资源描述
文数 课标版,第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程,1.直线的倾斜角 (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l 向上方向 之间所成的角叫做直线l的倾斜角,当直线l与x轴 平行或重合 时,规定它 的倾斜角为0. (2)范围:直线l倾斜角的范围是 0,) .,教材研读,2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角90,则斜率k= tan . (2)若P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1x2,则l的斜率k= .,3.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1l2 k1=k2 .特别地,当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1与l2 平行 . (2)两条直线垂直 如果两条直线l1、l2的斜率都存在,设为k1、k2,则有l1l2 k1k2=-1 . 当一条直线的斜率为零,另一条直线的斜率不存在时,两条直线互相 垂直 .,4.直线方程的五种形式,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”),(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率. () (2)直线的斜率越大,其倾斜角就越大. () (3)直线的斜率为tan ,则其倾斜角为. () (4)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等. () (5)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示. () (6) + =1表示所有不经过原点的直线. () (7)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2- x1)=(x-x1)(y2-y1)表示. () (8)若直线l1l2,则其斜率k1=k2. () (9)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1. () (10)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2,为常数),若直线l1l2,则A1A2+B1B2=0. (),1.若直线x=2的倾斜角为,则 ( ) A.等于0 B.等于 C.等于 D.不存在 答案 C 因为直线x=2垂直于x轴,所以倾斜角为 .,2.直线 x-y+a=0的倾斜角为 ( ) A.30 B.60 C.150 D.120 答案 B 设直线的倾斜角为,则tan = , 0,),= .,3.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( ) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 答案 A 由题意知 =1(m-2),解得m=1.,4.如果AC0,- 0, - 0, 直线Ax+By+C=0经过第一、二、四象限,故选C.,5.过两点A(0,1),B(-2,3)的直线方程为 . 答案 x+y-1=0 解析 由两点式可得直线方程为 = ,整理得x+y-1=0.,考点一 直线的倾斜角与斜率 典例1 (1)直线xsin +y+2=0的倾斜角的范围是 ( ) A.0,) B. C. D. (2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直 线l的斜率的取值范围为 . 答案 (1)B (2)(-,- 1,+) 解析 (1)设直线的倾斜角为,则有tan =-sin ,又sin -1,1,0,), 所以0 或 . (2)如图,kAP= =1,考点突破,kBP= =- , 直线l的斜率k(-,- 1,+).,易错警示 由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围 求倾斜角的取值范围时,常借助正切函数y=tan x在 和 上的 单调性求解.应注意任何直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.当 倾斜角为 时,直线斜率不存在.,变式1-1 若将本例(2)中的条件“P(1,0)”改为“P(-1,0)”,则直线l斜 率的取值范围是什么? 解析 P(-1,0),A(2,1),B(0, ), kAP= = ,kBP= = . 如图,可知直线l斜率的取值范围为 .,变式1-2 若将本例(2)中的条件“P(1,0)”改为“P(0,1)”,则直线l斜率 的取值范围是什么?倾斜角的取值范围是什么? 解析 P(0,1),A(2,1),B(0, ), kAP=0,直线BP的斜率不存在. 如图,可知直线l斜率的取值范围为0,+),倾斜角的取值范围为 .,变式1-3 在本例(2)的条件下,若互换A,P两点的坐标,即P(2,1),A(1,0),试 求直线l斜率的取值范围. 解析 P(2,1),A(1,0),B(0, ), kPA= =1, kPB= = . 如图所示,直线l的斜率的取值范围为 .,考点二 两条直线的平行与垂直 典例2 已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0. (1)当l1l2时,求a的值; (2)当l1l2时,求a的值. 解析 (1)解法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a1且a0时,两直线方程可化为 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 由l1l2可得 解得a=-1.,综上可知,a=-1. 解法二:由l1l2知 即 a=-1. (2)解法一:当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1与l2不垂直,故a=1不符合; 当a1时,l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 由l1l2得 =-1a= . 解法二:l1l2, A1A2+B1B2=0,即a+2(a-1)=0,得a= .,方法技巧 两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等; 两直线垂直两直线的斜率之积为-1. (2)已知两直线的斜率不存在 若两直线的斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行; 否则两直线重合. (3)已知两直线的一般方程 设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1l2A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C 10;l1l2A1A2+B1B2=0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论.,2-1 若直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行,则实数m的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案 C 直线l1:mx-y-2=0与直线l2:(2-m)x-y+1=0互相平行, 解得m=1.故选C.,2-2 已知直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,若l1l2,则a= ( ) A.2或 B. 或-1 C. D.-1 答案 B 因为直线l1:2ax+(a+1)y+1=0,l2:(a+1)x+(a-1)y=0,l1l2, 所以2a(a+1)+(a+1)(a-1)=0, 解得a= 或a=-1.故选B.,考点三 求直线方程 典例3 (1)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的 的直线方程; (2)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方 程; (3)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 解析 (1)设所求直线的斜率为k,依题意k=-4 =- .又直线经过点A(1, 3),因此所求直线方程为y-3=- (x-1),即4x+3y-13=0. (2)当直线不过原点时,设所求直线方程为 + =1(a0),将(-5,2)代入所 设方程, 解得a=- ,所以直线方程为x+2y+1=0; 当直线过原点时,设所求直线方程为y=kx, 则-5k=2,解得k=- ,所以直线方程为y=- x,即2x+5y=0. 故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0. (3)当m=2时,直线l的方程为x=2; 当m2时,直线l的方程为 = , 即2x-(m-2)y+m-6=0. 将m=2代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2, 所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.,易错警示 (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采 用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否 为零).,3-1 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 ; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5. 解析 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为,则sin = (0). 从而cos = ,则斜率k=tan = . 故所求直线方程为y= (x+4), 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.,(2)由题设知截距不为0,设直线方程为 + =1, 又直线过点(-3,4),所以 + =1,解得a=-4或a=9. 故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0. 当斜率存在时,设斜率为k,则所求直线方程为y-10=k(x-5),即kx-y+10-5k= 0. =5,解得k= . 所求直线方程为3x-4y+25=0. 综上,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.,考点四 直线方程的综合问题 典例4 过点P(4,1)作直线l分别交x,y轴正半轴于A,B两点. (1)当AOB面积最小时,求直线l的方程; (2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l的方程. 解析 设直线l: + =1(a0,b0), 因为直线l经过点P(4,1), 所以 + =1. (1) + =12 = , 所以ab16,当且仅当a=8,b=2时等号成立, 所以当a=8,b=2时,AOB的面积最小,此时直线l的方程为 + =1,即x+4y-8=0. (2)因为 + =1,a0,b0, 所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b) =5+ + 9, 当且仅当a=6,b=3时等号成立, 所以当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为x+2y-6=0.,1.给定条件求直线方程的思路 (1)考虑问题的特殊情况,如斜率不存在的情况,截距等于零的情况. (2)在一般情况下准确选定直线方程的形式,用待定系数法求出直线方 程. (3)重视直线方程一般形式的应用,因为它具有广泛的适用性.,方法技巧,2.与直线有关的最值问题的解题思路 (1)借助直线方程,用y表示x(或用x表示y). (2)将问题转化成关于x(或y)的函数. (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.,4-1 已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S(O为坐 标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程. 解析 (1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0, 令 解得 无论k取何值,直线l必经过定点(-2,1). (2)直线方程可化为y=kx+1+2k,当k0时,要使直线不经过第四象限,则 必须有 解得k0;,
展开阅读全文