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最新考纲 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一 般方程.,第3讲 圆的方程,1圆的定义和圆的方程,知 识 梳 理,D2E24F0,定点,定长,2. 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)drM在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M在_； (2)drM在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M在_； (3)drM在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M在_,圆外,圆上,圆内,1判断正误(在括号内打“”或“”) 精彩PPT展示 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径 ( ) (2)方程x2y2a2表示半径为a的圆 ( ) (3)方程x2y24mx2y5m0表示圆 ( ) (4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0. ( ),诊 断 自 测,A一个圆 B两个圆 C半个圆 D两个半圆 解析 由题意知，(|x|1)2(y1)21又|x|10，即x1或x1，故表示两个半圆 答案 D,3若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是 ( ) A(1，1) B(0，1) C(，1)(1，) Da1 解析 因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1a)2(1a)24，所以1a1. 答案 A,4(人教A必修2P124A4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_ 解析 设圆心坐标为C(a，0)， 点A(1，1)和B(1，3)在圆C上， 答案 (x2)2y210,答案 (x2)2(y1)24,考点一 圆的方程的求法 【例1】 (1)经过点P(2，4)，Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程为_ (2)已知圆C与直线xy0及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆C的方程为 ( ) A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22 C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22,解析 (1)设圆的方程为x2y2DxEyF0， 将P，Q两点的坐标分别代入得 又令y0，得x2DxF0. 设x1，x2是方程的两根， 由|x1x2|6有D24F36， 由，解得D2，E4，F8，或 D6，E8，F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80或x2y26x8y0.,答案 (1)x2y22x4y80或x2y26x8y0 (2)B,规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解,【训练1】 (1)过点A(4，1)的圆C与直线xy10相切于点B(2，1)，则圆C的方程为_ (2)在平面直角坐标系xOy中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C上则圆C的方程为_ 解析 (1)法一 由已知kAB0，所以AB的中垂线方程为x3. 过B点且垂直于直线xy10的直线方程为 y1(x2)，即xy30， ,法二 设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 故所求圆的方程为(x3)2y22. (2)曲线yx26x1与坐标轴的交点为(0，1)， 答案 (1)(x3)2y22 (2)(x3)2(y1)29,考点二 与圆有关的最值问题 【例2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10. (2)求yx的最大值和最小值； (3)求x2y2的最大值和最小值,(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3),【训练2】 (2015西昌模拟)设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为_,考点三 与圆有关的轨迹问题 【例3】 已知圆x2y24上一定点A(2，0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点 (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程 解 (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知， P点坐标为(2x2，2y) 因为P点在圆x2y24上， 所以(2x2)2(2y)24， 故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21. (2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.,设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2， 所以x2y2(x1)2(y1)24. 故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10. 规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等,【训练3】 设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹,思想方法 1确定一个圆的方程，需要三个独立条件“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数 2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算,易错防范 1求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程 2求轨迹方程和求轨迹是有区别的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指明轨迹表示什么曲线,
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