资源描述
文数 课标版,第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题,1.二元一次不等式表示的平面区域 一般地,二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+ By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成 虚线 以 表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C0所 表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成 实线 .,教材研读,对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把其坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得 到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0), 由Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0(或0)表示直线哪一侧的平面 区域.,2.线性规划的有关概念,1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为 ( ) A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-,-7)(24,+) D.(-,-24)(7,+) 答案 B 根据题意知(-9+2-a)(12+12-a)0,即(a+7)(a-24)0,解得-7a 24.,2.不等式组 表示的平面区域是 ( ) 答案 B x-3y+60表示直线x-3y+6=0及其右下方,x-y+20表示直线x- y+2=0的左上方,故不等式组表示的平面区域如选项B所示.,3.不等式组 所表示的平面区域的面积等于 ( ) A. B. C. D. 答案 C 平面区域如图中阴影部分所示. 解 可得A(1,1),易得B(0,4),C ,则|BC|=4- = . SABC= 1= .,4.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最 大值为 ( ) A.-1 B.3 C.7 D.8 答案 C 点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:,5.若变量x,y满足约束条件 则z=2x+3y的最大值为 ( ) A.2 B.5 C.8 D.10 答案 B 作出不等式组所表示的平面区域,如图.z=2x+3y可化为y=- x + ,当直线y=- x+ 经过点A(4,-1)时,z最大,最大值为24+3(-1)=5.选B.,考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 典例1 (1)若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a的 取值范围是 ( ) A.a B.0a1 C.1a D.0a1或a (2)(2015重庆,10,5分)若不等式组 表示的平面区域为三角 形,且其面积等于 ,则m的值为 ( ),考点突破,A.-3 B.1 C. D.3,答案 (1)D (2)B 解析 (1)作出不等式组 表示的平面区域(如图中阴影部分). 由图知,要使原不等式组表示的平面区域是一个三角形,只需动直线l:x+ y=a在l1、l2之间(包含l2,不包含l1)或l3上方(包含l3).故选D.,点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为 (1+m),C,D两点的横坐标分别为2, -2m, 所以SABC= (2+2m)(1+m)- (2+2m) (1+m) = (1+m)2= , 解得m=-3(舍去)或m=1.故选B.,(2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m-1,所围 成的区域为ABC,SABC=SADC-SBDC.,方法技巧 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法 (1)“直线定界,特殊点定域”,即先作直线,再取特殊点并代入不等式.若 满足不等式,则不等式表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那一侧区 域;否则就对应与特殊点异侧的平面区域.不等式组表示的平面区域即 为各不等式所表示的平面区域的公共部分. (2)当不等式中不等号为或时,边界应画为实线,不等号为或时,边 界应画为虚线,特殊点常取原点.,1-1 若满足条件 的整点(x,y)恰有9个,其中整点是指横、纵 坐标都是整数的点,则整数a的值为 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 答案 C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,当a=0时, 平面区域内只有4个整点(1,1),(0,0),(1,0),(2,0);当a=-1时,正好增加(-1,-1), (0,-1),(1,-1),(2,-1),(3,-1)共5个整点,故选C.,1-2 若不等式组 所表示的平面区域被直线y=kx+ 分为面积 相等的两部分,则k= . 答案 解析 由图可知,平面区域为ABC及其内部,直线y=kx+ 恰过A , 直线y=kx+ 将三角形ABC分成面积相等的两部分,故直线y=kx+ 过BC 的中点 ,所以 =k + ,解得k= .,考点二 目标函数的最值与范围问题 命题角度一 转化为截距 典例2 (1)(2016课标全国,13,5分)设x,y满足约束条件 则 z=2x+3y-5的最小值为 . (2)(2016课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x-2y的 最小值为 . 答案 (1)-10 (2)-5 解析 (1)可行域如图所示(包括边界),z=2x+3y-5可化为y=- x+ + ,直,线2x-y+1=0与x-2y-1=0相交于点(-1,-1),当目标函数线过(-1,-1)时,在y轴 上的截距最小,z取最小值,zmin=-10.,(2)由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).z=x-2y可化 为y= - ,当直线x-2y-z=0过点B(3,4)时,在y轴上的截距最大,则z取得最 小值,zmin=3-24=-5.,典例3 (1)(2015课标,15,5分)若x,y满足约束条件 则 的 最大值为 . (2)已知x,y满足 则 的取值范围是 . 答案 (1)3 (2) 解析 (1)由约束条件画出可行域,如图.,命题角度二 转化为斜率,的几何意义是可行域内的点(x,y)与原点O连线的斜率,所以 的最大 值即为直线OA的斜率,又由 得点A的坐标为(1,3),则 = kOA=3. (2)不等式组 表示的平面区域如图所示,因为 = =1+ ,而 表示平面区域内的点与点A(4, 2)连线的斜率,由图知斜率的最小值为0,最大值为kAB= = ,所以1+ 的取值范围是 ,即 的取值范围是 .,典例4 (2016山东,4,5分)若变量x,y满足 则x2+y2的最大值是 ( ) A.4 B.9 C.10 D.12 答案 C 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边界),命题角度三 转化为距离,x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的 点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.,典例5 (1)(2015福建,10,5分)变量x,y满足约束条件 若z=2x -y的最大值为2,则实数m等于 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 (2)(2014课标,11,5分)设x,y满足约束条件 且z=x+ay的最小值 为7,则a= ( ) A.-5 B.3 C.-5或3 D.5或-3 答案 (1)C (2)B 解析 (1)当m0时,约束条件所表示的平面区域是开放的,目标函数z= 2x-y无最大值.当m=2时,目标函数z=2x-y的最大值为0.于是,选C.,命题角度四 含参问题,(2)二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中A .平移 直线x+ay=0,可知在点A 处,z取得最值, 因此 +a =7,化简得a2+2a-15=0,解得a=3或a=-5,但a=-5时,z取得 最大值,故舍去,故选B.,方法技巧 1.线性规划问题的解题步骤 (1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行 直线系中过原点的那一条直线; (2)平移将直线平行移动,以确定最优解的对应点的位置; (3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解),代入目标函数,即可 求出最值.,2.常见代数式的几何意义 (1) 表示点(x,y)与原点(0,0)的距离; (2) 表示点(x,y)与点(a,b)之间的距离; (3) 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率; (4) 表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率.,2-1 若x,y满足 且z=y-x的最小值为-4,则k的值为 ( ) A.2 B.-2 C. D.- 答案 D 作出可行域,如图中阴影部分所示,直线kx-y+2=0与x轴交于 点A .当目标函数线经过点A时z取最小值.,z=y-x的最小值为-4, =-4, 解得k=- ,故选D.,2-2 动点P(a,b)在区域 内运动,则w= 的取值范围是 . 答案 (-,-13,+) 解析 画出可行域如图,w= =1+ , 设k= ,则k(-,-22,+),所以w= 的取值范围是(-,-1 3,+).,考点三 线性规划的实际应用 典例6 (2016课标全国,16,5分)某高科技企业生产产品A和产品B需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg, 用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时. 生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企 业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产 产品A、产品B的利润之和的最大值为 元. 答案 216 000 解析 设生产产品A x件,生产产品B y件,利润之和为z元,则z=2 100x+ 900y.,根据题意得 即 作出可行域(如图). 由 得,当直线2 100x+900y-z=0过点A(60,100)时,z取得最大值,zmax=2 10060+ 900100=216 000. 故所求的最大值为216 000元.,方法技巧 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答.,3-1 某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每 种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙 产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为 ( ),A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元,答案 D 设该企业每天生产甲产品x吨、乙产品y吨,每天获得的利润 为z万元,则有z=3x+4y,由题意得,x,y满足: 不等式组表示的可 行域是以O(0,0),A(4,0),B(2,3),C(0,4)为顶点的四边形及其内部.根据线 性规划的有关知识,知当直线3x+4y-z=0过点B(2,3)时,z取最大值18,故该 企业每天可获得最大利润为18万元.,
展开阅读全文