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2.2.3 独立重复试验与二项分布,1.独立重复试验 一般地,在_条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布 一般地,在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每 次试验中事件A发生的概率为p,则_ _.此时称随机变量X服从二项分布,记作_, 并称p为_.,相同,1,2,n,XB(n,p),成功概率,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的. ( ) (2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果.( ) (3)独立重复试验每次试验发生的机会是均等的. ( ) (4)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的. ( ),【解析】(1)正确.独立重复试验指的是做n次重复试验,每次试验之间是相互独立的. (2)正确.在每次独立试验时,结果只有两种:发生与不发生. (3)正确.因为独立重复试验指的是做n次相同的试验,故每次试验发生的机会是均等的. (4)错误.各次试验的发生彼此独立. 答案:(1) (2) (3) (4),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知B ,则P(=4)= . (2)连续掷一枚硬币5次,恰好有3次出现正面向上的概率是 . (3)某人射击一次击中目标的概率为0.6,经过3次射击,此人至 少有两次击中目标的概率为 .,【解析】(1)由B 可知 答案： (2)由题意可知，该试验是独立重复试验，由于硬币出现正面 向上和反面向上是等可能的，均为 ，故出现正面向上的次数 服从二项分布B(5， ). 所以 答案：,(3)由题意可知，此人射击击中目标的次数服从二项分布 B(3，0.6). 所以P(2)=P(=2)+P(=3)= =0.648. 答案：0.648,【要点探究】 知识点 独立重复试验与二项分布 1.n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义,2.两点分布与二项分布的区别,【知识拓展】 1.n次独立重复试验的概率公式的两种特殊情况 k=n时,即在n次独立重复试验中事件A全部发生,概率为Pn(n)= pn(1-p)0=pn; k=0时,即在n次独立重复试验中事件A没有发生,概率为Pn(0)= p0(1-p)n=(1-p)n.,2.二项分布与二项式定理的关联 P(X=k)= (k=0,1,2,n)，如果把p看作b，1-p看 作a，则有a+b=1,则 (k=0,1,2,n)就是二项式定 理中(a+b)n展开式的通项.,【微思考】 (1)要研究抛掷硬币的规律,需做大量的掷硬币试验.则每次试验的前提是什么? 提示:为了保证试验的效果,需要每次试验的条件相同. (2)两点分布与二项分布之间有怎样的关系? 提示:两点分布是特殊的二项分布,即XB(n,p)中,当n=1时,二项分布就是两点分布.,【即时练】 1.下列试验为独立重复试验的是 ( ) (1)依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上. (2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中. (3)口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个白球. A.(1) B.(2) C.(3) D.都不是,2.下列说法正确的是 . 某同学投篮的命中率为0.6,他10次投篮中命中的次数X是一 个随机变量,且XB(10,0.6); 某福彩的中奖概率为p,某人一次买了8张,中奖张数X是一个 随机变量,且XB(8,p); 从装有5个红球、5个白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白 球为止,则摸球次数X是随机变量,且XB .,【解析】1.选B.(1)由于试验的条件不同(质地不同),因此不是独立重复试验. (2)某人射击击中的概率是稳定的,因此是独立重复试验. (3)每次抽取,试验的结果有三种不同的颜色,且每种颜色出现的可能性不相等,因此不是独立重复试验. 2.显然满足独立重复试验的条件,而虽然是有放回地摸球,但随机变量X的定义是直到摸出白球为止,也就是说前面摸出的一定是红球,最后一次是白球,不符合二项分布的定义. 答案:,【题型示范】 类型一 独立重复试验 【典例1】(建议教师以第(2)题为例重点讲解) (1)(2014四川广元高二检测)某市公租房的房源位于A,B,C三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源,且申请其中任一个片区的房源是等可能的.该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为 .,(2)某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 , 且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了5次,求: 其中只在第一、三、五次击中目标的概率. 其中恰有3次击中目标的概率.,【解题探究】1.题(1)中房源申请人申请片区是什么事件的试验? 2.题(2)中射手射击了5次的含义是什么? 【探究提示】1.独立重复试验. 2.射击5次的意思是进行了5次独立重复试验.,【自主解答】(1)每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独 立重复试验，设申请A片区房源记为A，则P(A)= ，所以恰有 2人申请A片区的概率为 答案：,(2)该射手射击了5次，其中只在第一、三、五次击中目标， 是在确定的情况下击中目标3次，也就是在第二、四次没有击 中目标，所以只有一种情况，又因为各次射击的结果互不影 响，故所求概率为,该射手射击了5次，其中恰有3次击中目标根据排列组合知 识，5次当中选3次，共有 种情况，因为各次射击的结果互 不影响，所以符合n次独立重复试验概率模型故所求概率为,【延伸探究】若题(2)的条件不变，求其中恰有3次连续击中目 标，而其他两次没有击中目标的概率. 【解题指南】该射手射击了5次，其中恰有3次连续击中目标， 而其他两次没有击中目标，应用排列组合知识，把3次连续击 中目标看成一个整体可得共有 种情况. 【解析】所求概率为,【方法技巧】独立重复试验概率求解的关注点 (1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，首先判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时注意各次试验之间是相互独立的，并且每次试验的结果只有两种(即要么发生，要么不发生)，在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等，然后用相关公式求概率 (2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式,【变式训练】某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(结果保留到小数点后面第2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率. (2)5次预报中至少有2次准确的概率. (3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率. 【解题指南】由于5次预报是相互独立的,且一次试验结果只有两种(准确或不准确),符合独立重复试验模型.,【解析】(1)记预报一次准确为事件A,则P(A)=0.8. 5次预报相当于5次独立重复试验, 2次准确的概率为 0.820.23=0.05120.05, 因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全 部不准确或只有1次准确”, 其概率为 (0.2)5+ 0.80.24=0.006720.01. 所以所求概率约为1-0.01=0.99.,(3)说明第1，2，4，5次中恰有1次准确. 所以概率为 0.80.230.8=0.020 480.02. 所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.,【补偿训练】十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？ 【解析】依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，直到停9次 所以从低层到顶层停不少于3次的概率,设从低层到顶层停k次，则其概率为 所以当k=4或k=5时， 最大，即 最大， 答：从低层到顶层停不少于3次的概率为 ，停4次或5次的 概率最大.,类型二 二项分布问题 【典例2】 (1)已知XB ，则P(X=2)=_. (2)已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的 概率都为 ，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的 发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该 次试验是失败的.,第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X,求X的概率分布列. 第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率.,【解题探究】1.题(1)中由条件X=2可以得到什么？ 2.题(2)中“到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率”的含义是什么？ 【探究提示】 1.X=2表示10次试验恰有两次发生. 2.含义是求共进行7次试验，第7次是成功的，前6次中有3次失败，3次成功的概率.,【自主解答】(1)P(X=2)= 答案： (2)由题意，随机变量X可能取值为0，1，2，3， 则XB 即P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,所以X的概率分布列为 第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成 功，每次试验又是相互独立的， 因此所求概率为,【方法技巧】判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 (1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一. (2)重复性,即试验独立重复地进行了n次. (3)随机变量是事件发生的次数.,【变式训练】(2014贵阳高二检测)高三年级有3名男生和1名 女生为了报某所大学,事先进行了多方详细咨询,并根据自己的 高考成绩情况,最终估计这3名男生报此所大学的概率都是 , 这1名女生报此所大学的概率是 .且这4人报此所大学互不影 响. (1)求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等 的概率. (2)在报考某所大学的上述4名学生中,记为报这所大学的男 生和女生人数的和,试求的分布列.,【解析】(1)记“报这所大学的人数中男生和女生人数相等” 的事件为A，男生人数记为Bi(i=0,1,2,3)，女生人数记为 Ci(i=0,1). P(A)= (2)=0，1，2，3，4，,所以的分布列为：,【补偿训练】袋子中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取三次，每次抽取一个球，求有放回时，取到黑球个数的分布列.,【解析】取到黑球数X的可能取值为0，1，2，3.又由于每次取 到黑球的概率均为 ，那么 故X的分布列为,【易错误区】独立重复试验在实际问题中的应用 【典例】(12分)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标 的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 .求： (1)甲恰好击中目标2次的概率. (2)乙至少击中目标2次的概率. (3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率.,【审题】抓信息,找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区,促提升 失分点1:若将处二项分布识别错误,导致本例基本不得分. 失分点2:若将处的二项分布与独立事件混淆,导致本例最多得4分. 失分点3:若将处的互斥事件混淆为独立事件,导致本例最多得6分.,【悟题】提措施,导方向 1.正确识别二项分布 在将实际问题转化为二项分布问题时,一定要准确识别并找准n,p,k的值,如本例在处用到二项分布知识. 2.解概率问题要全面考虑 在确定随机变量的所有可能取值时,要全面考虑,不可漏解,如本例中乙恰好比甲多击中目标2次包含了两个事件,若考虑不全,容易造成错误.,3.区分独立事件与互斥事件两个概念 互斥事件是指两个事件不可能同时发生,独立事件是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响,本例处用到两个概念的区别.,【类题试解】9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.求: (1)甲坑不需要补种的概率. (2)3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率. (3)有坑需要补种的概率(精确到0.001).,【解析】(1)因为甲坑内3粒种子都不发芽的概率为 (1-0.5)3= ， 所以甲坑不需要补种的概率为1- =0.875. (2)3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 0.041. (3)因为3个坑都不需要补种的概率为 ， 所以有坑需要补种的概率为1- 0.330.,
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