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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教版 必修2,点、直线、平面之间的位置关系,第二章,这是我国著名的大学，设计风格新颖设计师独特创意的背后却是缜密的几何思维，类似许许多多的建筑设计包含了线、面的位置关系的应用，相交、平行、垂直关系随处可见 现实生活中类似这样的位置关系是比较常见的，如何准确判断这些位置关系？这就是本章将要研究的点、直线、平面之间的位置关系 点、直线、平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的基础内容，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用,2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系,第二章,2.1.1 平面,1在初中几何中学习的线可以看作是_运动形成的轨迹 2在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？ 连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线,知识衔接,点,3在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？ 在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种 4几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用,1平面,自主预习,延展,平行四边形,2,虚线,希腊字母,英文字母,BCD,顶点,归纳总结 习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面,2点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，是平面.,Al Al A A l,l,lmA,lA,l,名师点拨 从集合的角度理解点、线、面之间的关系 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示 (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示 (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示,3公理1,两点,l,名师点拨 公理1的内容反映了直线与平面的位置关系 “线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内,4公理2,不在,不共线,名师点拨 (1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面” (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现,5公理3,公共点,直线,Pl,名师点拨 公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一” 公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面,1下列命题： (1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 A,预习自测,解析,答案 (1) (2)AB (3) (4) ,3已知直线m平面，Pm，Qm，则( ) AP，Q BP，Q CP，Q DQ 答案 D 解析 Qm，m，Q. Pm，有可能P，也可能有P.,4三点可确定平面的个数是( ) A0 B1 C2 D1或无数个 答案 D 解析 当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面,5如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面( ) A没有其他公共点 B仅有这一个公共点 C仅有两个公共点 D有无数个公共点 答案 D,用符号语言表示下列语句，并画出图形 (1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面交于PA，平面与平面交于PB，平面与平面交于PC； (2)平面ABD与平面BCD交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC,文字、图形、符号三种语言的转化,互动探究,探究 1解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“”“”“”“”“”的意义 2解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注,解析 (1)符号语言表示：P，PA，PB，PC 图形表示：如图1所示 (2)符号语言表示：平面ABD平面BCDBD，平面ABC平面ADCAC 图形表示：如图2所示,规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“”或“”，直线与平面间的位置关系只能用“”或“”由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别,(3)根据下列条件画出图形：平面平面MN，ABC的三个顶点满足条件AMN，B，BMN，C，CMN. 答案 (1)Ma，a，M (2) AC (3)如图所示,求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面 探究 1平面确定的条件？ 2两平面重合的条件？ 解析 已知：abc，laA，lbB，lcC 求证：直线a，b，c和l共面 证明：如图所示，因为ab，由公理2 可知直线a与b确定一个平面，设为.,证明多线共面问题,因为laA，lbB，所以Aa，Bb，则A，B.又因为Al，Bl，所以由公理1可知l. 因为bc，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面，同理可知l. 因为平面和平面都包含着直线b与l，且lbB，而由公理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面与平面重合，所以直线a，b，c和l共面,规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论 (2)证明点线共面的常用方法 纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理1证明有关点线在此平面内 辅助平面法：先证明有关的点线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合,过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面 证明 如右图所示， PAPBP， 过PA，PB确定一个平面. A，B. Al，Bl， l. PA，PB，l共面,已知ABC在平面外，ABP，ACR，BCQ，如图求证：P、Q、R三点共线 探究 1P、Q、R三点分别在哪几个平面上？ 2在两个相交平面上的点，有什么特点？,证明多点共线问题,证明 方法一：ABP，PAB，P平面. 又AB平面ABC，P平面ABC 由公理3可知： 点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上 P、Q、R三点共线,方法二：APARA， 直线AP与直线AR确定平面APR. 又ABP，ACR， 平面APR平面PR. B面APR，C面APR，BC面APR. 又Q面APR，Q， QPR.P、Q、R三点共线,规律总结：证明点线共面的常用方法： (1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1. (2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合,如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M三点共线 分析 要证若干点共线，只需证这些点同在两个相交平面内即可,证明 由AA1CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C A1C平面A1C，而OA1C，O平面A1C 又A1C平面BC1DO，O平面BC1D O点在平面BC1D与平面A1C的交线上 又ACBDM，M平面BC1D且M平面A1C 又C1平面BC1D且C1平面A1C， 平面A1C平面BC1DC1M，OC1M，即C1，O，M三点共线 点评 本题先证明C1M是平面A1C与平面BC1D的交线，通过公理3知OC1M，从而证明了C1，O，M共线,已知：如图，空间四边形ABCD中，E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DFFCDGGA12，求证：直线EF，BD，HG交于一点 探究 先证EF，HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上,证明三线共点问题,探索延拓,设EFGHO，则OGH，OEF. GH平面ABD，EF平面BCD， O平面ABD，O平面BCD 平面ABD平面BCDBD， OBD，即直线EF，BD，HG交于一点,规律总结：本题主要考查线线共点的问题在解决这类问题时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上,三个平面、两两相交，交于三条直线，即c，a，b，已知直线a和b不平行 求证：a、b、c三条直线必过同一点 分析 证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上,证明 b，a， a，b， a、b不平行， a、b必相交，设abP， Pa，a， P，同理P， 而c，Pc. a、b、c相交于一点P， 即a、b、c三条直线过同一点,空间中四点，如果任意三点都不共线，那么由这四个点可以确定多少个平面？ 错解 因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面 错因分析 忽略了四个点在同一个平面上的可能,易错点 对于条件所给的点的位置关系考虑不全面,误区警示,思路分析 空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面 正解 一个或者是四个,已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？ 错解 因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面 错因分析 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线,正解 (1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面内，所以点A，E都在平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面 (2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面； 若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面； 若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面,规律总结：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件,1.如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( ) A平面MN B平面NQP C平面 D平面MNPQ 答案 A 解析 MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.,2用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是( ) AAl，l BAl，l CAl，l DAl，l 答案 B,3下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，表示平面)： (1)A，B，AB； (2)A，A，A； (3)A，a，Aa； (4)Aa，a，A. 其中命题和叙述方法都正确的个数是( ) A0 B1 C2 D3 答案 B,解析 (3)正确(1)错，其中的AB应为AB.(2)错，其中，应该交于一条过A点的直线(4)错，因为点A可能是直线a与平面的交点,4看图填空： (1)ACBD_. (2)平面AB1平面A1C1_. (3)平面A1C1CA平面AC_. (4)平面A1C1CA平面D1B1BD_. (5)平面A1C1平面AB1平面B1C_. (6)A1B1B1BB1C1_. 答案 (1)O (2)A1B1 (3)AC (4)OO1 (5)B1 (6)B1,5判断下列说法是否正确，并说明理由： (1)一点和一条直线确定一个平面； (2)经过一点的两条直线确定一个平面； (3)两两相交的三条直线确定一个平面； (4)首尾依次相接的四条线段在同一平面内 解析 (1)不正确如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面 (2)正确经过同一点的两条直线是相交直线，由公理2，有唯一一个平面,(3)不正确三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图1(1)、(2)所示前者，由公理2得知，可以确定1个或3个平面；后者，由公理2及公理1知，能确定唯一一个平面 (4)不正确四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不一定在同一平面内,规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果,
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