hzf第6章-用有限单元法解平面问题.ppt

第六章 平面问题的有限元法,平面问题的有限单元法,早在四十年代初，欧拉等人就提出了有限单元法的基本思想，但一直没有引起人们的足够重视。直到五十年代中期，才开始有人利用这种思想对航空工程中的飞机结构进行矩阵分析。其分析思路是，将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。这种处理问题的思路，在1960年被广泛用于求解弹性力学的平面应力问题，并开始使用“有限单元法”这一术语。,一、有限元法将随着电子计算机的应用而发展起来的一种有效的离散化数值解法,补充:有限元法的发展,几十年来，有限元单元法已在各个工程领域得到了广泛的应用，相应的大型软件已成为现代工程设计中一个重要的不可缺少的计算工具。特别是近年来，由于计算机辅助设计在工程设计中日益广泛的应用，有限元程序包亦已成为CAD常用计算方法库中不可缺少的重要内容之一，并且与优化设计技术结合，形成了大规模的集成系统。工程设计人员使用这些系统，就可以高效而正确合理地确定最佳设计方案。,1、新型单元的研究 2、有限元法数学基础的奠定 3、向新领域的扩展 4、通用程序编制和设计自动 化的研究,二、有限元法的发展带动了其他领域的发展,三、近来研究较多的问题可归纳入下：,随着有限元法的不断应用和计算机的高速发展,很多工程软件已成为有效的科学计算手段并大量用于世纪工程中. 如：ANSYS ADINA ABAQUS SAP5 SUPERSAP NFAP NASTRAN,这些软件虽仅是计算工具，但他们的发展也为有限元法的应用拓宽了领域，趋近于多元化，多角度多功能的计算。特别是前后处理的不断更新，优化，更使软件运用的得心应手。,有限元法的成就,下面是著名软件介绍：,Ansys软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体 的大型通用有限元分析软件，可广泛用于核工业、铁道、 石油化工、航空航天、机械制造、能源、汽车交通、国防 军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、 水利、日用家电等一般工业及科学研究。该软件可在大多 数计算机及操作系统中运行，从PC机到工作站直至巨型计 算机，Ansys文件在其所有的产品系列和工作平台上均兼 容。Ansys软件多物理场耦合的功能,允许在统一模型上进 行各式各样的耦合计算,如：热流体耦合,磁电耦合, 以及电磁流体热耦合，确保了所有的Ansys用户的 多领域多变工程问题的求解。Ansys基于Motif的菜单系统是用户能够通过对话框、下拉菜单和子菜单进行数据输入 和功能选择，为用户使用Ansys提供“导航”。,Ansys 简介,该程序最为显著特点是加入交互式操作方式,即能在分析前用交互式图形为验证模型的几何形状,材料及边界条件。分析之后又能立即用图形交互的检查分析结果。,2 该程序提供一个循序渐进的能力表,包括高级结构非线性,电磁场,计算流体力学,设计优化一般接触面,自适应网格划分，大应变,有限转动动能和参数化建模.,一、Ansys软件作为一个大型通用的有限元程序,其功 能以为全世界公认, Ansys软件特点如下:,软件的设计分析和优化功能也可很方便地应用到CAD系统生成的模型上。新增强的功能,使程序更灵活更好用,计 算速度更快。,3 为用户使用本程序提供直观的途径界面,并配有完整的联 机声明及帮助系统.供用户完成深入应用课题。,二、 Ansys软件提供了一个不断改进的功能清单， 具体包括：,结构高度非线性仿真 Ansys采用了牛顿-拉普森迭代求解，并为了增强 问题的收敛性，提供了自适应下降、线性搜索、自动 载荷步、二分法及弧长法等一系列命令。可以计算由 大的位移、应变及有限转动引起的结构几何非线性问 题、与时间有关的材料非线性问题以及接触引起的状 态非线性问题。,热分析 Ansys热分析基于能量守恒原理的热平衡方程， 用有限元法计算各节点的温度，并导出其它热物理参 数。包括热传导、热对流及热辐射三种传导方式。此 外，还可以分析相变、有内热源、接触热阻等问题。 热分析用于计算一个系统或部件的温度分布，如热量 获取或损失、热梯度、热流密度等。,电磁分析 Ansys可分析电磁场的多方面问题，如电感、电 容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运 动效应、电路和能量损失等。可用于有效地分析下面 所列的各类设备：电力发电机、变压器、螺线管传动 器、电动机、磁成像系统、图象显示设备传感器、磁 悬浮装置、波导、开关等。,设计优化 Ansys提供了两种优化方法，它们可以处理大多 数的优化问题。零阶方法是一个很完美的处理方法， 可以很有效的处理大多数的工程问题。一阶方法基于 目标函数对设计变量的敏感程度，因此更加适合于精 确的优化分析。优化中Ansys采用一系列的分析-评估 -修正的循环过程，这个过程重复进行直到所有设计 满足要求为止。,利用Ansys参数设计语言（APDL）的扩展宏命令功能 APDL有参数、数组参数、表达式和函数、分支和 循环、重复和缩写、宏以及用户程序等功能。,SAP5 简介,SAP5程序是线性静力和动力响应结构分析程序。它是美国加利福尼亚大学伯克利分校的K.J.Bathe、E.L.wilson、F.E.peterson等教授共同研制成功的，它是目前国际上著名的大、中型结构分析通用程序之一。,SAP5程序是1979年传到我国，先后在IBM370/138， 西门子7760、7738等大、中型机上移植成功。经几年全国 各个领域的应用，收到了极其显著的效果。1986年春北京 大学教授吴良芝教授、曲圣年教授等又将SAP5程序的全部 功能移植到IBM系列微型机上，并定名为SAP5P 。,SAP5P微机程序与SAP5程序在使用上完全兼容，而且 SAP5P还具有操作简单、使用方便、前后处理功能齐全等 优点。,SAP5程序是目前国内外深受欢迎的大型结构静、 动态分析程序，程序具有模块化的特点，功能强、计算可靠，是目前国内外通用的优秀结构分析程序之一。,静力分析功能 程序可根据输入信息自动生成单元和节点信息， 并配有节点优化。形成单元刚阵，总刚阵，输出节点 位移和单元应力，需要时，还能打印输出单元刚阵和 总刚阵。,一、 SAP5分析功能：,求解特征值方程 程序可求解自由振动的固有频率和振型，解特征 方程分别采用行列式搜索法和子空间迭代法。同时还 可以用斯特姆序列检验是否漏根。,历程响应分析 当结构的基础发生移动或结构上某些部位受有随时间变化的任意强迫力时，程序提供了计算此结构的历程响应，即求解结构随时间变化的瞬间位移值和应力值。外力可以是任意形式的，如强迫函数，用表格表示的冲击或脉冲等。,响应谱分析 当基础的运动极不规则，或激励的历程不可予知，而仅能估计其可能发生的最大值时（如汽车在地面上行驶、地震等），为求结构物在NF阶频率之下的最大位移和应力响应，程序先通过解出前NF个频率。输入相应的谱曲线（如地震谱、路面谱等），再通过谱分析得到结构前NF个频率所对应的最大响应，然后按一定方式进行叠加。,频率响应分析 频率响应分析是求当基础作谐运动时结构的稳态响 应，它同样利用求解特征方程所得到的低阶NF个振型。做振型分析，通过输入对应每一频率的振幅与阻尼，分别求得结构在最低阶NF个频率下的位移响应，由于位移响应是谐振动，因此即可知其振幅与位相。我们取一系列NF个频率，就可求解得结构的幅频特性，也可称为频率响应历程。,二、 SAP5程序使用功能：,节点与单元信息的自动生成 为简化大量数据准备工作，程序各单元的节点，最 多可以有6个自由度，节点坐标与约束信息可以按一维 线性插值自动生成，用直角坐标与柱坐标均可，节点号 是按等差数列增长。性质相同的单元信息也自动生成。,2. 节点带宽优化 SAP5程序对复杂结构在单元划分中形成的较大带宽采用Cutkill-mokee方法，解得最小带宽。,动力分析的再启动功能 对于大中型的算题，求解出系统的特征对后，可将 求出的频率、振型及其它动力分析参数一起复制到再启 动文件上，以后只要启动再启动文件，就能多次重复计 算，而不需要重复计算结构的频率与振型。,3. 方程右端载荷组合 SAP5程序采用二级载荷组合组成方程右端的不同 载荷工况，第一级是将热载荷、体力载荷、面力载荷等作 为A、B、C、D四种载荷模式，各乘以载荷因子形成单 元载荷模式矩阵，作为单元特性的原始数据输入。第二 级通过载荷工况因子对四种单元载荷模式进行线性组合 形成各种所需的实际作用与结构的载荷，加上作用在节 点上的集中力，即形成方程右端的总载荷向量。,输出应力或位移的选择功能 SAP5程序对于不同单元类型有选择不同打印应力、 位移的功能，对动力分析除有选择的输出位移、应力的 功能外，还有输出最大位移与最大应力响应的功能。,绘图功能 SAP5程序具有强大的绘图功能，可在绘图仪、显示器上绘图，可绘出变形前后的图形，结构振型图，局部结构变形图。,数据检查功能 SAP5程序有数检状态与计算状态两种，数检状态是 检查原始信息。在计算状态中，对每个运算阶段的内存 是否够用进行校核，发现问题转入检查状态或停机。,ADINA简介,ADINA是对固体,结构及结构-流体系统作静,动位移和应力分析的一个计算机程序。,与ADINA配套的线性和非线性,稳态和瞬态热传导分 析程序是ADINAT. 它们能解决：线性静力、动力问题，非线性静力、动 力分析问题；线性稳态瞬态温场问题， 非线性稳态瞬态温场问题；热弹塑性分 析和液体与结构相作用等问题.,ADINA/ADINAT是非线性分析程序,他们可以进行几何非线性分析,材料非线性分析及非线性的稳态,瞬态温度 场计算.,(Automatic Dynamic Incremental Non linear Analysis),该程序讲究求解策略的灵活度，用户可自行调整迭带方法及时间步长大小，可自动进行处理，达到合适的步长，提高计算效率，保证计算精度,满足各种工程实际要求。,另外,ADINA/ADINAT是一个高度模块化程序,这 些模块构成层次清晰的结构树.ADINA/ADINAT是一 个利用内,外存进行交换来求解的程序,它高效率的利 用计算机的高速内存区.,特点:,1 弹性力学与结构力学的区别,6-1 基本量和基本方程的矩阵表示,浅梁,深梁,平截面假设成立,平面问题的有限单元法,2 几何方程-位移与应变之间的关系,平面问题的有限单元法,-几何方程,3 物理方程-应力与应变关系,由广义虎克定律,对于平面应力问题,平面问题的有限单元法,对于平面应变问题,平面问题的有限单元法,其中:,应力向量,应变向量,弹性矩阵,将平面应力问题的弹性矩阵中的E换成 换成 。,6-2 有限元法的概念,一、有限元法的基本思想,假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在结点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。,平面问题的有限单元法,二、经典解与有限元解的区别：,平面问题的有限单元法,有限元法的实质是：把有无限个自由度的连续体，理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。,为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型,三、有限元法算题的基本步骤,1. 力学模型的选取,（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）,例如：,平面问题的有限单元法,根据题目的要求，可选择适当的单元把结构离散化。对于平面问题可用三角元，四边元等。,2. 单元的选取、结构的离散化,例如：,平面问题的有限单元法,3. 选择单元的位移模式,（6-1）,单元内任一点的位移列阵；,单元的结点位移列阵；,单元的形函数矩阵；（它的元素是任一点位置坐标的函数）,在有限元法中，通常都是假定单元的位移模式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。,平面问题的有限单元法,4. 单元的力学特性分析,把（6-1）式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示的单元应变表达式：,（6-2）,式中：,单元内任一点应变列阵；,单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的函数）,再把（6）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：,（6-3）,平面问题的有限单元法,最后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：,单元内任一点的应力列阵；,单元的弹性矩阵，（它与材料的特性有关）,式中：,单元刚度矩阵,（6-4）,平面问题的有限单元法,考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（6-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。,用直接刚度法将单刚 组集成总纲 ，并将 组集成总载荷列阵 ，形成总体结构的刚度方程：,（6-6）,5. 建立整体结构的刚度方程,6. 求解修改后的整体结构刚度方程,平面问题的有限单元法,求解出整体结构的位移和应力后，可有选择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的 变形图、应力图、应变图、结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。,8. 计算结果输出,平面问题的有限单元法,解出整体结构的结点位移列阵 后，再根据单元结点的编号找出对应于单元的位移列阵 ，将 代入（6-3）式就可求出各单元的应力分量值。,7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力, 6-3 三角形常应变单元的位移模式和解答的收敛性,一、离散化,在运用有限单元法分析弹性力学平面问题时，第一步就是要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个离散的结构物。对于平面问题，三角形单元是最简单、也是最常用的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变问题中，则是三棱柱。,平面问题的有限单元法,假设采用三角形单元，把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图6-1所示。,平面问题的有限单元法,图6-1 弹性体和有限元计算模型,平面问题的有限单元法,图6-2 平面三角形单元,平面问题的有限单元法,二、位 移,首先，我们来分析一下三角形单元的力学特性，即建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m，如图6-2所示。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量，即六个自由度。用列阵可表示为：,平面问题的有限单元法,其中的子矩阵,（i，j，m 轮换） (a),式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。,(6-7),平面问题的有限单元法,在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部都适用。,从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。,平面问题的有限单元法,因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。,这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。,基于上述思想，我们可以选择一个单元位移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种最简单的单元位移模式，故设,(b),平面问题的有限单元法,式中 1、2、6是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为（xi , yi ）、（xj , yj ）、（xm , ym ），代入 (b) 式，得：,(c),由 (c) 式左边的三个方程可以求得,(d),其中,(6-8),从解析几何可知，式中的 就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆时针方向，如图6-2所示。,平面问题的有限单元法,图6-2 平面三角形单元,将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到,(e),平面问题的有限单元法,其中,同理可得,若令,这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为,（i , j , m轮换） (6-10),（i , j , m轮换） (6-9),(f),平面问题的有限单元法,式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm 是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 N 叫做形函数矩阵。,(6-11),也可写成矩阵形式,(6-12),平面问题的有限单元法,形函数的性质,在前面的分析中，提出了形函数的概念，即,其中,（i , j , m轮换）,现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，并注意到（6-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、,平面问题的有限单元法,cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，我们有, 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即,在节点i上，,在节点j、m上，,(a),(b),(c),平面问题的有限单元法,类似地有,(d), 在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1，即,(e),平面问题的有限单元法,简记为,(6-22),这说明，三个形函数中只有二个是独立的。,三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上，有,(6-23),平面问题的有限单元法,事实上，因i j 边的直线方程方程为,(f),代入（6-10）式中的Nm (x , y) 和Nj (x , y)，有,(g),(h),平面问题的有限单元法,故有,(g),另外，由（3-22）可以求得,(h),利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。,平面问题的有限单元法,例如，对图6-3所示的单元jm和ijn ，具有公共边ij。,这样，不论按哪个单元来计算，根据（6-11）式，公共边ij上的位移均由下式表示,图6-3,由(6-23)式可知，在ij边上,式中 Ni , Nj 的表达形式如（6-23）式所示。,(i),平面问题的有限单元法,由此可见，在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个节点i、j 的位移所确，因而相邻单元的位移是保持连续的。为了在以后讨论问题中能够比较方便地确定单元中任意一点处的形函数数值，这里引入面积坐标的概念。,图6-4,平面问题的有限单元法,在图6-4所示的三角形单元ijm中，,任意一点P(x , y)的位置可 以用 以下三个比值来确定,图6-4,式中 为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m 分别是三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。这三个比值就叫做P点的面积坐标。,(6-24),平面问题的有限单元法,显然这三个面积坐标并不是完全独立的，由于,所以有：,而三角形pjm的面积为：,故有：,平面问题的有限单元法,类似地有,(6-25),(6-26),由此可见，前述的三角形常应变单元中的形函数Ni 、Nj 、Nm 就是面积坐标Li 、Lj 、Lm 。,根据面积坐标的定义，我们不难发现，在平行jm边的直线上的所有各点，都有相同的坐标Li ，并且该坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“节点i至jm边的距离”之比，图6-4中给出了Li 的一些等值线。,平面问题的有限单元法,容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为,节点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0,节点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0,节点m： Li =0 Lj =0 Lm =1,不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系：,(6-27),平面问题的有限单元法,求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时，有,(6-29),式中 、 为整常数。若求面积坐标的幂函数在三角形某一边上的积分值时，则可用下式,(6-30),式中 l为该边的长度。,平面问题的有限单元法,收敛准则,对于一个数值计算方法，一般总是希望随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，我们知道，在有限元分析中，一旦确定了单元的形状之后，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立等等，都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，那么就很难获得良好的数值解。,平面问题的有限单元法,可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确值要大。所以，在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。,平面问题的有限单元法,为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足以下三个条件，即, 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，在6-2节的位移模式(b)中，常数项1、4 就是用于提供刚体位移的。,平面问题的有限单元法, 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。,从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。很显然，在前面的位移模式(b)中，与2、3、5、6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。, 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以保证位移的协调性。,平面问题的有限单元法,在有限单元法中，把能够满足条件1和2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元，叫做协调单元或保续单元。前面讨论过的三角形单元和矩形单元，均能同时满足上述三个条件，因此都属于完备的协调单元。在某些梁、板及壳体分析中，要使单元满足条件3比较困难，所以实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元，其收敛性往往也能够令人满意特别是放松条件3的单元，即完备而不协调的单元，已获得了很多成功的应用。对于不协调单元，其主要的缺点是不能事先确定其刚度与真实刚度之间的大小关系。但值得指出的是，不协调单元一般不象协调单元那样刚硬（即比较柔软），因此有可能会比协调单元收敛得快。,平面问题的有限单元法,在选择多项式作为单元的位移模式时，其阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即单元的完备性和协调性要求。实践证明，这两项确实是所要考虑的重要因素，但并不是唯一的因素。 选择多项式位移模式阶次时，需要考虑的另一个因素是，所选的模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。对于线性多项式，各向同性的要求通常就等价于位移模式必须包含常应变状态。对于高次位移模式，就是不应该有一个偏惠的坐标方向，也就是位移形式不应该随局部坐标的更换而改变。经验证明，实现几何各向同性的一种有效方法是，根据图6-10所示的巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项。在二维多项式中，如果包含有对称轴一边的某一项，那么就必须同时包含有另一边的对称项。,平面问题的有限单元法,选择多项式位移模式时，还应该要考虑的一个因素就是，多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。,平面问题的有限单元法,