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2.4 正态分布,1.正态曲线及其性质 (1)正态曲线: 函数,(x)=_,x(-,+),其中实数, (0)为参数,我们称,(x)的图象为正态分布密度 曲线,简称正态曲线.,(2)正态曲线的性质: 曲线位于x轴_,与x轴不相交. 曲线是单峰的,它关于直线_对称. 曲线在x=处达到峰值_. 曲线与x轴之间的面积为_. 当一定时,曲线的位置由确定,曲线随着_的变化而沿 x轴平移.,上方,x=,1,当一定时,曲线的形状由确定.越小,曲线越“_”, 表示总体的分布越_;越大,曲线越“_”,表示总体 的分布越_.如图所示:,瘦高,集中,矮胖,分散,2.正态分布及正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)正态分布: 如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXb)= _,则称随机变量X服从正态分布. 记为:XN(_).,2,(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率: P(-X+)=_; P(-2X+2)=_; P(-3X+3)=_.,0.6826,0.9544,0.9974,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)函数,(x)中参数,的意义分别是样本的均值与方差. ( ) (2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数,的变化而变化的. ( ) (3)正态曲线可以关于y轴对称. ( ),【解析】(1)错误.参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数,可以用样本的均值去估计;是衡量随机变量总体波动大小的特征数,可以用样本的标准差去估计. (2)错误.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是定值1. (3)正确.当=0时,正态曲线关于y轴对称. 答案:(1) (2) (3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知正态分布密度函数为f(x)= ,x(-,+),则该 正态分布的均值为 ,标准差为 . (2)设两个正态分布N(1, )(10)和N(2, )(20)的 密度函数图象如图所示,则有1 2,1 2.,(3)在某项测量中,测量结果服从正态分布N(1,2)(0).若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为 .,【解析】(1)对照正态分布密度函数f(x)= ,x (-,+), 可得=0,= . 答案：0 (2)可知N(1， ),N(2， )的密度曲线分别关于直线 x=1,x=2对称，因此结合所给图象知12，且N(1， )的密度曲线较N(2， )的密度曲线“高瘦”，因此1 2. 答案：,(3)可知正态分布N(1,2)的密度曲线关于直线x=1对称.若在(0,1)内取值的概率为0.4,则在(0,2)内取值的概率为0.8. 答案:0.8,【要点探究】 知识点正态分布 1.对正态曲线的三点说明 (1)解析式中含有两个常数:和e,这是两个无理数,其中是圆周率,e是自然对数的底数,即自然常数. (2)解析式中含有两个参数:和.其中可取任意实数;0.在不同的正态分布中,的取值是不同的,这是正态分布的两个特征数.,(3)解析式中前面有一个系数 ,后面是一个以e为底数的指数函数的形式,幂指数为 ,其中这个参数在解析式中的两个位置上出现,注意两者的一致性.,2.对正态曲线特征的认识,3.对正态分布的三点说明 (1)正态分布是自然界最常见的一种分布,例如,测量的误差;人的身高、体重等;农作物的收获量;工厂产品的尺寸:直径、长度、宽度、高度都近似地服从正态分布. (2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a,b上的概率等于总体密度函数在a,b上的定积分值.也就是指随机变量X的取值区间在(a,b上时的概率等于正态曲线与直线x=a,x=b以及x轴所围成的封闭图形的面积.,(3)从正态曲线可以看出,对于固定的和而言,随机变量在(-,+)上取值的概率随着的减小而增大.这说明越小,X取值落在区间(-,+)的概率越大,即X集中在周围的概率越大.正态分布的3原则是进行质量控制的依据,要会应用给定三个区间的概率解决实际问题.,【知识拓展】小概率事件 正态总体在(-3,+3)以外取值的概率只有0.26%.由于这些概率值很小(一般不超过5%),通常称这些情况发生为小概率事件.即事件在一次试验中几乎不可能发生.,【微思考】 为什么正态分布中,通常认为X只取区间(-3,+3内的值? 提示:正态分布中变量X几乎总取值于区间(-3,+3之内,而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,故在实际应用中,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3,+3之内的值,简称“3”原则.,【即时练】 (2014汕头高二检测)若N(1,0.04),则P(1)=( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 【解析】选D.因为N(1,0.04),所以=1,由正态分布密度曲线可知曲线关于x=1对称,故P(1)=0.5.,【题型示范】 类型一 正态曲线及其性质 【典例1】 (1)某次我市高三教学质量检测中,甲、 乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示 (由于人数众多,成绩分布的直方图可视 为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是 ( ),A.甲科总体的标准差最小 B.丙科总体的平均数最小 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同,(2)(2014石河子高二检测)如图是当取不同值1,2,3的三种正态曲线N(0,2)的图象,那么1,2,3的关系是 ( ) A.11230 B.02130 D.012=13,【解题探究】1.题(1)中从图中看正态曲线的什么相同?什么不同? 2.图中标准差反映数据的什么? 【探究提示】1.根据正态曲线的特征进行判断,从图中看出,正态曲线的对称轴相同,最大值不同. 2.标准差反映该组数据的离散程度.,【自主解答】(1)选A.由题中图象可知三科总体的平均数(均值) 相等,由正态密度曲线的性质,可知越大,正态曲线越扁平; 越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为 甲、乙、丙.故选A. (2)选D.由图象可知，此正态分布为标准正态分布，其函数的 解析式为f(x)= ,xR.对于正态分布密度曲线，其标 准差反映该组数据的离散程度.越大，数据越分散，曲线 越矮胖；越小，数据越集中，曲线越瘦高.因而一定有0 123.,又由f(x)= ,xR知，当x=0时 , 由图象知 ，所以2=1.,【方法技巧】求正态曲线的两个方法 (1)图解法:明确顶点坐标便可,横坐标为样本的均值,纵坐 标为 . (2)待定系数法:求出,便可.,【变式训练】关于正态曲线，下列说法正确的是_. 曲线上任一点M(x0,y0)的纵坐标y0表示 X=x0的概率; 表示总体取值小于a的概率; 正态曲线在x轴上方且与x轴一定不相交; 正态曲线关于x=对称; 一定时，越小，总体分布越分散；越大，总体分布 越集中.,【解析】不对，因为密度曲线中面积代表概率，而不是纵坐标；不对，因为正态曲线关于x=对称；不对，与之相反一定时，越大，总体分散越分散，越小，总体分布越集中. 答案：,【补偿训练】(2014潍坊高二检测)设的概率密度函数为 则下列结论错误的是( ) A.P(1)=P(1) B.P(-11)=P(-11) C.f(x)的渐近线是x=0 D.=-1N(0，1),【解析】选C.因为的概率密度函数为 所以=1，=1,所以P(1)=P(1)，P(-11) =P(-11)， 当变量符合正态分布时，与一个常数的加减运算也符合正态分布， f(x)的渐近线是y=0.,类型二 利用正态分布的对称性求概率 【典例2】 (1)已知随机变量xN(2,2),若P(xa)=0.32,则P(ax4-a) = . (2)设XN(1,22),试求: P(-1X3);P(3X5).,【解题探究】1.题(1)中正态分布的概率密度函数关于哪条直线对称?a和4-a的平均数是多少? 2.题(2)中,的值分别为多少? 【探究提示】1.关于直线x=2对称.a和4-a的平均数是2. 2.=1,=2.,【自主解答】(1)由正态分布图象的对称性可得: P(ax4-a)=1-2P(xa)=0.36. 答案:0.36 (2)因为XN(1,22),所以=1,=2. P(-1X3)=P(1-2X1+2) =P(-X+)=0.6826.,因为P(3X5)=P(-3X-1), 所以P(3X5) = P(-3X5)-P(-1X3) = P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2) = P(-2X+2)-P(-X+) = (0.9544-0.6826)=0.1359.,【延伸探究】在题(2)条件不变的情况下,试求P(X5). 【解析】因为P(X5)=P(X-3), 所以P(X5)= 1-P(-3X5) = 1-P(1-4X1+4) = 1-P(-2X+2) = (1-0.9544)=0.0228.,【方法技巧】正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. (2)熟记P(-X+),P(-2X+2),P(-3 X+3)的值. (3)注意概率值的求解转化: P(Xa)=1-P(Xa); P(X-a)=P(X+a); 若b,则P(Xb)= .,【变式训练】在正态分布N 中，数值落在(-，-1) (1，)内的概率为( ) A.0.097 B.0.046 C.0.03 D.0.002 6 【解析】选D.因为=0，= ， 所以P(X1)=1-P(-1X1) =1-P(-3X3) =1-0.997 4=0.002 6.,【补偿训练】当=0，=1时，正态曲线为 xR，我们称其为标准正态曲线，且定义(x0)=P(xx0)，由此得到(0)=_. 【解题指南】欲求题目中：“(0)”的值，由定义知：(0)=P(x0)，由正态曲线的对称性可解决问题. 【解析】根据定义，所以(0)=P(x0)，根据标准正态曲线关于x=0对称可知，P(x0)的值是整个概率1的一半，由此得到(0)=0.5. 答案：0.5,类型三 正态分布的应用 【典例3】 (1)某厂生产的零件外直径N(8.0,0.152)(mm),今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,则可认为 ( ) A.上、下午生产情况均为正常 B.上、下午生产情况均为异常 C.上午生产情况正常,下午生产情况异常 D.上午生产情况异常,下午生产情况正常,(2)某糖厂用自动打包机打包,每包质量X(kg)服从正态分布N(100,1.22).一公司从该糖厂进货1500包,试估计质量在下列范围内的糖包数量. (100-1.2,100+1.2). (100-31.2,100+31.2).,【解题探究】1.题(1)中判断上、下午生产情况是否正常的依据是什么? 2.题中如何估计质量在所求范围内的糖包数量? 【探究提示】1.依据是3原则,即某产品的外径是否落在区间(7.55,8.45)内. 2.先依据正态分布求所在区间对应的概率,再计算所求范围内的糖包数量.,【自主解答】(1)选C.因为零件外直径N(8.0,0.152), 根据3原则,所以在8+30.15=8.45(mm)与8-30.15 =7.55(mm)之外时为异常.因为上、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为7.9mm和7.5mm,7.57.55,所以下午生产的产品异常,故选C.,(2)由正态分布N(100,1.22),知 P(100-1.2X100+1.2)=0.6826, P(100-31.2X100+31.2)=0.9974. 所以糖包质量在(100-1.2,100+1.2)内的包数为15000.68261024. 糖包质量在(100-31.2,100+31.2)内的包数为15000.99741496.,【方法技巧】正态曲线的应用及求解策略 解答此类题目的关键在于将待求的问题向(-,+),(-2,+2),(-3,+3)这三个区间进行转化,然后利用上述区间的概率求出相应概率,在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想.,【变式训练】(2014漳州高二检测)某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为分)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42). (1)若只有70分钟可用,问应走哪条路线? (2)若只有65分钟可用,又应走哪条路线?,【解析】由已知XN(50,102),YN(60,42).由正态分布的2区间性质 P(-2+2)=0.9544. 然后解决问题的关键是:根据上述性质得到如下结果: 对X:=50;=10,2区间为(30,70), 对Y:=60;=4,2区间为(52,68),要尽量保证用时在X(30,70),Y(52,68)才能保证有95%以上的概率准时到达.,(1)时间只有70分钟可用,应该走第二条路线. (2)时间只有65分钟可用,两种方案都能保证有95%以上的概率准时到达,但是走市区平均用时比路线二少了10分钟,应该走第一条路线.,【补偿训练】某人乘车从A地到B地,所需时间X(分钟)服从正态分布N(30,100),求此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率. 【解析】由=30,=10,P(-X+)=0.6826知此人在20分钟至40分钟到达目的地的概率为0.6826,又由于P(-2X+2)=0.9544,所以此人在10分钟至20分钟或40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.9544-0.6826=0.2718,由正态曲线关于直线x=30对称得此人在40分钟至50分钟到达目的地的概率为0.1359.,【易错误区】正态曲线的特征认识不清导致错误 【典例】已知随机变量服从正态分布N(2,2),且P(4)=0.8,则P(02)= ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,【解析】选C.如图,正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称,所以P(2)=0.5, 并且P(02)=P(24), 则P(02)=P(4)-P(2)=0.8-0.5=0.3.,【常见误区】,【防范措施】 掌握正态曲线的特征 正态曲线是“钟”形的对称曲线,对称轴两侧的面积相等,即概率相等,如本例中(0,2)与(2,4)为对称区间,对应概率相等.,【类题试解】已知XN(0,2)且P(-2X2) 为 ( ) A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 【解析】选A.因为XN(0,2)且P(-2X2)= (1-0.8)=0.1.故选A.,
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