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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修1,函 数,第二章,2.4 函数与方程,第二章,2.4.1 函数的零点,三国志魏书记载：“邓哀王冲字仓舒，少聪察歧嶷，生五、六岁，智意所及，有若成人之智，时孙权曾致巨象，太祖(曹操)欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣太祖大悦，即施行焉”这就是千古传诵，妇嬬皆知的曹冲称象的故事，抛除物理中的浮力原理，这其中就运用了转化的思想，那么，在函数和方程中是否也有类似的转化呢？,1函数零点的概念 一般地，我们把使函数yf(x)的值为0的实数x称为函数yf(x)的_因此，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的_，从图象上看，函数f(x)的零点，就是它的图象与_交点的_,零点,实数根,x轴,横坐标,2正确理解函数的零点 (1)函数的零点不是“点”，而是一个“_”，当函数的自变量取这个实数时，函数值为零 (2)函数是否有零点是针对方程是否有_而言的，若方程没有_，则函数没有零点反映在图象上就是函数图象与x轴_,实数,实数根,实数根,无交点,答案 D,2已知二次函数f(x)ax26x1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) Aa9且a0 Ba9 Ca0或a0 答案 A,3下列各图象表示的函数中没有零点的是( ) 答案 D 解析 选项D中，函数图象与x轴没有交点，故该函数没有零点,4函数f(x)3x22x1的零点是_,5若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_,6函数f(x)x2kx2k2的顶点在直线x2上，求f(x)的零点,求下列函数的零点： (1)yx1； (2)yx2x6. 分析 把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解,求函数的零点,解析 (1)令yx10，得x1， 函数yx1的零点是1. (2)yx2x6(x3)(x2)， 令(x3)(x2)0，得x2或x3， 函数yx2x6的零点是2和3.,求函数yx3x24x4的零点 解析 yx3x24x4x2(x1)4(x1) (x1)(x24) (x1)(x2)(x2)， 令(x1)(x2)(x2)0，得x1或x2. 函数yx3x24x4的零点是2,1,2.,判断下列函数的零点个数,零点个数的判断,二次函数yax2bxc中，ac0，则函数的零点个数是( ) A1个 B2个 C0个 D无法确定 答案 B,若关于x的方程x2(k2)x2k10的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k的取值范围,函数零点的应用,解析 设函数f(x)x2(k2)x2k1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)x2(k2)x2k1的图象开口向上，零点x1(0,1)，x2(1,2)，,已知方程x22px10有一个根大于1，有一个根小于1，则p的取值范围为_ 答案 (，1) 解析 令f(x)x22px1， f(x)的图象开口向上， 当f(x)与x轴的两交点的横坐标一个大于1，另一个小1时，必有f(1)0，即22p0，p1. 即p的取值范围为(，1),若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的取值范围 辨析 解答此类题目易犯本题误解中的错误，即没有搞清题意，忽略a0的情形，而本题中并没有说明所给函数是二次函数,1数形结合思想 关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的分布问题，通常借助于二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象来解决，利用函数思想研究一元二次方程根的分布问题体现了数形结合的思想，一般要考虑四个因素： (1)二次项的系数； (2)判别式； (3)对称轴； (4)区间端点的取值，通过列出满足条件的不等式(组)来解决 我们知道函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根,已知关于x的方程3x25xa0的两根x1、x2满足x1(2,0)，x2(1,3)，求实数a的取值范围 3 解析 关于x的方程3x25xa0的两根x1，x2满足x1(2,0)，x2(1,3)， 函数f(x)3x25xa有两个零点x1，x2，且x1(2,0)，x2(1,3),实数a、b、c是图象连续不断的函数yf(x)定义域中的三个数，且满足abc，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，则函数yf(x)在区间(a，c)上的零点个数为( ) A2 B奇数个 C偶数个 D至少2个 解析 由f(a)f(b)0，知yf(x)在(a，b)上存在奇数个零点，f(b)f(c)0，知yf(x)在(b，c)上存在奇数个零点f(x)在(a，c)上存在零点且为偶数个 答案 C,
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