2019-2020年高三上学期12月月考试题 数学 含答案.doc

2019-2020年高三上学期12月月考试题 数学 含答案 第I卷(必做题 共160分)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分把答案填在题中横线上1已知复数，则z的实部为2如图是一次青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字09中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_(填，)3命题是 命题 （选填“真”或“假”）4若长方体相邻三个侧面的面积分别是，则该长方体的体积是 5已知圆：，若直线与圆相切，且切点在第四象限，则6已知为奇函数，当时，则曲线在处的切 线斜率为 7函数的图像可由函数的图像至少向右平移_个单位长度得到8已知直线平面且，给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则.其中正确的命题是_9已知点满足则点构成的图形的面积为10以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 _ 11已知ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为 12对任意，函数满足，设 ，数列的前15项的和为，则13若实数，满足，则当取得最大值时，的值为 14已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则_. 二、解答题：(本大题6小题，共90分)15(本题满分14分)在锐角中,角、所对的边长分别为、向量,且.(1)求角的大小;(2)若面积为,求的值.16(本题满分14分)在四棱锥中，底面是正方形，为的中点 (1)求证：平面； (2)若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由17(本题满分14分) 如图所示，把一些长度均为4米（PAPB4米）的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬，根据人们的生活体验知道：人在帐蓬里“舒适感”k与三角形的底边长和底边上的高度有关，设AB为，AB边上的高PH为y，则，若k越大，则“舒适感”越好。（1）求“舒适感” k的取值范围；（2）已知M是线段AB的中点，H在线段AB上，设MHt，当人在帐蓬里的“舒适感”k达到最大值时，求y关于自变量t的函数解析式；并求出y的最大值（请说明详细理由）。18(本题满分16分) 平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别是、且，以为圆心以为半径的圆与以为圆心为半径的圆相交，且交点在椭圆上(1)求椭圆的方程；(2) 若为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆：于 ，两点，射线交椭圆于点(i)若，求的值；(ii)求四边形面积的最大值19(本题满分16分) 已知数列的前项和为,且对于任意,总有. (1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.20(本小题满分16分) 设函数.（1）对于任意，使得恒成立，求实数的取值范围；（2）若对恒成立，求实数的取值范围第卷(附加题 共40分)21 已知矩阵，点，求线段在矩阵对应的变换作用下得到线段的长度22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以直角坐标系的点为极点，轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得直线的极坐标方程为求直线与曲线交点的极坐标23. 如图，在三棱锥中，平面， ，.点D在线段AB上，AD2DB. 求异面直线与PD所成角的余弦值； 求直线与平面所成角的余弦值24设某校新、老校区之间开车单程所需时间为，只与道路畅通状况有关，对其容量为200的样本进行统计，结果如下：（分钟）25303540频数（次）40608020（1）求的分布列与数学期望；（2）唐教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求唐教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率 12月考参考答案：第I卷(必做题)一、10 23真 4 5 6 7 892. 10 11 12 13 14102二、15解：(1) 为锐角三角形, , ， (2)由,得, 代入得,得 由题设,得 联立, 解得或 16(本题满分14分)解：(I)连接 由是正方形可知，点为中点 又为的中点，所以 又， 所以平面 6分 (2)在线段上存在点，使 理由如下： 如图，取中点，连接 在四棱锥中， 所以 由 所以由是正方形可知， 又 所以 而 所以，且 因为， 所以 故在线段上存在点，使由为中点，得14分17解析：(1) 6分(2) ，14分18. 解：(I)由题意知，即，又因为，所以，所以椭圆的方程为 4分(2)(i)设，由题意知由，知，又因为，所以.8分(ii)设，将代入椭圆的方程，可得，由可得 又，所以因为直线与轴交点坐标为，所以将代入椭圆的方程可得，由可得 令，则由及知，因此，解得，当且仅当时取等号由( i )知，16分19解：(1)当时,由已知,得. 当时,由,两式相减得, 即,所以是首项为,公比为的等比数列所以() . 4分(2)由题意,故,即, .6分因为,故,令，所以单调增，又，故, 所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项，所以这个等差数列所有项的和 ，所以, .10分(3)由(1)知,所以 .12分由题意,即对任意成立, 所以对任意成立 因为在上是单调递增的,所以的最小值为. 所以.由得的取值范围是. 所以,当时,数列是单调递减数列. .16分20（） 因为，所以，因为当时，所以在上单调递减，又，所以当时， 即当时，所以6分所以在上单调递减，则当时，8分由题意知，在上恒成立，所以8分（2）由得对恒成立， 时，不等式显然成立9分当时，因为，所以取，则有，从而此时不等式不恒成立11分当时，由()可知在上单调递减，而， 成立13分当时，当时，则，不成立，15分综上所述，当或时，有对恒成立。16分第卷21 解析：设，则，所以，解得，即 由，知点，所以 22.解析：直线的直角坐标方程为，故直线的倾斜角为曲线的普通方程为 ,由 , 解得. 所以交点的极坐标为. 23证明：如图，以为原点建立空间直角坐标系，则， ，D(1,2,0) ，设BC与PD所成的角为，则,异面直线与PD所成角的余弦值为 5分 ，设平面的一个法向量为，则由，得可取，则设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的余弦值为 10分 24（I）由统计结果可得T的频率分步为（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为253035400.20.30.40.1从而 （分钟）4分 (II)设分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事件A表示“唐教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“唐教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：.解法二：故. 答：略。10分