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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修3,概率,第三章,3.1 事件与概率,第三章,3.1.4 概率的加法公式,第二次世界大战中，英美盟军因为运输队在大西洋上常常受到德国潜艇的袭击而焦头烂额为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇近似于一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律一定数量的船(如100艘)编队规模越小，编次就越多(如每次20艘，就要有5个编次)；编次越多，与敌人相遇的概率就越大美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口结果奇迹出现了，盟军舰队遭到袭击的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应,一、事件的关系与运算 1互斥事件 不可能同时发生的两个事件叫_(或称为_) 2并(和)事件 若事件A和事件B中_有一个发生，则C发生；若C发生，则A、B中_有一个发生，称事件C为A与B的并(或和) 一般地，由事件A和B_有一个发生所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和),互斥事件,互不相容事件,至少,至少,至少,(1)与集合定义类似，并事件可如图表示 (2)事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件，即ABBA.,(3)并事件包含三种情形：事件A发生，事件B不发生；事件A不发生，事件B发生；事件A、B同时发生 (4)推广：如果事件A1、A2、An中的任何两个都互斥，就称事件A1、A2、An彼此互斥，从集合角度看，n个事件彼此互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交 如在一次投掷骰子的实验中，若 C1出现1点；C2出现2点；C3出现3点； C4出现4点或出现5点；C5出现6点； 则事件C1，C2，C3，C4，C5彼此互斥,3对立事件 不可能同时发生且必有一个发生的两个事件互为对立事件 (1)事件A与B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生 (2)对立事件是针对两个事件来说的，一般地，两个事件对立，则两个事件必是互斥事件；反之，两个事件是互斥事件，却未必是对立事件 (3)对立事件是一种特殊的互斥事件，若A与B是对立事件，则A与B互斥且AB为必然事件,1P(A),二、概率的几条基本性质 1概率P(A)的取值范围 由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在0和1之间，从而任何事件的概率在0到1之间，即0P(A)1. (1)必然事件B一定发生，则P(B)1. (2)不可能事件C一定不发生，因此P(C)0.,P(A)P(B),(1)用频率可以估计概率，因此概率应具有频率的性质 (2)加法公式的前提条件是：事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用 如掷骰子试验中，“出现偶数点”，“出现2点”分别记为事件A、B，则A、B不互斥，P(AB)P(A)P(B) (3)如果事件A1、A2、An彼此互斥，那么 P(A1A2An)_. 即彼此互斥的事件并的概率等于它们的概率的和 (4)在求某些复杂的事件的概率时，可将其分解成一些较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易,P(A1)P(A2)P(An),3对立事件的概率公式 若事件A与B互为对立事件，则AB为必然事件，所以P(AB)1，又P(AB)P(A)P(B)，P(A)1P(B) (1)公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式 (2)当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式使用间接法求概率,答案 B,2下列说法正确的是( ) A事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大 B事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小 C互斥事件一定是对立事件，对立事件并不一定是互斥事件 D互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 答案 D 解析 由互斥事件及对立事件的定义知选D.,3从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列事件中，互斥事件的个数是( ) 至少有1个白球与都是白球； 至少有1个白球与至少有1个红球； 恰有1个白球与恰有2个红球； 至少有1个白球与都是红球 A0 B1 C2 D3 答案 C 解析 中两个事件可以同时发生，中两个事件不可能同时发生，故中两个事件为互斥事件，选C.,4如图所示，靶子由一个中心圆面、构成，射手命中、的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是_ 答案 0.10,解析 射手命中圆面为事件A，命中圆环为事件B，命中圆环为事件C，不中靶为事件D，则A、B、C互斥，故射手中靶的概率为P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.350.300.250.90. 因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为 P(D)1P(ABC)10.900.10.,5甲、乙两人下象棋，甲获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为50%，则乙获胜的概率为_，甲不输的概率为_ 答案 20% 80% 解析 设事件“甲胜”，“乙胜”，“甲乙和棋”分别为A、B、C，则P(A)30%，P(C)50%， 甲不输的概率为：P(AC)P(A)P(C)80%， P(B)1P(AC)180%20%.,6在某一时期内，一条河流某处的最高水位在各个范围内的概率如下： 计算在同一时期内，河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率： (1)10,16)(m)；(2)8,12)(m)；(3)14,18)(m),解析 记河流年最高水位在“8,10)”为事件A，“10,12)”为事件B，“12,14)”为事件C，“14,16)”为事件D，“16,18)”为事件E，则A、B、C、D、E为互斥事件，由互斥事件的概率的加法公式，得 (1)最高水位在10,16)的概率为 P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.280.380.160.82.,(2)最高水位在8,12)的概率为 P(AB)P(A)P(B)0.10.280.38. (3)最高水位在14,18的概率为 P(DE)P(D)P(E)0.160.080.24.,互斥事件的概念,解析 (1)若“两次出现正面”发生，则“只有一次出现正面”不发生，反之亦然，即事件A与B不可能同时发生，A、B互斥 (2)某人射击一次中靶不一定击中9环，但击中9环一定中靶，即B发生则A一定发生，A、B不互斥 (3)事件A发生，则事件B一定不发生，故A、B互斥,某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件 (1)恰有一名男生与两名全是男生； (2)至少有1名男生与全是男生； (3)至少有1名男生与全是女生； (4)至少有1名男生与至少有1名女生,解析 判别两个事件是否互斥，就是考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生 (1)因为“恰有1名男生”与“两名全是男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当两名都是女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件 (2)因为“两名全是男生”发生时“至少有一名男生”也同时发生，所以它们不是互斥事件,(3)因为“至少有一名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们对立 (4)由于选出的是“一名男生一名女生”时“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件 点评 两个互斥事件是否对立要依据试验条件本题条件若改成“某小组有3名男生1名女生，任取2人”，则“恰有1名男生”与“恰有2名男生”便是对立事件.,对立事件的概念,解析 对立事件的含义是：两个事件在一次试验中有且仅有一个发生，类比集合可用Venn图揭示事件之间的关系 (1)根据题意作出Venn图 从图(1)中可以看到：“朝上的一面出现奇数”与“朝上的一面出现偶数”各自所含结果所组成的集合互为补集，因此它们构成对立事件,从一堆产品(其中正品与次品的件数都大于2)中任取2件，下列每对事件是对立事件的是( ) A恰好有2件正品与恰好有2件次品 B至少有1件正品与至少有1件次品 C至少1件次品与全是正品 D至少1件正品与全是正品 答案 C 解析 A中的两个事件是互斥事件，但不对立；B中两个事件不互斥；D中两个事件不互斥，C中两个事件互斥且对立.,互斥事件与对立事件的概率,在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07.计算下列事件的概率： (1)小明在数学考试中取得80分以上； (2)小明考试及格,解析 小明的成绩在80分以上可以看做是互斥事件“8089分”、“90分以上”的并事件，小明考试及格可看做是“6069分”、“7079分”、“8089分”、“90分以上”这几个彼此互斥的事件的并事件，又可看做是“不及格”的对立事件 分别记小明的成绩在“90分以上”、在“8089分”、在“7079分”、在“6069分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥 (1)小明的成绩在80分以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.,(2)解法一：小明考试及格的概率是 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93. 解法二：小明考试不及格的概率是0.07，所以小明考试及格的概率是P(A)10.070.93. 小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率是0.69，考试及格的概率是0.93.,辨析 错误的原因为误认为事件A与事件B互斥,分析 求“至多”、“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决,解析 记在窗口等候的人数是0、1、2分别为事件A、B、C，则A、B、C彼此互斥 (1)至多2人排队等候的概率是P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56. (2)“至少2人排队等候”的对立事件是“等候人数为0或1”，而等候人数为0或1的概率为P(AB)P(A)P(B)0.10.160.26， 故至少2人排队等候的概率为10.260.74.,
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