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阶段专题复习 第 一 章,请写出框图中数字处的内容: _; _; _; _ _; _; _ _;,SSS,SAS,ASA,AAS,HL,等边对等角,等角对等边,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互,相重合,等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60,有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形;三个角都,相等的三角形是等边三角形,_; _ _; _; _ _; _; _ _.,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三,角形是直角三角形,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分,线上,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的,平分线上,考点 1 等腰三角形的性质和判定 【知识点睛】 1.定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形,其中三边相等的三角形叫做等边三角形. 2.等腰三角形的性质 (1)等边对等角.(2)三线合一.(3)是轴对称图形.(4)等腰三角形的性质还有:等腰三角形两腰上的中线相等,两腰上的高线相等,两底角的平分线也相等.,3.等腰三角形的判定 (1)有两边相等的三角形.(2)等角对等边. 4.等边三角形 (1)性质:等边三角形的每个内角都是60,三条边都相等;等边三角形是中心对称图形,也是轴对称图形,它有3条对称轴. (2)判定:有三个角相等的三角形是等边三角形;有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形.,【例1】(2013荆门中考)若等腰三角形的一个内角为50,则它的顶角为 . 【思路点拨】由于等腰三角形中已知的内角可能是顶角,也可能是底角.故分类讨论,求解. 【自主解答】顶角是50,或者底角是50,此时顶角是80. 答案:50或80,【中考集训】 1.(2013南平中考)如图,在ABC中,AB=AC, DEBC,ADE=48,则下列结论中不正确的 是 ( ) A.B=48 B.AED=66 C.A=84 D.B+C=96,【解析】选B.A.DEBC,ADE=48, B=ADE=48正确,不符合题意; B.AB=AC,C=B=48,DEBC,AED=C=48,符合题意; C.A=180-B-C=180-48-48=84正确,不符合题意; D.B+C=48+48=96正确,不符合题意.,2.(2013成都中考)如图,在ABC中,B=C,AB=5,则AC的长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选D.B=C,AC=AB=5.,3.(2013张掖中考)等腰三角形的周长为16,其一边长为6,则另两边为 . 【解析】当边长为6的边是底边时,两腰为5,5;当边长为6的边是腰时,另两边长为6,4,故本题答案为5,5或6,4. 答案:5,5或6,4,考点 2 直角三角形的性质和判定 【知识点睛】 一、直角三角形的性质 1.直角三角形的两个锐角互余. 2.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 4.直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半. 5.直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30.,二、直角三角形的判定 1.有一个角是直角的三角形是直角三角形. 2.有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 4.如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,【例2】(2013吉林中考)如图,在平面直角坐 标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8).以 点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x轴正半轴于 点C,则点C的坐标为 . 【思路点拨】,【自主解答】点A,B的坐标分别为(-6,0),(0,8), AO=6,BO=8,AB= =10.以点A为圆心,以AB长为 半径画弧,AB=AC=10,OC=AC-AO=4.交x轴正半轴于点C, 点C的坐标为(4,0), 答案:(4,0),【中考集训】1.(2013资阳中考)如图,点E在 正方形ABCD内,满足AEB=90,AE=6,BE=8, 则阴影部分的面积是( ) A.48 B.60 C.76 D.80 【解析】选C.AEB=90,AE=6,BE=8, 在RtABE中,AB2=AE2+BE2=100, S阴影部分=S正方形ABCD-SABE=AB2- AEBE=100- 68=76.,2.(2012湖州中考)如图,在RtABC中, ACB=90,AB=10,CD是AB边上的中线, 则CD的长是 ( ) A.20 B.10 C.5 D. 【解析】选C.在RtABC中,ACB=90,AB=10,CD是AB边上的中线,CD= AB=5.,3.在RtABC中,C=90,AC=9,BC=12,则 点C到AB的距离是 ( ) 【解析】选A.根据勾股定理,得AB= =15,设点C到AB的 距离为h,根据三角形的面积公式得: 解得h= .,考点 3 线段的垂直平分线和角的平分线 【知识点睛】 线段的垂直平分线和角的平分线 1.线段的垂直平分线 (1)性质:线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等;三角形的三条边的垂直平分线相交于一点,并且这点到三个顶点的距离相等. (2)判别:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.,2.角的平分线 (1)性质:角平分线上的点到角两边的距离相等;三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等. (2)判别:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,【例3】(2012绍兴中考)我们引入如下概念. 定义:到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的准外心. 举例:如图1,若PA=PB,则点P为ABC的准外心. 应用:如图2,CD为等边三角形ABC的高,准外心P在高CD上,且PD=AB,求APB的度数. 探究:已知ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,准外心P在AC边上,试探究PA的长.,【思路点拨】应用:判断PB=PC,PA=PC,PA=PB三种情况哪种情况合适,再求出APB的度数; 探究:先根据勾股定理求出AC的长度,根据准外心的定义,分PB=PC,PA=PC,PA=PB三种情况求解.,【自主解答】应用:若PB=PC,连接PB, 则PCB=PBC,CD为等边三角形的高, AD=BD,PCB=30,PBD=PBC=30, PD= DB= AB,与已知PD= AB矛盾, PBPC; 若PA=PC,连接PA,同理可得PAPC; 若PA=PB,连接AP,BP,由PD= AB,得PD=AD,APD=45,故APB=90. 探究:BC=5,AB=3,AC= =4. 若PB=PC,设PA=x,则x2+32=(4-x)2, x= ,即PA= ; 若PA=PC,则PA=2; 若PA=PB,由图知,在RtPAB中,不可能. 故PA=2或 .,【中考集训】 1.(2012毕节中考)如图,在RtABC中,A=30, DE垂直平分斜边AC,交AB于D,E是垂足,连接CD,若BD =1,则AC的长是 ( ) A.2 B.2 C.4 D.4,【解析】选A.A=30,B=90, ACB=180-30-90=60. DE垂直平分斜边AC,AD=CD, A=ACD=30,DCB=60-30=30, BD=1,CD=2=AD,AB=1+2=3, 在BCD中,由勾股定理得:CB= , 在ABC中,由勾股定理得:AC= =2 .,2.(2013长沙中考)如图,BD是ABC的平分 线,P为BD上的一点,PEBA于点E,PE=4cm,则 点P到边BC的距离为 cm. 【解析】BD是ABC的平分线,PEAB于点E,PE=4cm,点P到BC的距离=PE=4cm. 答案:4,3.(2012通辽中考)如图,ABC的三边AB,BC, CA长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点O, 则SABOSBCOSCAO= . 【解析】作ODAB于D,OEBC于E, BO平分ABC,OD=OE, SABOSBCO=ABBC=4050=45, 同理SBCOSCAO=56, SABOSBCOSCAO=456. 答案:456,考点 4 尺规作图的应用 【知识点睛】 1.用尺规作线段的垂直平分线的三个应用 (1)确定到两点或三点距离相等的点的位置. (2)确定线段的中点. (3)过一点作已知直线或线段的垂线.,2.用尺规作角的平分线的三个应用 (1)把一个角分为2n等份. (2)确定到角的两边或三角形三边距离相等的点. (3)与垂直平分线结合,解决一些实际问题.,【例4】(2012北海中考)已知:如图,在 ABC中,A=30,B=60. (1)作B的平分线BD,交AC于点D;作AB的 中点E(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不必写作法和证明). (2)连接DE,求证:ADEBDE. 【思路点拨】(1)AB与其垂直平分线的交点,就是AB的中点. (2)先证明ABD=A,可得AD=BD,再加上条件AE=BE,由SAS可得ADEBDE.,【自主解答】(1)如图所示: (2)ABD= 60=30,A=30, ABD=A,AD=BD, 又AE=BE,AED=BED=90,ADEBDE.,【中考集训】 1.(2012赤峰中考)如图所示,在ABC中, ABC=ACB. (1)尺规作图,过顶点A作ABC的角平分线 AD.(不写作法,保留作图痕迹) (2)在AD上任取一点E,连接BE,CE. 求证:ABEACE.,【解析】(1)如图所示: (2)AD是ABC的角平分线, BAD=CAD. ABC=ACB, AB=AC. 又AE=AE,ABEACE.,2.(2012玉林中考)已知等腰ABC的顶角 A=36(如图). (1)作底角ABC的平分线BD,交AC于点D(用 尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹). (2)通过计算说明ABD和BDC都是等腰三角形.,【解析】(1)如图所示:,(2)A=36,AB=AC, ABC=C= =72. 又BD平分ABC, ABD=DBC= ABC= 72=36, A=ABD,ABD是等腰三角形. BDC=A+ABD=36+36=72=C, BDC是等腰三角形.,
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