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振动和波动 小结 习题课,一、简谐振动,1、简谐振动的特征,简谐振动的动力学特征,简谐振动的受力特征 ，或 , k 为常数,2、振体的速度和加速度,为系统的固有角频率。对弹簧振子 。,简谐振动的运动学特征 , A、 为两积分常数，其值由初始条件决定。,3、描述简谐振动的三个特征量,（1）振幅,（2）角频率(或称圆频率),（3）初相 ,以上三个量称为描述谐振动的三个特征量。其中: 由振动系统本身的性质决定。振幅A和初相 则由初始条件决定.,位移振幅 A，速度振幅A ，加速度振幅,弹簧振子,4、谐振动的旋转矢量描述法,任意时刻，矢量 的末端在x轴上的投影点的坐标就是点在x 轴上作谐振动的位移方程。,y,t =0 时刻,矢量 与 x 轴正向的夹角 为谐振动的初相;,的长度为简谐振动的振幅;,转动的角速度 为谐振动的圆频率；,用矢量 描述谐振动的方法:,5、简谐振动的能量,系统的总能,、同方向同频率简谐振动的合成,合振动,合振动的振幅和初相,二、平面简谐波,、描述波动的三个物理量及其关系,、平面简谐波的波函数(波动方程),“+ ” 号对应波向 x 轴负方向传播。,波长和波速与介质有关，周期和频率与振源相同。,波函数(波动方程) 波线上x处质点在t 时刻的位移方程,波函数(波动方程)的标准形式,注意波函数的物理意义及波动方程中每一项的物理意义！, 波从坐标原点传到x处需要的时间。, x处质点落后原点处质点振动的相位。, x处质点在t时刻的相位。, 原点处质点振动的初相。, x处质点振动的初相。, x处质点在t 时刻的振动位移。,若知道波速u，从时间上考虑直接写出波线上任意x处质点的振动方程此即波动方程；,若知道波长 ，则从相位上考虑可直接写出波线上任意x处质点的振动方程此即波动方程；,、波动方程的建立,两类问题：,这类问题通常根据题给的波形曲线，先写出原点处质点的振动方程，再写波动方程。关键是找初相 ，原点处质点的振动方程写出后即回到了第一类问题。,（1）已知波线上某点（含坐标原点）的振动方程，波的传播方向，波速u（或波长 ），写波动方程,（2）已知某时刻（含t = 0 时刻）的波形曲线，波的传播方向，波速u（或波长 ），写波动方程,已知u =20 m/s, 波向x负方向传，A点的振动方程为,（1）以A点为原点的波动表达式,第一类问题： 教材P229页7-19题,（2）以B点为原点的波动表达式,已知t =2 s时刻的波形曲线, 波向x负方向传，写o点的振动方程,设o点的振动表达式为,第二类问题：P226页第7-5题,由图知：A=0.5 m，,t = 2 s时刻，原点处质点在平衡位置且向y轴正向运动，画出该时刻旋转矢量的位置如图,o点的振动表达式,即,故,例1 平面简谐波以波速u向x 负方向传播，t = 2 s时刻的波形如图，（1）求波动表达式；（2）P 处质点的振动方程。,解：,先写原点处质点的振动方程,设,故,由图知：A，,t = 2 s时刻，原点处质点在平衡位置且向y轴正向运动，画出该时刻旋转矢量的位置如图,即,波动方程,（2）P 处质点的振动方程， 代入上式,7-24 平面简谐波沿x 轴正方向传播，波的周期T = 2 s, t = 1/3 s时刻的波形如图，求: (1) O点和P点的振动表达式;（2）该波的波动表达式；（3）P 点离O点的距离。,解：,(1) 设原点处质点的振动方程,由题设条件知,(2) 波动方程,所以P点的振动方程,设P点处质点的振动方程为,该相位应与式中确定的相位相同, 有,(3) 设P点坐标为 , 代入得P处质点在 t 时刻的相位,求得,4、波的能量（了解两点）,（1）波动中，任意时刻，任一体元的动能和势能相等，相 位相同，总能不守恒。,（2）质元在平衡位置，形变最大，动能和势能最大；质元在 最大位移处，形变最小，动能和势能最小（为0）。,答案：,例3 t 时刻的波形如图所示，则该时刻能量为最大值的媒质质点的位置是？,波的平均能量密度,能流密度 ,在单位时间内通过垂直于波线的单位面积上的平均波的能量。,W.m-2,能流密度也叫波的强度.,5、波的叠加（波的干涉）,相干波源的条件：,频率相同，振动方向相同，相位相同或相位差恒定。,干涉加强减弱的条件：,当 时,6、驻波（波干涉的特例）,（1）驻波的形成及条件,（2）驻波方程,两振幅相同的相干波在同一直线上沿相反方向传播时, 叠加的结果便形成驻波。,弦线上形成驻波的条件,坐标原点取在某波腹处，且 处质点向上达正最大位移的时刻开始计时,波腹的位置,波节的位置,任意坐标原点和任意计时起点的驻波方程,相邻两个波节（或波幅）的间距为,设入射波和反射波方程分别为：,合成波即驻波波函数,(3) 驻波中各点的相位,驻波分段振动, 相邻两波节之间的各点振动相位始终相同，任一个波节两边的点, 振动相位始终反相. 驻波没有振动状态或相位的传播。,P227页，选7-9题,（4）半波损失,波从波疏介质入射到波密介质界面反射时, 反射波有半波损失.,波在固定端反射时有半波损失, 反射点为波节;,波在自由端反射时无半波损失, 反射点为波腹。,解：,设o点的振动方程为,t = 0时，,例4 如图一频率为 ，振幅为 A的 平面简谐波沿x 轴正方向传播，在t=0时该波在原点o处引起的振动使媒质元由平衡位置向y负方向运动，BC为波密媒质的反射面, 波由P点反射, 已知 ，设反射波的振幅不衰减，求（1）入射波与反射波的波动方程。（2）D点的振动方程。,故入射波表达式为,P点入射波引起的振动为,P点反射有一相位突变,所以，反射波表达式为,合成波表达式为,例5 如图一平面简谐波沿x 轴正方向传播，BC为波密媒质的反射面, 波由P点反射, ,在t=0时, o处质点的合振动是经过平衡位置向负方向运动。求D点处入射波与反射波的合振动方程。（设入射波和反射波的振幅皆为A，频率为 ）,解：,取o点为坐标原点，设入射波表达式为,则反射波表达式,将D点坐标 代入得D点振动表达式,由题设t = 0时，x = 0处质点,合成波（驻波）表达式为,故，D点处合振动的表达式为,故反射波表达式为,注：,
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