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第五节 曲线与方程,【知识梳理】 1.曲线与方程的定义 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立如下的对应关系: 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.,这个方程,曲线上,2.求动点的轨迹方程的基本步骤,任意,x,y,所求方程,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: f(x0,y0)=0是点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件; 方程x2+xy=x的曲线是一个点和一条直线; 到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2=y2; 方程y= 与x=y2表示同一曲线. 其中错误的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.正确.由f(x0,y0)=0可知点P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上, 又P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上时,有f(x0,y0)=0, 所以f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲线f(x,y)=0上的充要条件. 错误.方程变为x(x+y-1)=0,所以x=0或x+y-1=0, 故方程表示直线x=0或直线x+y-1=0.,错误.当以两条互相垂直的直线为x轴、y轴时,是x2=y2,否则不正确. 错误.因为方程y= 表示的曲线只是方程x=y2表示曲线的一部分,故其不正确.,2.若动点P到定点F(1,-1)的距离与到直线l:x-1=0的距离相等,则动点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 【解析】选D.因为定点F(1,-1)在直线l:x-1=0上,所以轨迹为过F(1,-1)与直线l垂直的一条直线,故选D.,3.实数变量m,n满足m2+n2=1,则坐标(m+n,mn)表示的点的轨迹是( ) A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线的一部分 【解析】选D.设x=m+n,y=mn,则x2=(m+n)2=m2+n2+2mn=1+2y,且由于m,n的取值都有限制,因此变量x的取值也有限制,所以点(m+n,mn)的轨迹为抛物线的一部分,故选D.,4.方程x2+xy=0表示的曲线是 . 【解析】因为x2+xy=0,所以x(x+y)=0, 所以x=0或x+y=0,所以方程x2+xy=0表示两条直线. 答案:两条直线,5.若方程ax2+by=4的曲线经过点A(0,2)和 则a= ,b= . 【解析】因为曲线经过点A(0,2)和 所以 解得:a=16-8 ,b=2. 答案:16-8 2,考点1 定义法求点的轨迹方程 【典例1】(1)(2014北京模拟)ABC的顶点A(-5,0),B(5,0), ABC的内切圆圆心在直线x=3上,则顶点C的轨迹方程是_ .,(2)已知圆C与两圆x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圆C的圆心轨迹方程为L,设L上的点与点M(x,y)的距离的最小值为m,点F(0,1)与点M(x,y)的距离为n. 求圆C的圆心轨迹L的方程; 求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程.,【解题视点】(1)根据题设条件,寻找动点C与两定点A,B距离的差满足的等量关系|CA|-|CB|=6,由双曲线的定义得出所求轨迹为双曲线的一部分,再求其方程. (2)将圆C与另外两圆都相外切,转化为圆心距与两圆半径和之间的关系.m=n说明到定点的距离与到定直线的距离相等.,【规范解答】(1)如图,|AD|=|AE|=8,|BF|=|BE|=2, |CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线的定义,所求轨迹是以A,B为 焦点,实轴长为6的双曲线的右支,方程为 答案:,(2)两圆半径都为1,两圆圆心分别为C1(0,-4),C2(0,2),由题 意得|CC1|=|CC2|,可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线, C1C2的中点为(0,-1),直线C1C2的斜率不存在,故圆心C的轨迹是 线段C1C2的垂直平分线,其方程为y=-1,即圆C的圆心轨迹L的方 程为y=-1. 因为m=n,所以M(x,y)到直线y=-1的距离与到点F(0,1)的距离 相等,故点M的轨迹Q是以y=-1为准线,点F(0,1)为焦点,顶点在 原点的抛物线,而 =1,即p=2,所以,轨迹Q的方程是x2=4y.,【易错警示】准确把握双曲线的定义 在本例(1)中易出现 的错误结果,其原因是对双曲线的定义理解错误或没有注意到顶点C始终在x=3的右侧.,【规律方法】定义法求轨迹方程的适用条件及关键 (1)适用条件:动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义. (2)关键:定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义. 提醒:弄清各种常见曲线的定义是用定义法求轨迹方程的关键.,【变式训练】(2013北京模拟)一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于点O的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠,使点A与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【解析】选B.由条件知|PA|=|PQ|, 则|PO|+|PQ|=|PO|+|PA|=R(R|OQ|), 所以点P的轨迹是椭圆.,【加固训练】 1.(2013榆林模拟)若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【解析】选D.依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线.,2.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,【解析】选B.设N(a,b),M(x,y),则 代入圆O的 方程得点M的轨迹方程是(x-2)2+y2=22,此时|PF1|-|PF2| =|PM|-|PF2|=|MF2|= =2,2|F1F2|,故所求的轨迹 是双曲线.,3.动点P(x,y)满足 =|3x+4y-11|,则点P的轨 迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 【解析】选D.设定点F(1,2),定直线l:3x+4y-11=0,则|PF|= 点P到直线l的距离 由已知得 但注意到点F(1,2)恰在直线l上,所以点P的轨迹是过点F(1,2)且与直线l垂直的直线,其方程为y-2= (x-1),即4x- 3y+2=0.,4.(2013九江模拟)在ABC中,A为动点,B,C为定点, (a0),且满足条件sinC-sinB= sinA,则动点A的轨迹 方程是 . 【解析】由正弦定理,得 (R为外接圆半径), 所以|AB|-|AC|= |BC|,且为双曲线右支. 答案: (x0且y0),5.点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直 平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是 . 【解析】依题意有|QP|=|QF|,则|QF|-|QC|=|CP|=2,又|CF|=4 2,故点Q的轨迹是以C,F为焦点的双曲线的一支,a=1,c=2,得 b2=3,故所求轨迹方程为x2- =1(x0). 答案:x2- =1(x0),考点2 直接法求点的轨迹方程 【考情】直接法求轨迹方程是求轨迹方程的一个重要方法,也是高考命题的一个热点内容,该部分大多数是以解答题的形式出现,考查求轨迹方程的方法,曲线与方程的定义,基本运算能力等.,高频考点 通 关,【典例2】(1)(2014杭州模拟)已知M(-2,0),N(2,0),则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( ) A.x2+y2=2 B.x2+y2=4 C.x2+y2=2(x2) D.x2+y2=4(x2),(2)(2013四川高考)已知椭圆C: (ab0)的两个焦 点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点 求椭圆C的离心率; 设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上 的点,且 求点Q的轨迹方程.,【解题视点】(1)利用勾股定理得等量关系,坐标化得方程,根据三角形限定条件. (2)依据焦点坐标,可求出c的值;由椭圆的定义可求出2a的值.可设点Q的坐标为(x,y),依据题设中的等式求解.,【规范解答】(1)选D.设P(x,y), 则|PM|2+|PN|2=|MN|2,所以x2+y2=4(x2). (2)由椭圆定义知, 2a=|PF1|+|PF2| 所以 又由已知,c=1, 所以椭圆C的离心率,由知,椭圆C的方程为 设点Q的坐标为(x,y). (i)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点, 此时点Q的坐标为 (ii)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2. 因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2), (x2,kx2+2),则|AM|2=(1+k2)x12, |AN|2=(1+k2)x22. 又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.,由=(8k)2-4(2k2+1)60,得k2 由(*)可知, 代入(*)中并化简,得 因为点Q在直线y=kx+2上,所以 代入(*)中并化简,得10(y-2)2-3x2=18. 由(*)及k2 可知0x2,故 由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1y1, 又由10(y-2)2=18+3x2有 (y-2)2 且-1y1, 则y 所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,【通关锦囊】,【特别提醒】在解决直线与圆锥曲线有关的问题时,要注意变量的取值范围,否则易出现增根.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014绍兴模拟)y轴上两定点B1(0,b), B2(0,-b),x轴上两动点M,N.P为B1M与B2N的 交点,点M,N的横坐标分别为xM,xN,且始终 满足xMxN=a2(ab0且为常数),试求动点P 的轨迹方程.,【解析】设P(x,y),M(xM,0),N(xN,0),2.(2013陕西高考)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1)求动点M的轨迹C的方程. (2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.,【解析】(1)点M(x,y)到直线x=4的距离是它到点N(1,0)的距离 的2倍,则 所以,动点M的轨迹为椭圆,方程为,(2)P(0,3),设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知:2x1=0+x2,2y1=3+y2, 椭圆的上下顶点坐标分别是(0, )和(0,- ),经检验直线m 不经过这两点,即直线m斜率k存在.设直线m的方程为:y=kx+3, 联立椭圆和直线方程,整理得:(3+4k2)x2+24kx+24=0 所以直线m的斜率k=,【加固训练】 1.(2014武威模拟)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a0)且与y轴相交于点A,B,若ABP为正三角形,则点P的轨迹为( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆,【解析】选B.设P(x,y),动圆P的半径为R,由于ABP为正三角 形,所以P到y轴的距离 而R=|PF|= 所以 化简得 即点P的轨迹为双曲线.,2.(2013柳州模拟)如果三个数 (a0且a1)成等差数列,那么点P(x,y)在平面直角坐标系内的轨迹是( ) A.一段圆弧 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 【解析】选C.由题意可得 两边平方后整理可得 又y-x0,2-2x0,-2x0,可知选C.,考点3 相关点(代入)法、参数法求轨迹方程 【典例3】(1)(2014廊坊模拟)已知点A(-2,0),B(3,0),动点 P(x,y)满足 =x2-6,则动点P的轨迹是 .,高频考点 通 关,(2)(2013福建高考)如图，在正 方形OABC中，O为坐标原点，点A的 坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)， 分别将线段OA和AB十等分，分点分 别记为A1,A2,A9和B1,B2,B9， 连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(iN*,1i9).,求证：点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程； 过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N, 若OCM与OCN的面积之比为41，求直线l的方程.,【解题视点】(1)可由 =x2-6及P,A,B三点的坐标直接写出方程,进而得出轨迹. (2)注意Pi是直线OBi与过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线的交点,适当选择一个参数即可;将面积相等转化为点的坐标之间的关系即可求解.,【规范解答】(1)因为动点P(x,y)满足 =x2-6,所以 (-2-x,-y)(3-x,-y)=x2-6,化简,得y2=x,所以轨迹为抛物线. 答案:抛物线,(2)方法一:依题意,过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直 线方程为x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y= x. 设Pi的坐标为(x,y),由 得y= x2,即x2=10y. 所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的 方程为x2=10y.,方法二:点Pi(iN*,1i9)都在抛物线E:x2=10y上. 证明如下:过Ai(iN*,1i9)且与x轴垂直的直线方程为 x=i,Bi的坐标为(10,i),所以直线OBi的方程为y= x. 由 解得Pi的坐标为 因为点Pi的坐标都满足方程x2=10y, 所以点Pi(iN*,1i9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的 方程为x2=10y.,依题意,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10.由 得x2-10kx-100=0. 此时=100k2+4000,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N.设M(x1,y1),N(x2,y2), 则 因为SOCM=4SOCN,所以|x1|=4|x2|. 又因为x1x20,所以x1=-4x2,分别代入和,得 解得k= . 所以直线l的方程为y= x+10,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.,【易错警示】本例(1)易出现y2=x的结论,其原因是没有注意点的轨迹与轨迹方程是不同的.,【规律方法】 1.相关点(代入)法求轨迹方程的适用条件 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,但形成轨迹的动点与另外一动点有联系,而这一动点在某一已知曲线上. 2.参数法求轨迹方程的适用条件 动点所满足的条件不易得出或不易转化为等式,也没有明显的相关点,但却较易发现(或经过分析可发现)这个动点的运动与某一个量或某两个变量(角、斜率、比值、截距等)有关.,【变式训练】(2014烟台模拟)已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|= |MQ|,则点Q的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0 【解析】选D.由题意知,M为PQ的中点,设Q(x,y),则P为(-2-x, 4-y),代入2x-y+3=0,得2x-y+5=0.,【加固训练】 1. 与x,y轴交点的连线的中点的轨迹方程是 . 【解析】设直线 与x,y轴交点为A(a,0),B(0,2-a), AB中点为M(x,y),则 消去a,得x+y=1,因为a0, a2,所以x0,x1. 答案:x+y=1(x0,x1),2.(2013湛江模拟)设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1与l2相交于点P,若|AB|=1. (1)求点P的轨迹方程. (2)求证:MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.,【解析】(1)设M(m,m2),N(n,n2),则依题意知,切线l1,l2的方程 分别为y=2mx-m2,y=2nx-n2,则 设P(x,y), 因为|AB|=1,所以|n-m|=2,即 (m+n)2-4mn=4,将代入上式,得y=x2-1.所以点P的轨迹方程为 y=x2-1,(2)设直线MN的方程为y=kx+b. 联立方程 消去y,得x2-kx-b=0. 因为M(m,m2),N(n,n2), 所以m+n=k,mn=-b. 点P到直线MN的距离 |MN|= |m-n|,所以SMNP= |MN| = |m-n| = (m-n)2|m-n|=2. 即MNP的面积为定值2.,【规范解答12】与圆有关的轨迹问题 【典例】(14分)(2013新课标全国卷)已知圆M:(x+1)2+y2 =1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程. (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤，水到渠成 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0), 半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)动圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短 半轴长为 的椭圆(左顶点除外), 其方程为 (x-2) .4分,(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22,所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 6分 若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|= 7分 若l的倾斜角不为90,由r1R,知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q, 则 可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4), 由l与圆M相切得 解得 8分,当 并整理得7x2+8x-8=0, 解得 所以 12分 当 时,由图形的对称性可知 |AB|= 综上, .14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练,能力迁移 等腰三角形ABC中,若一腰的两个端点分别为A(4,2),B(-2, 0),A为顶点,求另一腰的一个端点C的轨迹方程.,【解析】设点C的坐标为(x,y),因为ABC为等腰三角形,且A为顶点.所以AB=AC. 又因为 所以 所以(x-4)2+(y-2)2=40. 又因为点C不能与B重合,也不能使A,B,C三点共线.所以x-2且x10. 所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=40(x-2且x10).,
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