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,9.5 椭 圆,数学 苏（理）,第九章 平面解析几何,基础知识自主学习,题型分类深度剖析,思想方法感悟提高,练出高分,1.椭圆的概念 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 .,椭圆,焦点,焦距,集合PM|MF1MF22a，F1F22c，其中a0，c0，且a，c为常数： (1)若 ，则集合P为椭圆； (2)若 ，则集合P为线段； (3)若 ，则集合P为空集.,ac,ac,ac,2.椭圆的标准方程和几何性质,2a,2b,2c,c2a2b2,知识拓展 点P(x0，y0)和椭圆的关系,思考辨析,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( ) (2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距).( ) (3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.( ),(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲线是椭圆.( ),4或8,16,解析,所以a2，b2a2c23.,例1 (1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_.,题型一 椭圆的定义及标准方程,思维点拨,解析,答案,例1 (1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_.,题型一 椭圆的定义及标准方程,主要考虑椭圆的定义；,思维点拨,解析,答案,例1 (1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_.,题型一 椭圆的定义及标准方程,点P在线段AN的垂直平分线上，故PAPN， 又AM是圆的半径， PMPNPMPAAM6MN， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.,思维点拨,解析,答案,例1 (1)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，且点N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是_.,题型一 椭圆的定义及标准方程,思维点拨,解析,答案,点P在线段AN的垂直平分线上，故PAPN， 又AM是圆的半径， PMPNPMPAAM6MN， 由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.,椭圆,例1 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为 _.,思维点拨,解析,答案,例1 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为 _.,要分焦点在x轴和y轴上两种情况；,思维点拨,解析,答案,例1 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为 _.,思维点拨,解析,答案,例1 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为 _.,思维点拨,解析,答案,例1 (2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，则椭圆的方程为 _.,思维点拨,解析,答案,思维点拨,解析,答案,思维升华,可以用待定系数法求解.,思维点拨,解析,答案,思维升华,设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0且mn). 椭圆经过点P1、P2，点P1、P2的坐标适合椭圆方程.,思维点拨,解析,答案,思维升华,思维点拨,解析,答案,思维升华,(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2aF1F2这一条件. (2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2ny21 (m0，n0，mn)的形式.,思维点拨,解析,答案,思维升华,由c2a2b2可得b24.,其焦点在y轴上，且c225916.,c216，且c2a2b2，故a2b216. ,由得b24，a220，,(2)(2014安徽)设F1，F2分别是椭圆E：x2 1(0b1)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若AF13F1B，AF2x轴，则椭圆E的方程为_.,解析 设点B的坐标为(x0，y0).,例2 (2014江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy中，F1，F2分别是椭圆 1(ab0) 的左，右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连结 BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.,题型二 椭圆的几何性质,思维点拨,解析,根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a、b的值.,思维点拨,解析,解 设椭圆的焦距为2c，则F1(c,0)，F2(c,0).,思维点拨,解析,例2 (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.,求出C的坐标，利用F1CAB建立斜率之间的关系，解方程即可求出e的值.,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.,解 因为B(0，b)，F2(c,0)在直线AB上，,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.,又AC垂直于x轴，由椭圆的对称性，,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.,又b2a2c2，整理得a25c2.,思维点拨,解析,思维升华,例2 (2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值.,求椭圆的离心率的方法： (1)直接求出a、c来求解e，通过已知条件列方程组，解出a、c的值； (2)构造a、c的齐次式，解出e，由已知条件得出a、c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解； (3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率.,思维点拨,解析,思维升华,2,解析 如图，在ABF中，AB10，AF6，,设BFm，,m216m640，m8.,设椭圆右焦点为F，连结BF，AF，,由对称性，得BFAF6， 2aBFBF14.,(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.,思维点拨,解析,思维升华,题型三 直线与椭圆位置关系 的相关问题,(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.,题型三 直线与椭圆位置关系 的相关问题,直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解.,思维点拨,解析,思维升华,(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.,题型三 直线与椭圆位置关系 的相关问题,则4x25y280与yx4联立，,思维点拨,解析,思维升华,(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.,题型三 直线与椭圆位置关系 的相关问题,思维点拨,解析,思维升华,(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.,题型三 直线与椭圆位置关系 的相关问题,思维点拨,解析,思维升华,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.,(1)若直线l的方程为yx4，求弦MN的长.,题型三 直线与椭圆位置关系 的相关问题,思维点拨,解析,思维升华,(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，,提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,解 椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，,设线段MN的中点为Q(x0，y0)，,又B(0,4)，(2，4)2(x02，y0)，故得x03，y02，,即得Q的坐标为(3，2). 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,则x1x26，y1y24，,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,即6x5y280.,思维点拨,解析,思维升华,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,思维点拨,解析,思维升华,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.,例3 (2)如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式.,设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，,提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.,思维点拨,解析,思维升华,将b2a2c2代入2b23ac，,(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且MN5F1N，求a，b.,解 由题意，得原点O为F1F2的中点，MF2y轴， 所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，,由MN5F1N得DF12F1N. 设N(x1，y1)，由题意知y10，,高频小考点9 高考中求椭圆的离心率问题,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,利用点差法得出关于a，b的方程.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,x1x22，y1y22，,a22b2.又b2a2c2，,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,由正弦定理将已知等式转化为PF1、PF2的等量关系.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点.这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围.无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表达，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.,思 维 点 拨,解 析,温 馨 提 醒,方 法 与 技 巧,1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于F1F2，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.,2.求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法. 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为 1 (m0，n0，且mn)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2By21 (A0，B0，且AB)，这种形式在解题中更简便.,方 法 与 技 巧,3.讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a，c的值，直接代入公式e 求得； (2)列出关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后根据b2a2c2，消去b，转化成关于e的方程(或不等式)求解.,失 误 与 防 范,1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的分母大小.,2.注意椭圆的范围，在设椭圆 1 (ab0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,PF26，PF12564.,4,2.若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍.则m的值为_.,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,解析 如图所示，,设以(0,6)为圆心， 以r为半径的圆的方程为x2(y6)2r2(r0)，,2,4,5,6,7,8,9,1,10,3,令12249(r246)0，,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,解析 由题意知AF1ac，F1F22c，F1Bac，且三者成等比数列，则 AF1F1B， 即4c2a2c2，a25c2，,2,3,5,6,7,8,9,1,10,4,2,3,4,6,7,8,9,1,10,5,解析 圆M的方程可化为(xm)2y23m2， 则由题意得m234，即m21(m0)， m1，则圆心M的坐标为(1,0). 由题意知直线l的方程为xc， 又直线l与圆M相切，c1，a231，a2. 答案 2,2,3,4,6,7,8,9,1,10,5,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,2,3,4,5,7,8,9,1,10,6,知MF1F260，又MF1F22MF2F1， 所以MF2F130，MF1MF2，,7.(2014辽宁)已知椭圆C： 1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则ANBN_.,2,3,4,5,6,8,9,1,10,7,如图，设MN的中点为D，,则DF1DF22a6.,D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点， BN2DF2，AN2DF1， ANBN2(DF1DF2)12. 答案 12,2,3,4,5,6,8,9,1,10,7,8.椭圆 y21的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是_.,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,解析 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，,即x23y20， ,2,3,4,5,6,7,9,1,10,8,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,(1)求椭圆C的方程；,(2)若直线yxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值.,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,解 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 线段AB的中点为M(x0，y0)，,2,3,4,5,6,7,8,1,10,9,点M(x0，y0)在圆x2y21上，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(1)求椭圆的标准方程；,解 设F1(c,0)，F2(c,0)，其中c2a2b2.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，,解 如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆 y21相交，,y10，y20，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2.,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,由圆和椭圆的对称性，易知x1x2，y1y2，P1P22|x1|. 由(1)知F1(1,0)，F2(1,0)，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,当x10时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在.,由F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1F2P2，,知CP1CP2，又CP1CP2，,2,3,4,5,6,7,8,9,1,10,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,解析 由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,3.已知F1、F2是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满 足PF12PF2，PF1F230，则椭圆的离心率为_.,解析 在三角形PF1F2中，由正弦定理得,2,3,4,5,1,6,解析 PF1PF210，F1F26，,2,3,4,5,1,6,5.设F1、F2分别是椭圆 1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_.,解析 PF1PF210，PF110PF2， PMPF110PMPF2， 易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，,2,3,4,5,1,6,此时PMPF2取最大值MF2，,答案 15,2,3,4,5,1,6,(1)求椭圆C的方程；,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,解 假设存在直线l1且由题意得斜率存在， 设满足条件的方程为yk1(x2)1，代入椭圆C的方程得，,2,3,4,5,1,6,因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,2,3,4,5,1,6,
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