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高中数学 必修2,1.2.1 平面的基本性质（2）,复习回顾：,空间点、直线和平面的位置关系,Al,Al,A,A,l1l2=A,l1l2,AB,AB,lP, =l,复习回顾：,公理1：,如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点 都在这个平面内,用符号语言可表示为,A,B,AB, l,或表示为,Al,Bl,A,B,公理2：,如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公 共点的集合是经过此公共点的一条直线 .,符号表示：P，P l，Pl .,公理2常用于：,(1)找两平面的交线；,(2)判定三点共线与三线共点问题,公理1可以理解为根据点与平面的关系确定直线与平面的位置关系，公理2 可以理解为由点与平面的位置关系确定直线与平面的位置关系，如何确定 一个平面呢？,推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面,C,B,A,推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面,推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面,已知：直线l，点Al(如图),求证：过直线l和点A有且只有一个平面,所以经过直线l和点A的平面只有一个,证明：,在直线l上任取两点B，C因为点A不在直线l上，根据公理3，,经过不共线三点A，B，C有一个平面,因为B ，C，所以根据公理1，l，,即平面经过直线l和点A因为B，C直线l上，,所以经过直线l和点A的平面一定经过A，B，C,根据公理3，经过不共线的三点A，B，C的平面有且只有一个，,l,推论1的另一种证明： 存在性 在直线l上任取两点A，B Pl 经过A，B，P有一个平面 Al，B l，A ，B ， l 故过直线l和点A有一个平面 惟一性 假设过直线l和点A还有一个平面 A ，B ，P ， 又A ，B ，P ， 与过不共线三点确定一个平面矛盾 故结论成立,推论2的证明： 在直线l上任取一点A异于点P 直线m和点A确定一个平面 又lmP， P l，又A l， P ， A ， l 故直线l，m确定一个平面,推论3证明： 存在性 ln， 经过l，n有一个平面 惟一性 假设过直线l，n还有一个平面 在直线l上任取一点A A l，l A ，n ， 同理A ，n 与直线及其外一点确定一个平面矛盾 故结论成立,推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面,推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面,推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面,公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据，,也是判定四点共面或三线共面的重要依据,小结：,例1：已知A l，B l，C l，Dl求证：直线AD，BD，CD共面,l,A,B,C,D,所以AD，BD，CD在同一平面内，即它们共面,证明：,因为Dl，所以l与D可以确定平面(推论1),因为Al，所以A ，又D，所以AD(公理1),同理BD，CD，,变式：求证：两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内,例2如图，若直线l与四边形ABCD的三条边 AB，AD，CD分别交于点E，F，G求证：四边形ABCD为平面四边形,例3已知a，b，abA，P a，PQb 求证：PQ,P,Q,a,b,A,练习： 1判断下列命题是否正确 如果一条直线与两条直线都相交，那么这三条直线确定一个平面. 经过一点的两条直线确定一个平面 经过一点的三条直线确定一个平面 平面和平面交于不共线的三点A，B，C.,2空间四点A，B，C，D共面但不共线，则下列结论成立的是_ 四点中必有三点共线 四点中必有三点不共线 AB，BC，CD，DA四条直线中总有两条平行 直线AB与CD必相交,3下列命题中，有三个公共点的两个平面重合；梯形的四个顶点在同一平面内；三条互相平行的直线必共面；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中正确命题个数是_ ,4直线l1l2，在l1上取三点，在l2上取两点，由这五个点能确_个平面,5已知ab，laA，lbB，求证：a，b，l三条直线共面,推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面,推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面,推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面,公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面,公理3及其3个推论，是确定平面的重要依据，,也是判定四点共面或三线共面的重要依据，,小结：,判定四点共面或三线共面的问题，应先确定一个平面，,再判定要证明的元素(四点或三线) 都在所确定的平面内,作业：,课本31页习题1.2（1）第4，5题,
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