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3、把下列命题改写成“若p,则q”的形式，并判断它们的真假.,（1）等腰三角形两腰的中线相等； （2）偶函数的图象关于y轴对称； （3）垂直于同一个平面的两个平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。,(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真命题。,(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。,命题及其关系,1.1.2 四种命题,下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。,观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；,互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。,即 原命题:若p,则q,逆命题:若q,则p,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”。,观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数.,原命题:若p,则q,为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “p” “q”,否命题:若p,则q,互否命题 原命题 (原命题的)否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”。,观察命题(1)与命题(4)的条件和结论 之间分别有什么关系？,若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.,原命题: 若p, 则q,逆否命题: 若q, 则p,互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题,例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”。,、互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题。,、互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题。,、互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。,三个概念,原命题,逆命题,否命题,逆否命题,四种命题形式: 原命题: 逆命题: 否命题: 逆否命题:,若 p, 则 q 若 q, 则 p 若p, 则q 若q, 则p,例 设原命题是“当c 0 时，若a b ，则ac bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：,解： 逆命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆命题为真,否命题：当c 0 时，若a b ，则ac bc 否命题为真,逆否命题：当c 0 时，若ac bc ，则a b 逆否命题为真,准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式.,不是,不都是,小于或等于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,存在某x， 不成立,存在某x， 成立,练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。,（1）若q1,则方程 有实根。 （2）若ab=0,则a=0或b=0.,判断正误,并说明理由:,(1)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“对顶角不相等”。 (2)若原命题是“对顶角相等”, 它的否命题是“不成对顶关系的 两个角不相等”。,否命题与命题的否定的区别,否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有 否命题: 若p , 则q 。 命题的否定: 若 p ，则q 。,1.1. 四种命题间的相互关系,互 逆,互 逆,互 否,互 否,互为 逆否,互为 逆否,四种命题之间的相互关系,四种命题间的相互关系,例1 “若x2+y20，则x，y至少有一个不为0”是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、逆否命题并判断它们的真假。,解： 命题A:若x2+y2=0，则x，y全都为0； 逆命题：若x，y全都为0，则x2+y2=0； 逆否命题：若x，y至少有一个不为0，则x2+y20。,思考：,四种命题的真假性是否也有一定的相互关系呢？,真,真,真,探究一,原命题：到一个角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上.,逆命题:角的平分线上的点,到这个角的两边距离相等.,否命题:到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上.,逆否命题:不在这个角的平分线上的点,到这个角的两边距离不相等.,原命题 (真) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (真),真,真,真,真,探究二,原命题：若两个三角形全等,则它们的面积相等.,逆命题:若两个三角形的面积相等,则它们全等.,否命题:若两个三角形不全等,则它们的面积不相等.,逆否命题:若两个三角形的面积不相等,则它们不全等.,原命题 (真) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (真),真,真,假,假,探究三,原命题：若两个角相等，则这两个角是对顶角,逆命题: 若两个角是对顶角，则这两个角相等.,否命题: 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.,逆否命题: 若两个角不是对顶角，则两个角不相等.,原命题 (假) 逆命题 (真) 否命题 (真) 逆否命题 (假),假,假,真,真,探究四,原命题：凡是素数，都是奇数.,逆命题: 凡是奇数，都是素数.,否命题: 不是素数，就不是奇数.,逆否命题: 不是奇数，就不是素数.,原命题 (假) 逆命题 (假) 否命题 (假) 逆否命题 (假),假,假,假,假,一般的，四种命题的真假性，有且仅有以下四种情况：,四种命题的真假性之间的关系：,两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； 两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.,例2 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.,证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x0，则x20，所以 x2+y2 0， 也就是说x2+y2 0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为 真命题,因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难的时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题。,P8 习题1.1 B组 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能平分。,已知：如图，在O中，弦AB、CD交于P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分. 证明：假设AB、CD被P平分， 则OP是等腰AOB, COD的底边上的中线， 所以，OPAB, OPCD 但AB和CD都经过点P,且与OP 垂直，这是不可能的， 所以假设不成立， 故弦AB、CD不被P平分， 命题得证。,连结OA,OB,OC,OD及OP,-,反证法,欲证“若p则q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的证明方法称为反证法。,反证法的步骤： (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； (2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确,证明命题的方法,方法一：直接法，从命题的条件p出发，经推理直接得出结论p，证明其为真命题；,方法二：等价法，证明命题（若p，则q）的等价命题逆否命题（若q，则q）为真，则原命题也为真；,方法三：反证法，证明命题的否定（若p，则q）为假命题，从而间接地证明了命题（若p，则q）为真命题。,巩固练习 证明：若pq2，则p2q22.,证明一：要证“若pq2，则p2q22” 只需证它的逆否命题“若p2q22，则pq2”成立。 p2q2=2，则2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2 逆否命题为真命题， 故原命题也为真命题。 证明二：假设p2q2=2，则2=p2q22pq pq1 （p+q）2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2，这与命题的条件pq2相矛盾， 假设不成立，即p2q22， 故原命题为真命题。,（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）,一些常见的结论的否定形式,不是,不都是,小于或等于,大于或等于,一个也没有,至少有两个,至多有（n-1)个,至少有（n+1)个,不等于,某个,小结,1.四种命题间的相互关系； 2.四种命题的真假性之间的关系； 3.命题的证明方法。,
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