2019-2020年高三数学上学期期初联考试题 理（含解析）.doc

2019-2020年高三数学上学期期初联考试题 理（含解析）【试卷综评】命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能。试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查。注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念.一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的【题文】1设全集，集合，集合，则=（ ） A B C D 【知识点】集合及其运算.A1【答案解析】A 解析：因为全集，集合，集合，所以，故，故选A.【思路点拨】根据已知条件先求出，然后再求即可.【题文】2已知函数为奇函数,且当时, 则 （ ）A. B. C. D. 【知识点】奇函数的性质;考查函数的求值. B1 B4 【答案解析】A 解析：函数为奇函数,且当时, ，故选A【思路点拨】利用奇函数的性质，即可求得答案【题文】3若有直线、和平面、，下列四个命题中，正确的是 （ ）A若，则 B若，则C若，则D若，则【知识点】面面平行的判定定理;线面平行的定理; 面面垂直的性质定理.G4 G5 【答案解析】D 解析：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选D【思路点拨】由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断A、B、D；由面面垂直的性质定理判断C【题文】4在中，“”是“角A、B、C成等差数列”的 （ ）A充分不必要条件 B. 充要条件 C必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【知识点】两角差的余弦公式以及平方关系；充要条件. C 5 A2【答案解析】B 解析：因为，整理可得：，即,;而角A、B、C成等差数列可得，故在中，“”是“角A、B、C成等差数列”的充要条件.故选B.【思路点拨】先利用两角差的余弦公式以及平方关系把原式化简，然后双向判断即可.【题文】5直线和直线垂直，则实数的值为（ ） A1 B0C2D-1或0【知识点】直线的一般式方程;直线的垂直关系H1 H2【答案解析】D 解析：直线mx+（2m-1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直，3m+m（2m-1）=0，解得m=0或m=-1故选：D【思路点拨】本题考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用【题文】6如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面， C是圆周上不同于A，B的任意一点，AC=BC=4，则二面角A-PB-C的大小的正弦值为（ ）A、 B、 C、 D、【知识点】二面角的求法.G5【答案解析】C 解析：如下图连接CO，AC=BC=4，ABOC， 过O在平面PAB上作OMPB于M，连接CM，由三垂线定理CMPB，OMC是二面角A-PB-C的平面角，易知,所以在中，故选C.【思路点拨】连接CO，过O在平面PAB上作OMPB于M，连接CM，OMC是二面角A-PB-C的平面角，由此能求出二面角A-PB-C的大小的正弦值【题文】7若为等差数列,是其前项和,且S15 =,则tan的值为( ) A B C D【知识点】等差数列的性质. D2【答案解析】B 解析：由等差数列an的前n项和的性质，,故选B【思路点拨】由等差数列an的前n项和的性质，n为奇数时，求出，进而根据特殊角的三角函数值求出结果【题文】8过点（，0）引直线与曲线 交于A,B两点 ，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（ ）A. B. C. D. 【知识点】直线的斜率；直线与圆的关系. H1 H4 【答案解析】B 解析：由，得x2+y2=1（y0）所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则-1k0，直线l的方程为y-0=k(x)，即kxyk0则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为则SABO=令，则SABO，当t，即时，SABO有最大值为此时由，解得k=故选B【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值【题文】9函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A2 B3 C4 D6【知识点】正弦函数的图象；函数的零点与方程的根的关系.B9 C3 【答案解析】C 解析：函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，当1x4时，而函数在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在上是单调增且为正数函数，在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(，3)上是单调减且为正数，函数在x=处取最大值为2，而函数在、上为负数与的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4，故选C.【思路点拨】的图象关于点中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数的图象的一个对称中心也是点，故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2,即可得到结果.【题文】10在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为A（1，0），B（1，0），平面内两点G、M同时满足下列条件：（1） ，（2），（3），则的顶点C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【知识点】轨迹方程；椭圆的标准方程 H5 H9【答案解析】C 解析：由得，G为重心，由得，M为外心所以M点在y轴上（M到AB两点距离相等）又，则GMAB设M为（0，y），G为（x，y）（y0），由重心坐标公式得C为（3x，3y）再由MA=MC，得整理得：再设c（x，y），由3x=x，3y=y得x，y代入得：(x)2+=1.所以ABC的顶点C的轨迹方程为x2+ =1(y0)故选C【思路点拨】由题目给出的条件，分别得到G为三角形ABC的重心，M为三角形ABC的外心，设出G点坐标，由GMAB，可知M和G具有相同的纵坐标，由重心坐标公式得到C点的坐标，然后由M到A和C的距离相等列式可得G的轨迹方程，利用代入法转化为C的轨迹方程二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）【题文】11. 若角的终边经过点P,则的值是 【知识点】任意角的三角函数的定义. C1【答案解析】 解析：OP=r1，点P在单位圆上，sin，tan，得sintan()()故答案为.【思路点拨】求出OP的距离，利用任意角的三角函数的定义求出sin，tan，即可求出sintan的值得到结果【题文】12一个组合体的三视图如图，则其体积为_第12题图【知识点】由三视图求体积G2【答案解析】 解析：三视图复原的几何体是下部为底面半径为2高为4的圆柱，上部是底面半径为2为3的圆锥，所以几何体的体积为：故答案为：【思路点拨】利用三视图复原的几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可【题文】13若则的值为 _ .【知识点】分段函数求函数值.B1【答案解析】2 解析：由已知条件可知，所以，故答案为2.【思路点拨】先求出的值，再求即可.【题文】14. AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点的弦，若，则= 。【知识点】抛物线的应用；抛物线的简单性质 H7【答案解析】 解析：因为抛物线y2=2px的焦点为所以过焦点的弦为y=k（x-），即与y2=2px联立有：，所以,同理可得,当直线斜率不存在时，结论也成立所以=，故答案为.【思路点拨】根据抛物线方程可得焦点坐标，根据点斜式设出焦点弦的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理可求得同理可求得原式可求【题文】15已知实数、满足，且，则的最小值为 【知识点】点到直线的距离;简单的线性规划.H2 E5 【答案解析】 解析：因为实数、满足，所以其表示的平面区域如下图阴影部分所示：又因为，所以，故表示的是点到平面区域内的点的距离，易知其最小值是点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得，所以的最小值为，故答案为.【思路点拨】先画出平面区域，再结合所表示的几何意义即可得到结果.【题文】16如右图，等边中，则 _【知识点】平面向量数量积的运算. F3 【答案解析】 解析：由题意，得，；故答案为：【思路点拨】先表示出向量与，再计算向量的数量积第16题图【题文】17下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数对应数轴上的点M（点A对应实数0，点B对应实数1），如图；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点A的坐标为（0，1），在图形变化过程中，图中线段AM的长度对应于图中的弧ADM的长度，如图，图中直线AM与轴交于点N（），则的象就是，记作给出下列命题：； ； 是奇函数； 在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是_.（填出所有真命题的序号）【知识点】映射的概念.B1【答案解析】 解析：当m= 时，M位于左半圆弧的中点上，M点坐标为（ ，1 ），直线AM方程为y=x+1，f（）=-1命题错误；当m=时，M位于圆与y轴的下交点上，直线为x=0，f（）=0命题正确；函数的定义域为（0，1），f（x）是非奇非偶函数命题错误；由图3知，当m由0到1时，M由A运动到B，N的坐标逐渐增大，f（x）在定义域上单调递增命题正确故正确的答案是故答案为：【思路点拨】m=时，点M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程得出N的横坐标；当m=时，M位于圆与y轴的下交点上，直线为x=0，由此判断命题正确；由函数的定义域判断命题不正确；由图3知点M的运动规律，得出函数值的变化情况和单调性.三、解答题：本大题有5小题，共 72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【题文】18（14分）已知函数（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）设的内角的对边分别为且，若，求的值。【知识点】两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；余弦定理 C3 C4 C5 C6 C8【答案解析】（1）最小正周期是,单调递减区间 （2）：，.解析：（1），3分则最小正周期是；5分；由，得的单调递减区间，8分（2），则，9分,所以，所以，11分因为，所以由正弦定理得，12分由余弦定理得，即11分，由解得：，14分【思路点拨】（1）利用二倍角的正弦与余弦公式及辅助角公式可求得f（x），从而可求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）利用余弦定理与正弦定理可得方程组，解之即可【题文】19. （14分）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3），（1）若f(x)+6a=0有两个相等的实根，求f(x)的解析式，（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。【知识点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用B9 B3 E3【答案解析】（1）（2）解析：（1）设，由不等式的解集为（1，3）得，又因f(x)+6a=0有两个相等的实根，则，解得或（舍去），所以7分（2），即，又，所以 14分【思路点拨】（1）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）-2x变形为f（x）+2x0因为它的解集为（1，3），则根据一元二次不等式的解与方程的根的关系得出f（x）即可；（2）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式，即和a0联立组成不等式组，求出解集即可【题文】20（14分）数列的前项和为，是和的等差中项，等差数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【知识点】等比数列的判断；裂项相消法. D3 D4 【答案解析】（1） （2） 解析：（1）是和1的等差中项，当时，当时，.2分,.4分数列是以为首项， 为公比的等比数列， 6分设的公差为，. 8分（2）【思路点拨】（1）先结合题意利用的关系求出，然后求出与，再得到即可；（2）把变形后利用裂项相消法即可.【题文】21. （15分）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CA=CB=CC1=2，ACB=90，E、F分别是BA、BC的中点，G是AA1上一点，且AC1EG.（1）确定点G的位置；（2）求直线AC1与平面EFG所成角的大小. 【知识点】直线与平面所成的角G4 G5【答案解析】（1）G是AA1的中点.（2） 解析：解法一：（1）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则F（1，0，0），E（1，1，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），3分设G（0，2，h），则10+1（2）+2h=0. h=1，即G是AA1的中点. 6分（2）设是平面EFG的法向量，则所以平面EFG的一个法向量m=（1，0，1）10分， 即AC1与平面EFG所成角为 15分解法二：（1）取AC的中点D，连结DE、DG，则ED/BC 1分BCAC，EDAC.又CC1平面ABC，而ED平面ABC，CC1ED.CC1AC=C，ED平面A1ACC1. 3分又AC1EG，AC1DG.4分连结A1C，AC1A1C，A1C/DG.D是AC的中点，G是AA1的中点. 6分第21题图（2）取CC1的中点M，连结GM、FM，则EF/GM， E、F、M、G共面.作C1HFM，交FM的延长线于H，AC平面BB1C1C，C1H平面BB1C1C，ACG1H，又AC/GM，GMC1H. GMFM=M，C1H平面EFG，设AC1与MG相交于N点，所以C1NH为直线AC1与平面EFG所成角. 12分因为 15分【思路点拨】解法一：（1）以C为原点，分别以CB、CA、CC1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，利用向量数量积为零即可求得结果；（2）求出平面EFG的法向量的一个法向量，利用直线的方向向量与法向量的夹角与直线与平面所成角之间的关系即可求得结果；解法二：（1）取AC的中点D，连接DE、DG，则EDBC，利用线面垂直的判定和性质定理即可求得结果；（2）取CC1的中点M，连接GM、FM，则EFGM，找出直线与平面所成的角，解三角形即可求得结果【题文】22（15分）在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k. (1)若直线PA平分线段MN，求k的值； (2)当k2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意的k0，求证：PAPB. 第22题图 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题A8【答案解析】（1） （2） (3)见解析 解析：(1)由题设知，a2，b，故M(2,0)，N(0，)，所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以k.3分(2)直线PA的方程为y2x，代入椭圆方程得1，解得x，因此P，A.于是C，直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为xy0.因此，d.7分(3)解法一：将直线PA的方程ykx代入1，解得x . .9分记，则P(，k)，A(，k)，于是C(，0)，故直线AB的斜率为，其方程为y(x)，代入椭圆方程得(2k2)x22k2x2(3k22)0，.11分解得x或x，因此B.13分于是直线PB的斜率k1.因此k1k1，所以PAPB. 15分解法二：设P(x1，y1)，B(x2，y2)，则x10，x20，x1x2，A(x1，y1)，C(x1, 0)，设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2，因为C在直线AB上，所以k2，从而k1k12k1k212110.因此k1k1，所以PAPB. 15分 【思路点拨】（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；(3)要证PAPB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为-1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果