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文数 课标版,第四节 二次函数与幂函数,1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如 f(x)=ax2+bx+c(a0) 的函数叫做二次函数. (2)二次函数的三种表示形式 (i)一般式: f(x)=ax2+bx+c(a0);,教材研读,(ii)顶点式: f(x)=a(x-m)2+n(a0); (iii)两根式: f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0). (3)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,2.幂函数 (1)幂函数的定义 形如 y=x 的函数称为幂函数,其中x是 自变量 ,为 常数 . (2)五种常见幂函数的图象 (3)幂函数的性质,(i)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都通过点 (0,0) 、 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而增大. (ii)当0时,幂函数y=x有下列性质: a.图象都通过点 (1,1) . b.在第一象限内,函数值随x的增大而减小. (4)五种常见幂函数的性质,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xa,b的最值一定是 . () (2)二次函数y=ax2+bx+c(a0),xR不可能是偶函数. () (3)在y=ax2+bx+c(a0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系 中的开口大小. () (4)函数y=2 是幂函数. () (5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. () (6)当n0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数. (),1.已知幂函数y=f(x)的图象经过点 ,则f(2)= ( ) A. B.4 C. D. 答案 C 设f(x)=x,图象过点 , f(4)=4= ,解得=- ,f(2)= = .故选C.,2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图, 则a、b、c、d的大小关系是 ( ) A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc 答案 B 根据幂函数的性质及图象知选B.,3.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案 C 函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方, 解之得a .,4.已知f(x)=4x2-mx+5在2,+)上是增函数,则实数m的取值范围是 . 答案 (-,16 解析 因为函数f(x)=4x2-mx+5的单调递增区间为 , 所以 2,即m16.,5.若函数y=x2-3x-4的定义域为0,m,值域为 ,则m的取值范围是 . 答案,解析 令f(x)=y=x2-3x-4,x0,m,二次函数f(x)=x2-3x-4图象的对称轴为 直线x= ,且f =- , f(3)=f(0)=-4,结合图象得m .,考点一 幂函数的图象与性质 典例1 (1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是( ) (2)当0x1时, f(x)=x1.1,g(x)=x0.9,h(x)=x-2的大小关系是 .,考点突破,答案 (1)C (2)h(x)g(x)f(x) 解析 (1)设幂函数的解析式为y=f(x)=xa, 幂函数y=f(x)的图象过点(4,2), 2=4a,解得a= . y=f(x)= ,其定义域为0,+),且是增函数, 当0g(x)f(x).,规律总结 (1)作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等, 对于一些幂函数只要作出它在第一象限内的图象,然后根据它的奇偶性 可作出幂函数在定义域内完整的图象. (2)利用幂函数的性质可处理比较大小问题,此类问题要根据待比较的 数的特征,合理引入幂函数,通过幂函数的单调性进行比较.,1-1 已知函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数,且x(0,+)时, f(x)是增函 数,则m的值为 ( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.3 答案 B 函数f(x)=(m2-m-1) 是幂函数, m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.又函数f(x)在(0,+)上为增函数,m2+m -30,m=2.,1-2 设a= ,b= ,c= ,则a,b,c的大小关系是 . 答案 acb 解析 y= (x0)为增函数, ,ac. y= (xR)为减函数, b. acb.,1-3 若(a+1 (3-2a ,则实数a的取值范围是 . 答案 解析 易知函数y= 的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以 解之得-1a .,考点二 求二次函数的解析式 典例2 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确 定此二次函数的解析式. 解析 解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0), 依题意有 解之得 所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 解法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a0), f(2)=f(-1),抛物线的对称轴为直线x= = ,m= . 又函数有最大值8,f(x)=a +8. f(2)=-1,a +8=-1,解之得a=-4. f(x)=-4 +8=-4x2+4x+7. 解法三:依题意知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数的最大值为8, =8, 解之得a=-4.函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.,方法技巧 求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当 选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:,考点三 二次函数的图象与性质 命题角度一 二次函数的图象 典例3 已知abc0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ( ),答案 D 解析 A项,a0,c0,而f(0)=c0,b0. 又abc0,c0,故B错. C项,a0,- 0.又abc0, c0,而f(0)=c0,- 0,b0,c0,而f(0)=c0,故选D.,当a0时, f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下,且对称轴x= 0,f(x)= ax2-2x在0,1上递减. f(x)min=f(1)=a-2.综上所述, f(x)min=,命题角度三 二次函数中恒成立问题 典例5 若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)求f(x)的解析式; (2)若在区间-1,1上,不等式f(x)2x+m恒成立,求实数m的取值范围. 解析 (1)由f(0)=1得c=1. f(x)=ax2+bx+1.又f(x+1)-f(x)=2x, a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x, 因此, f(x)=x2-x+1.,(2)f(x)2x+m等价于x2-x+12x+m,即x2-3x+1-m0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使 g(x)=x2-3x+1-m0在-1,1上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上 的最小值大于0即可.g(x)=x2-3x+1-m在-1,1上单调递减, g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-10得m-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-,-1).,方法技巧 1.确定二次函数图象应关注的三个要点 一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向; 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置; 三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y轴的交点、与x轴的交 点,函数图象的最高点或最低点等. 从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图 象中得到如上信息.,2.二次函数最值的求法 二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴和区间都是给定 的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路 是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点, 一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求 解. 对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.,3-1 (2016安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1 上的最大值为2,则a的值为 ( ) A.2 B.-1或-3 C.2或-3 D.-1或2 答案 D 函数f(x)=-(x-a)2+a2-a+1图象的对称轴为x=a,且开口向下,分 三种情况讨论如下: 当a0时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是减函数, f(x)max=f(0)=1-a, 由1-a=2,得a=-1. 当0a1时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,a上是增函数,在(a,1上是 减函数,f(x)max=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1, 由a2-a+1=2, 解得a= 或a= , 01时,函数f(x)=-x2+2ax+1-a在区间0,1上是增函数, f(x)max=f(1)=-1+2a+1-a=2, a=2. 综上可知,a=-1或a=2.,
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