2019-2020年高三下学期开学检测 数学（理）试题.doc

2019-2020年高三下学期开学检测 数学（理）试题第卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1. 设集合，若，则实数的值为（ ）A. 4 B. 4 C. 6 D. 6 2. 复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知平面向量，与垂直，则是（ ）A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 4. 若某空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A. B. C. 2 D. 6 5. 设直线与的方程分别为与，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列命题中（ ）三点确定一个平面；若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直；同时垂直于一条直线的两条直线平行；底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为12。正确的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 双曲线的渐近线与圆相切，则等于（ ）A. B. 2 C. 3 D. 6 8. 已知集合，。若存在实数，使得成立，称点为“”点，则“”点在平面区域内的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个第卷二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分。 9. 的展开式中的系数是 。（用数字作答） 10. 在平面直角坐标系中，不等式组，所表示的平面区域的面积是16，则实数的值为 。 11. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是8，则从集合中所有满足条件的值为 。 12. 对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列。设，周期为的数列前项的和分别记为，则三者的关系式是 。 13. 已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是 。 14. 设函数，则方程有 个实数根。三、解答题：本大题共6个小题，共80分。解答题写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15. 已知函数。（1）求函数的最小正周期；（2）若是的内角的对边，且是函数在上的最大值，求：角，角及边的大小。 16. 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的大小。 17. 有甲、乙等7名选手参加一次讲演比赛，采用抽签的方式随机确定每名选手的演出顺序（序号为1，2，7）。（1）甲选手的演出序号是1的概率；（2）求甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率；（3）求甲、乙两名选手之间的演讲选手个数的分布列与期望。 18. 已知函数，在点处的切线与直线平行。（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的最小值。 19. 椭圆：的左、右焦点分别是，过斜率为1的直线与椭圆相交于，两点，且，成等差数列。（1）求证：；（2）设点在线段的垂直平分线上，求椭圆的方程。 20. 正数列的前项和满足：，常数（1）求证：是一个定值；（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；（3）若数列是一个有理数等差数列，求。参考答案一、选择题 1-5 BDDCB 6-8 BAA二、填空题 9. 5 10. 2 11. 0 12. 13. 14. 三、解答题 15. 解：（1），（2）.，的最大值为3。，为三角形内角，又，得，由，得， 16. 解法一：（1）证明：，分别是线段，的中点，。又平面，平面，平面。（2）解，为的中点，且，又底面，底面，。又四边形为正方形，。又，平面。又平面，。又，平面。（3）平面，平面，平面平面，平面，平面平面=，平面，分别是线段的中点，平面。平面，平面，就是二面角的平面角。在中，所以二面角的大小为。解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，。（1）证明：，平面，且平面，平面。（2）解：，。又平面。（3） 设平面的法向量为，因为，则取。又因为平面的法向量为，所以，所以二面角的大小为。 17. 解：（1）设表示“甲选手的演出序号是1”，所以。所以甲选手的演出序号是1的概率为。（2）设表示“甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数”，表示“甲、乙两名选手的演出序号都是偶数”。所以。所以甲、乙两名选手的演出序号至少有一个为奇数的概率为。（3）的可能取值为0，1，2，3，4，5，所以，。所以的分布列为012345所以 18. 解：（1）因为函数，所以定义域为，。因为在点处的切线与直线平行，所以，即。所以。所以。（2）由（），令，得。当时，所以函数在上单调递减；当时，所以函数在上单调递增。所以若时，函数的最小值是；若时，函数在上单调递增，所以函数的最小值是。19. 解：（1）由题设，得，由椭圆定义，所以，。设，代入椭圆的方程，整理得则于是有，化简，得，故，。（2）由（1）有，方程可化为设中点为，则，又，于是。由知为的中垂线，由，得，解得，故，椭圆的方程为。 20. 解：证明：（1） （1） （2）（2）（1）： （2）计算，根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：当时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，所以时，写出数列的前几项：所以当且时，该数列的周期是2，当时，该数列的周期是1，（3）因为数列是一个有理数等差数列，所以化简，是有理数设，是一个完全平方数，设为，均是非负整数时，时可以分解成8组，其中只有，符合要求，此时，解法二 ，等差数列的前几项：因为数列是一个有理等差数列是一个自然数，此时如果没有理由，猜想：，解答 得2分 得2分