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成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,北师大版 选修2-1,常用逻辑用语,第一章,1.3 全称量词与存在量词,第一章,1全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做_，并用符号“_”表示 (2)全称命题：含有_的命题叫做全称命题全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为_，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”,全称量词,全称量词,xM，p(x),2存在量词和特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做_，并用符号“_”表示 (2)特称命题：含有_的命题叫做特称命题特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为_，读作“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立” 3全称命题的否定是_命题；特称命题的否定是_命题,存在量词,存在量词,x0M，p(x0),特称,全称,1必须明确存在量词和全称量词的含义及表示符号 明确全称命题与特称命题的含义 “任意xM，p(x)”通俗说就是对集合M中所有元素x，都有p(x)成立；“存在xM，q(x)”通俗说存在集合M中的元素x，使q(x)成立,2全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式在写出两种命题的否定时，要掌握形式上的两个变化：全称量词与特称量词的变化，条件p(x)与其否定的变化 要判定一个特称命题为真，只要在给定集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；否则命题为假，要判定一个全称命题为真，必须对给定的集合中每一个元素x，p(x)都为真；但要判定一个全称命题为假，只要在给定的集合内找到一个x0，使p(x0)为假即可,对于含有一个量词的命题的否定，先对量词进行变化，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，然后把结论p(x)否定,3同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，在应用中可以灵活选择.,4.否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等常见关键词及其否定形式如下表.,1命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A所有不能被2整除的整数都是偶数 B所有能被2整除的整数都不是偶数 C存在一个不能被2整除的整数是偶数 D存在一个能被2整除的整数不是偶数 答案 D 解析 全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论 所以原命题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数,答案 C 解析 “任意”改为“存在”，“”改为“”,3下列命题为特称命题的是( ) A偶函数的图象关于y轴对称 B正四棱柱都是平行六面体 C不相交的两条直线是平行直线 D存在实数大于等于3 答案 D,4下列命题中的假命题是( ) Ax0R，logx00 Bx0R，tanx01 CxR，x30 DxR,2x0 答案 C,6命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( ) A某些平行四边形不是矩形 B任何平行四边形是矩形 C每一个平行四边形都不是矩形 D以上都不对 答案 C 解析 特称命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论,判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假 (1)对任意实数x，都有x230； (2)每一个指数函数都是增函数； (3)至少有一个自然数小于1； (4)存在一个实数x，使得x22x20.,全称命题与特称命题的判断,总结反思 (1)要确定一个全称命题是真命题，必须对所有元素验证，即给出严格的证明；要确定一个全称命题是假命题，只需举出一个反例 (2)要确定一个特称命题是真命题，只需找到一个满足要求的特例；要确定一个特称命题是假命题，需要严格证明对所有元素均不符合要求,判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假 (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除； (3)任意xx|x是无理数，x2是无理数； (4)存在xx|xZ，log2x0.,写出下列全称命题的否定： (1)p：所有能被3整除的整数都是奇数； (2)p：每一个四边形的四个顶点共圆； (3)p：对任意的xZ，x2的个位数字不等于3. 分析 全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，后面进行否定,全称命题的否定,总结反思 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定,判断下列命题是否为全称命题，并写出命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； (3)所有的a，bR，方程axb都有惟一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0.,解析 (1)是全称命题，其否定：存在一个矩形，不是平行四边形 (2)是全称命题，其否定：数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数 (3)是全称命题，其否定：存在a、bR，使方程axb的解不惟一 (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.,分析 特称命题的否定是全称命题,特称命题的否定,解析 (1)p的否定：所有的xR，x22x20. (2)p的否定：所有的三角形都不是等边三角形 (3)p的否定：每一个素数都不含三个正因数,写出下列命题的否定 (1)存在x1，使x22x30. (2)p：有些棱台的底面是梯形； (3)p：有些平行四边形不是矩形 解析 (1)p的否定：所有的x1，x22x30.(假) (2)p的否定：所有的棱台的底面都不是梯形 (3)p的否定：所有的平行四边形都是矩形,对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值范围 分析 本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围,利用全称命题与特称命题求参数的取值范围,总结反思 全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围而存在性命题常常以适合某种条件的结论“存在”、“不存在”、“是否存在”，求出相应的参数的取值范围解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性”,命题：“不等式x22yy22ya”恒成立，则实数a的取值范围是_ 答案 2，) 解析 将命题中的不等式转化为(x1)2(y1)22a恒成立 当xR，yR时，(x1)2(y1)2的最小值为0. 02a，即a2.a的取值范围是2，) 总结反思 本题中的不等式是一个恒成立的不等式，可将原问题转化为求最小值的问题，从而使问题迎刃而解,误解 p的否定：方程x25x60有两个不相等的实数根 正解 p的否定：方程x25x60没有两个相等的实数根 迷津点拨 命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“p的否定”应否定“有”，而不能否定“相等”,迷津点拨 该命题是特称命题，其否定是全称命题，但误解(1)中得到的“p的否定”仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；误解(2)中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定,误解 (1)不相交的两条直线不是平行直线； (2)奇函数的图象不关于y轴对称 正解 (1)存在不相交的两条直线不是平行直线； (2)存在一个奇函数的图象不关于y轴对称,迷津点拨 以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意,
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