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北京市朝阳区xxxx学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理）2019-2020年高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集U=-2,-1,0,1,2，A=-2,-1,0，B=0,1,2，则（UA）B=A.0 B.-2,-1 C.1,2 D.0,1,22.不等式|x-2|x|的解集是 Ax|x1 B.x|x1 C.x|x0或x2 D.x|0x23.在ABC中，AB是cosAcosB的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件4已知函数f(x)=3x-1，f(x)的反函数为y=f-1(x)，当y0时，y=f-1(x)的图象是 5在下列向量中，与向量a=（1，-平行的单位向量是 A（1，- B.(,1) C.() D.(-)6.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线x=对称的是 Ay=sin(2x-) B.y=sin(2x-) C.y=sin(2x+) D.y=sin(+)7.在等差数列an中，a1+a2+a50=200,a51+a52+a100=2700，则a1等于 A-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-208过双曲线0,b0）的左焦点F1的直线y=（x+c）与双曲线的右支交于点P，若sinF1OP=（O为坐标原点），则双曲线的离心率是 A B.5 C. D.第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.将答案填写在题中横线上.9tan30的值是_.10.在等比数列an中，a3+a5=18,a9+a11=144,则a5+a8=_.11.若函数f(x)= 是奇函数，则函数g(x)的解析式是_.12.在（x2+4x+4）5的展开式中,x8的二项式系数是_；x8的系数是_.(用数字作答)13圆心在第一象限，且半径为1的圆与抛物线y2=2x的准线和双曲线=1的渐近线都相切，则圆心的坐标是_.14.定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，又设g1(x)=f(x+3)，g2(x)=f(3-x)，给出下列四个命题: f(x)的图象关于直线x=1对称，g1(x)的图象与g2(x)的图象关于直线x=3对称； f(x)的图象关于直线x=1对称，g1(x)的图象与g2(x)的图象关于直线x=0对称； f(x)的周期为4,g1(x)与g2(x)的周期均为2; f(x)的图象关于直线x=2对称，g1(x)的图象与g2(x)的图象关于直线x=3对称.其中正确的命题有_（填入正确命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分12分) 已知非负实数x,y满足（1） 在所给坐标系中画出不等式组所表示的平面区域；（2） 求Z=x+3y的最大值.16.(本小题满分12分)已知向量a=（cosb=(cos，且x-.(1) 求ab及|a+b|；(2) 若f(x)=ab-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.17.(本小题满分13分)经统计，某大医院一个结算窗口每天排队结算的人数及相应的概率如下：排队人数0561011151620212525人以上概 率0.10.150.250.250.20.05(1) 每天不超过20人排队结算的概率是多少？(2) 一周7天中，若有3天以上（含3天）出现超过15人排队结算的概率大于0.75，医院就需要增加结算窗口，请问该医院是否需要增加结算窗口？18.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a、bR)（1） 若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值，且极小值为-1,求a、b的值；（2） 若x0，1，函数f(x)图象上任意一点的切线斜率为k，试讨论k-1成立的充要条件.19(本小题满分15分)已知A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆中心O，如图，且，|BC|=2|AC|.（1） 求椭圆的方程；（2） 如果椭圆上两点P、Q使PCQ的平分线垂直AO，则总存在实数，（3） 使请给出证明.20. (本小题满分15分)设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.（1） 求证：M点的纵坐标为定值； （2） 若Sn=f(N*，且n2,求Sn;（3） 已知an=，其中nN*. Tn为数列an的前n项和，若Tn(Sn+1+1)对一切nN*都成立，试求的取值范围.北京市朝阳区xxxx学年度高三年级第一学期期末统一考试1.C 2.A 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B9.- 10.36 11.-cosx 12.45,180 13.( 14.15.（1）所求不等式所表示的区域如图中阴影所示；（2）如图作出直线l:x+3y=0，把直线向上平移至l1的位置，使l1经过可行域上点M，显然此时点M与原点距离最大，此时z=x+3y的最大值是0+33=9.16.（1）ab=cos |a+b|=2|cosx|,因为x-,所以cosx0.即|a+b|=2cosx.（2）因为f(x)=cos2x-2cox=2cos2x-2cosx-1=2(cosx- 且x-，所以cosx1. 所以当cox=时，f(x)取得最小值- 当cosx=1,f(x)取得最大值-1.17（1）每天不超过20人排队结算的概率为:P=0.1+0.5+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率为0.75. （2）每天超过15人排队结算的概率为:0.25+0.2+0.05=, 一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为C（）7； 一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的概率为C（）（）6；一周7天中，有二天出现超过15人排队结算的概率为C（）2（）5； 所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：1-C()7+C()()6+C()2()5=0.75,所以，该医院需要增加结算窗口.18（1）由f(x)=-3x2+2ax=0 解得x=0或x=.=4得a=6. 当x0时,f(x)0；当0x4时，f(x)0. 故当x=0时，f(x)达到极小值f(0)=(b),b=-1. （2）当x0,1时，-3x2+2ax-1恒成立， 即g(x)=3x2-2ax-10对一切x0,1恒成立， 只需即a1.反之，当a1时,g(x)0对x0,1恒成立， a1是k-1成立的充要条件.19(1)以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系 则A（2，0），设所求椭圆的方程为:(0b2)， 由椭圆的对称性知|OC|=|OB|，由得ACBC. |BC|=2|AC|,|OC|=|AC|. AOC是等腰直角三角形, C的坐标为（1，1）. C点在椭圆上，b2=所求的椭圆方程为 (2)由于PCQ的平分线垂直OA（即垂直于x轴），不妨设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为-k,直线PC的方程为：y=k(x-1)+1,直线QC的方程为y=-k(x-1)+1, 由得（1+3k2）x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0() 点C（1，1）在椭圆上,x=1是方程()的一个根，则其另一根为.设P（xP,yP）,Q(xQ,yQ),则xP=，同时，xQ=.KPQ=而由对称性知B（-1,-1），又A（2，0），kAB=KPQ=KAB, ，且即存在实数，使20（1）证明： M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）, 由（x1+x2）=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1. 而y=(y1+y2)= f(x1)+f(x2)=(+log2 =(1+log2=(1+log2 =(1+log2 M点的纵坐标为定值. （2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1, Sn=f( Sn=f(, 两式相加得：2Sn=f()+f()+f()= Sn=(n2,nN*).(2)当n2时,an= Tn=a1+a2+a3+an=()=( 由Tn(Sn+1+1)得 n+4,当且仅当n=2时等号成立,因此，即的取值范围是（+）.（2个空的填空题，对1个给3分；1个空、2解的填空题，对1个给3分.如有不同解法，请阅卷老师酌情给分.）
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