2,1,共5个; 当x=2时,y可取的值为4,3,2,1,共4个; 当x=3时,y可取的值为3,2,1,共3个; 当x=4时,y可取的值为2,1,共2个; 当x=5时,y可取的值为1,共1个; 由分类加法计数原理,不同的数对(x,y)共有5+4+3+2+1=15(个). 答案:15,考点2 分步乘法计数原理 【典例2】(1)教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( ) A.10种 B.25种 C.52种 D.24种 (2)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 . 【解题提示】(1)从一层到五层可分步来完成,每一步有2种走法. (2)可用间接法来完成此事.,【规范解答】(1)选D.共分4步:一层到二层2种,二层到三层2种,三层到四层2种,四层到五层2种,一共有24种. (2)能够组成三位数的个数是91010=900,能够组成无重复数字的三位数的个数是998=648,故能够组成有重复数字的三位数的个数是900-648=252. 答案:252,【规律方法】 1.分步乘法计数原理的实质 分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事要分为若干步,各个步骤相互依存,完成其中的任何一步都不能单独完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成这件事.,2.使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这件事”是什么,确定完成这件事需要几个步骤,且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成,各步骤之间有一定的连续性,只有当所有步骤都完成了,整个事件才算完成,这是分步的基础,也是关键.从计数上来看,各步的方法数的积就是完成事件的方法总数.,【变式训练】1.(2015临沂模拟)如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成,我们称这样的图案为L型(每次旋转90仍为L型图案),那么在由45个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L型图案的个数是( ) A.16 B.32 C.48 D.64,【解析】选C.每四个小方格(22型)中有L型图案4个,共有22型小方格12个,所以共有L型图案412=48(个).故选C.,2.从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市至少有一人游览,每人只游览一个城市,且这6个人中,甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共有 种. 【解析】分步完成此事,第一步选1人去巴黎有4种方法,第二步选1人去伦敦有5种方法,第三步选1人去悉尼有4种方法,第四步选1人去莫斯科有3种方法,由分步乘法计数原理可知:共有4543=240(种). 答案:240,【加固训练】1.设集合A=-1,0,1,集合B=0,1,2,3,定义A*B= (x,y)|xAB,yAB,则A*B中元素的个数是( ) A.7 B.10 C.25 D.52 【解析】选B.由题意知本题是一个分步乘法计数原理,因为集合A= -1,0,1,集合B=0,1,2,3,所以AB=0,1,AB=-1,0,1,2,3,所以x有2种取法,y有5种取法,所以根据分步乘法计数原理得25=10.,2.如图,要给地图A,B,C,D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?,【解析】按地图A,B,C,D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据分步乘法计数原理,得到不同的涂色方案共有N=3211=6(种).,考点3 两个计数原理的综合应用 知考情 利用两个计数原理,求解有关实际问题,是高考考查两个计数原理的一个重要考向,常与涂色问题、组数问题、排队问题、种植问题等交汇考查,一般以选择题、填空题的形式出现.,明角度 命题角度1:涂色问题 【典例3】(2015汕头模拟)如图,用6种不同的颜色把 图中A,B,C,D四块区域分开,若相邻区域不能涂同一种 颜色,则不同的涂法共有( ) A.400种 B.460种 C.480种 D.496种,【解题提示】可按使用颜色的种数分类来完成此事. 【规范解答】选C.完成此事可能使用4种颜色,也可能使用3种颜色.当使用4种颜色时:从A开始,有6种方法,B有5种,C有4种,D有3种,完成此事共有6543=360(种)方法;当使用3种颜色时:A,D使用同一种颜色,从A,D开始,有6种方法,B有5种,C有4种,完成此事共有654 =120(种)方法.由加法计数原理可知:不同涂法有360+120= 480(种).,命题角度2:重复元素的计数问题 【典例4】(2014福建高考)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( ),A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 【解题提示】对于信息题,要善于运用逻辑思维去推导,同时明确材料给我们传达的信息.,【规范解答】选A.因为无区别,所以取红球的方法数为1+a+a2+a3+a4 +a5;因为蓝球要都取出,或都不取出,所以方法为1+b5,因为黑球有区别,因此,取黑球的方法数为(1+c)5,所以所有取法数为(1+a+a2+a3+ a4+a5)(1+b5)(1+c)5.,悟技法 利用两个计数原理解决应用问题的一般思路 (1)弄清完成一件事是做什么. (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类. (3)弄清分步、分类的标准是什么. (4)利用两个计数原理求解.,通一类 1.(2015银川模拟)集合P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1,2,3, ,9,且PQ.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( ) A.9 B.14 C.15 D.21 【解析】选B.当x=2时,xy,点的个数为17=7(个);当x2时,x=y,点的个数为71=7(个),则共有14个点.,2.(2015张掖模拟)用6种不同颜色为如图所示的广 告牌着色,要求有公共边界的区域不能用同一种颜色, 则共有 种不同的方法着色. 【解析】由分步乘法计数原理知:第一步,涂区有6种方法;第二步,涂区有5种方法;第三步,涂区有4种方法;第四步,涂区有4种方法.由分步乘法计数原理知,共有6544=480种方法. 答案:480,3.(2015郑州模拟)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 个.(用数字作答) 【解析】数字2,3至少都出现一次,包括以下情况: “2”出现1次,共有4种方法,“3”出现3次,共有1种方法,共可组成41=4(个)四位数.,“2”出现2次,共有 =6种方法,“3”出现2次,共有1种方法,共可组成61=6(个)四位数. “2”出现3次,共有 =4种方法,“3”出现1次,共有1种方法,共可组成41=4(个)四位数. 综上所述,共可组成4+6+4=14个四位数. 答案:14,巧思妙解10 巧用间接法求解计数问题 【典例】(2014安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作 为一对,其中所成的角为60的共有( ) A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 【常规解法】选C.与正方体的一个面上的一条对角线成60角的对 角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有96对,且每对均 重复计算一次,故共有 =48对.,【巧妙解法】选C.正方体的面对角线共有12条,两条为一对, 共有12112=66对. 同一面上的对角线不满足题意,对面的面对角线也不 满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角 线对数,不满足题意的共有:36=18.从正方体六个 面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有: 66-18=48.,【方法指导】 1.间接法的解题思路 (1)将问题所包含的所有情景一一列举出来并得出其数值. (2)找出不合题设要求的情况. (3)删除不合题意的部分,得出结论.,2.间接法的应用条件 “间接法”求解计数问题其应用条件是该问题包含两种或两种以上的情况,而要求计数的情况较复杂不易得出结论,而问题的反面(对立面)计数比较容易,此时可采用间接法求解.,【类题试解】高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会 实践,但去何工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配 方案有( ) A.16种 B.18种 C.37种 D.48种 【常规解法】选C.有一个班去甲工厂,其余两个班去其他工厂, 共有 32=27种方法;有两个班去甲工厂,另一个班去其他工厂,共有 33=9种方法;若三个班都去甲工厂,共有1种方法.由分类加法计数 原理知,共有27+9+1=37种方法.,【巧妙解法】选C.三个班去四个工厂不同的分配方案共43种,甲工厂没有班级去的分配方案共33种,因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37(种).,