资源描述
2.5 四边形,命题解读,考纲解读,了解多边形的概念;掌握多边形的内角和定理和多边形的外角和定理,能够熟练地求出多边形的内角和或外角和;理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性,了解并记住四边形的内角和等于360;理解平行四边形的性质和判定方法,能够熟练地应用平行四边形的性质和判定证明或解决有关的问题;理解矩形、菱形、正方形的概念;理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系;掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定,并能够熟练地应用矩形、菱形、正方形的性质和判定证明或解决有关的问题.,命题解读,考纲解读,命题解读,考纲解读,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点1 多边形的相关结论 1.多边形的内角和与外角和定理 (1)n边形的内角和等于 (n-2)180 . (2)任意多边形的外角和都等于 360 . 2.多边形的对角线 若n是多边形的边数,则对角线条数是 .,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例1 (2016湖南衡阳)正多边形的一个内角是150,则这个正多边形的边数为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 【解析】一个正多边形的每个内角都相等,根据内角与外角互为邻补角,因而就可以求出外角的度数.根据任何多边形的外角和都是360度,利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数,即多边形的边数.外角是180-150=30,36030=12,则这个正多边形是正十二边形. 【答案】 C,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】(2016湖北宜昌)设四边形的内角和等于a,五边形的外角和等于b,则a与b的关系是 ( B ) A.ab B.a=b C.ab D.b=a+180 【解析】四边形的内角和等于a,a=(4-2)180=360.五边形的外角和等于b,b=360,a=b.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点2 平行四边形的性质和判定 1.平行四边形的定义 两组对边 分别平行 的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的性质 (1)平行四边形的两组对边 平行且相等 . (2)平行四边形的两组对角分别 相等 . (3)平行四边形的对角线 互相平分 . (4)平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,3.平行四边形的判定 (1)两组对边 分别平行 的四边形是平行四边形. (2)两组对边 分别相等 的四边形是平行四边形. (3)一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形. (4)两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形. (5)对角线 互相平分 的四边形是平行四边形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,反例:等腰梯形;一组对边相等,一组对角相等的四边形不一定是平行四边形,举例: 如图,在等腰三角形ABC的底边上任取一点D,使BDCD,连接AD,沿AD剪下ACD,并如图倒贴至DAC处,则B=C,AB=CD,显然四边形ABDC不是平行四边形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例2 (2016西宁)如图,在 ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F. (1)求证:AB=CF; (2)连接DE,若AD=2AB,求证:DEAF. 【解析】(1)由在 ABCD中,E是BC的中点,利用ASA,即可判定ABEFCE,继而证得结论;(2)由AD=2AB,AB=CF=CD,可得AD=DF,又由ABEFCE,可得AE=EF,然后利用等腰三角形三线合一,证得结论.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】 (1)四边形ABCD是平行四边形, ABDF, ABE=FCE, E为BC中点,BE=CE, ABEFCE(ASA), AB=CF. (2)AD=2AB,AB=CF=CD,AD=DF, ABEFCE,AE=EF, DEAF.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】(2016浙江舟山)如图1,已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA的中点,根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形:,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(1)如图2,将图1中的点C移动至与点E重合的位置,F,G,H仍是BC,CD,DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形; (2)如图3,在边长为1的小正方形组成的55网格中,点A,C,B都在格点上,在格点上画出点D,使点C与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH; (3)在(2)条件下求出正方形CFGH的边长.,【答案】 (1)如图,连接BD, C,H是AB,DA的中点, CH是ABD的中位线, CHFG,CH=FG,四边形CFGH是平行四边形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)点D的位置如图所示.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点3 矩形的性质与判定 1.矩形的定义 有一个角是 直角 的平行四边形叫做矩形. 2.矩形的性质 (1)矩形的对边平行且相等. (2)矩形的四个角都是直角. (3)矩形的对角线相等且互相平分. 3.矩形的判定 (1)有一个角是直角的 平行四边形 是矩形. (2)有 三个角 是直角的四边形是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例3 (2016浙江台州)如图,点P在矩形ABCD的对角线AC上,且不与点A,C重合,过点P分别作边AB,AD的平行线,交两组对边于点E,F和G,H. (1)求证:PHCCFP; (2)证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形,并直接写出它们面积之间的关系. 【解析】(1)由矩形的性质得出对边平行,再根据平行线的性质得出相等的角,结合全等三角形的判定定理ASA即可得出PHCCFP;(2)由矩形的性质得出D=B=90,再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形.由矩形的轴对称性知SACD=SABC,结合(1)知PHCCFP,AEPPGA,可得出两矩形面积相等.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】 (1)四边形ABCD为矩形, ABCD,ADBC. PFAB,PFCD,CPF=PCH. PHAD,PHBC,PCF=CPH. PHCCFP(ASA). (2)四边形ABCD为矩形,D=B=90. 又EFABCD,GHADBC, 四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形. S矩形PEDH=S矩形PFBG.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点4 菱形的性质与判定 1.菱形的定义 有一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形. 2.菱形的性质 (1)菱形的四条边都相等. (2)菱形的对角相等. (3)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角. 3.菱形的判定 (1)有 一组邻边相等 的平行四边形是菱形. (2)四条边 都相等 的四边形是菱形. (3)对角线 互相垂直 的平行四边形是菱形. 4.菱形面积的特殊求法 菱形面积等于对角线乘积的一半.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形;顺次连接对角线垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形;顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例4 (2016福建三明)如图,在ABC中,ACB=90,D,E分别为AC,AB的中点,BFCE交DE的延长线于点F. (1)求证:四边形ECBF是平行四边形; (2)当A=30时,求证:四边形ECBF是菱形. 【解析】(1)利用平行四边形的判定证明即可;(2)利用菱形的判定证明即可.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】 (1)D,E分别为边AC,AB的中点, DEBC,即EFBC. 又BFCE, 四边形ECBF是平行四边形. (2)ACB=90,A=30,E为AB的中点, CB=CE. 又由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】(2016沈阳)如图,ABCABD,点E在边AB上,CEBD,连接DE.求证: (1)CEB=CBE; (2)四边形BCED是菱形. 【答案】 (1)ABCABD, ABC=ABD, CEBD,CEB=DBE, CEB=CBE. (2)ABCABD,BC=BD, CEB=CBE,CE=CB,CE=BD. CEBD,四边形BCED是平行四边形, BC=BD,四边形BCED是菱形.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,考点5 正方形的性质与判定 1.正方形的定义 有一组 邻边相等 并且 有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质 (1)正方形的四条边都相等. (2)正方形的四个角都是直角. (3)正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角. 3.正方形的判定 (1)有一个角是直角的 菱形 是正方形. (2)有一组邻边相等的 矩形 是正方形.,判定正方形的总的思路就是要证明“既是菱形又是矩形”.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,典例5 (2016山东济宁)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点F,使CF=CA,连接AF,ACF的平分线分别交AF,AB,BD于点E,N,M,连接EO. (1)已知EO= ,求正方形ABCD的边长; (2)猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明. 【解析】(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可用正方形的边长表示AC,再证得EO是AFC的中位线,从而得到EO与BC的数量关系后可求BC;(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得CEAF,进一步得出BAF=BCN,然后通过证得ABFCBN得出AF=CN,进而证得ABFCOM,根据相似三角形的性质和正方形的性质即可证得CN= CM.结合(1)得到EM与CM的关系,可得EM与CN的数量关系.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】 (1)四边形ABCD是正方形,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【变式训练】ABC中,BAC=90,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF. (1)观察猜想 如图1,当点D在线段BC上时, BC与CF的位置关系为 ; BC,CD,CF之间的数量关系为 .(将结论直接写在横线上) (2)数学思考 如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论,是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明. (3)拓展延伸,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,【答案】 (1)正方形ADEF中,AD=AF, BAC=DAF=90,BAD=CAF, DABFAC(SAS),ABD=ACF, ACB+ACF=90,即BCCF. 故答案为:垂直. 由可知DABFAC, BD=CF, BC=BD+CD, BC=CF+CD. 故答案为:BC=CD+CF.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(2)CFBC成立,BC=CD+CF不成立,CD=CF+BC. 在正方形ADEF中,AD=AF, BAC=DAF=90,BAD=CAF, DABFAC(SAS),ABD=ACF, BAC=90,AB=AC, ACB=ABC=45. ABD=180-45=135, BCF=ACF-ACB=135-45=90, CFBC. CD=DB+BC,DB=CF,CD=CF+BC.,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,(3)如图,过点A作AHBC于点H,过点E作EMBD于点M,ENCF于点N, BAC=90,AB=AC, DH=3, 由(2)证得BCCF, 四边形ADEF是正方形, AD=DE,ADE=90, BCCF,EMBD,ENCF, 四边形CMEN是矩形, NE=CM,EM=CN,备课资料,考点扫描,考点1,考点2,考点3,考点4,考点5,AHD=ADE=EMD=90, ADH+EDM=EDM+DEM=90, ADH=DEM, ADHDEM(AAS), EM=DH=3,DM=AH=2, CN=EM=3,EN=CM=3, ABC=45,BGC=45, BCG是等腰直角三角形,CG=BC=4,GN=1,备课资料,考点扫描,1.矩形、菱形的综合 典例1 如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且BEAC,CEBD. (1)求证:四边形OBEC是矩形; 【解析】(1)利用菱形的对角线互相垂直结合平行线的性质得出BOC=OCE=OBE=90,进而求出即可;(2)利用菱形的性质结合勾股定理得出CO,BO的长,进而求出四边形OBEC的面积.,【答案】 (1)菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O, ACBD, BEAC,CEBD, BOC=OCE=OBE=90, 四边形OBEC是矩形.,备课资料,考点扫描,备课资料,考点扫描,2.四边形中的折叠问题 典例2 如图,菱形ABCD中,E是AD的中点,将CDE沿CE折叠后,点A和点D恰好重合,若菱形ABCD的面积为4 ,则菱形ABCD的周长是 ( ),【答案】 A,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,命题点1 平行四边形的性质及判定(常考) 1.(2014安徽第14题)如图,在 ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CEAB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是 .(把所有正确结论的序号都填在横线上),命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,【解析】本题考查平行四边形的性质,等腰三角形的判定,三角形的中位线等几何知识. ABCD中ADBC,1=3,F是AD的中点,且AD=2AB,DF=DC,1=2,2=3,即DCF=,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,2.(2013安徽第13题)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,PEF,PDC,PAB的面积分别为S,S1,S2.若S=2,则S1+S2= 8 . 【解析】本题考查平行四边形的性质、三角形中位线定理及三角形相似的有关性质.因为E,F分别为PB,PC的中点,所以EFBC,且EF= 由相似三角形性质可得，SPBC=4 SPEF=8，又因为SPBC= ，所以S1+S2= ，所以S1+S2=8.,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,命题点2 多边形的性质(冷考) 3.(2012安徽第7题)为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域.设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为 ( A ) A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2 【解析】本题考查面积的计算以及割补思想求面积.图案中间的阴影部分是正方形,面积是a2,四周的每一个阴影部分的面积为 ,其和为a2,故阴影部分总面积为2a2.,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,命题点3 矩形的性质及判定(常考) 4.(2016安徽第14题)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10,点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论: EBG=45;DEFABG;SABG= SFGH;AG+DF=FG. 其中正确的是 .(把所有正确结论的序号都选上),命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,【解析】本题考查相似三角形、折叠、矩形的性质、相似三角形的判定方法、勾股定理等知识.BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，1=2，CE=FE，BF=BC=10，在RtABF中，AB=6，BF=10，AF= =8，DF=ADAF=10 8=2，设EF=x，则CE=x，DE=CDCE=6x，在RtDEF中，DE2+DF2= EF2，(6x)2+22=x2，解得x= ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， 3=4，BH=BA=6，AG=HG， 2+3= 正确； HF=BF BH=106=4，设AG=y，则GH=y，GF=8y， 在RtHGF中， GH2+HF2= GF2，y2+42=(8y)2，解得y=3， AG=GH=3，GF=5，A=D， ABG与DEF不相似，错误； SABG= 63=9，SFGH= SABG= SFGH,正确; AG+DF=3+2=5,而GF=5,AG+DF=GF,正确.,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,命题点4 菱形的性质及判定(高频) 5.(2015安徽第9题)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4.点E在AB上,点F在CD上,点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是 ( C ),命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,【解析】本题考查菱形的性质、矩形的性质、勾股定理以及锐角三角函数.连接EF交AC于点M,由四边形EGFH为菱形可得FM=EM,EFAC.利用“AAS或ASA”易证FMCEMA,根据全等三角形的性质可得AM=MC.在RtABC中,由勾股定理求得AC=4 在RtAME中， ，在RtAME中,由勾股定理求得AE=5.,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,6.(2010安徽第20(1)题)如图,ADFE,点B,C在AD上,1=2,BF=BC. (1)求证:四边形BCEF是菱形. 解:(1)ADEF, FEB=2. 1=2, FEB=1, BF=EF. 又BF=BC,BC=EF. 四边形BCEF是平行四边形. 又BF=BC, 四边形BCEF是菱形.,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,命题点5 正方形的性质及判定(高频),A.1 B.2 C.3 D.4,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,【解析】本题是压轴题,体现初、高中的衔接.直线满足条件,则以D为圆心 为半径作圆,那么直线是圆D的切线.直线满足条件有两种情况:一是直线与AC平行,这时与圆D相切的直线有两条(如图所示);二是直线经过AC的中点O,这时直线与圆D相交,不可能相切,故这样的直线不存在.综上可知,满足条件的直线共有两条.,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,8.(2013安徽第14题)已知矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2.将该纸片折叠成一个平面图形,折痕EF不经过A点(E,F是该矩形边界上的点),折叠后点A落在A处,给出以下判断:,命题点2,命题点1,命题点3,命题点4,命题点5,【解析】本题考查考生的动手操作能力及矩形、轴对称图形的性质等.如图1,当四边形ACDF为正方形时,E与B重合,F为AD的中点,AC=AF=AB=1,所以EF= 故正确；如图1，将EF平移，且E在BC上，易见四边形ACDF不是正方形，故错误；如图2，当EF= 时，EF与对角线BD重合(此时折痕最长)，则有ABD=ABD= BDC，且AB=AB=CD=1，所以四边形BACD为等腰梯形，故正确；当四边形BACD为等腰梯形时，只能是折痕EF和BD重合，所以EF= ，故正确.,
展开阅读全文