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第二节 空间几何体的表面积与体积,【知识梳理】 1.空间几何体的侧面积和表面积 (1)常见几何体的侧面展开图:,共顶点的三角形,若干个小梯形,扇环,(2)多面体的表面积:因为多面体的各面都是平面,所以多面体的表面积就是各个面的_,即展开图的面积.,面积之和,(3)旋转体的表(侧)面积:,2r2+2rl,2r(r+l),2rl,rl,(r2+r2,+rl+rl),(r+r)l,4r2,2.几何体的体积 (1)设棱(圆)柱的底面积为S,高为h,则体积V=_. (2)设棱(圆)锥的底面积为S,高为h,则体积V=_. (3)设棱(圆)台的上、下底面面积分别为S,S,高为h,则体积 V=_. (4)设球半径为R,则球的体积V=_.,Sh,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 长方体的体积等于长、宽、高之积; 锥体的体积等于底面面积与高之积; 球的体积之比等于半径比的平方; 台体的体积可以转化为两个锥体的体积之差; 直径为1的球的表面积S=4r2=4. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.正确.长方体是一种特殊的直四棱柱,其体积 V=Sh=abc(其中a,b,c分别为长方体的长、宽、高); 错误.锥体的体积等于底面面积与高之积的 错误.因为球的体积V= R3,故球的体积之比等于半径比的 立方; 正确.由于台体是由平行于锥体的底面的平面截锥体所得的 在截面与底面之间的几何体,故其体积可转化为两个锥体的体 积之差; 错误.直径为1的球的半径为 故其表面积S=4r2=,2.一个正方体的体积是27,则这个正方体的内切球的表面积 是( ) A.10 B.9 C.8 D.6 【解析】选B.由V正方体=a3=27得a=3,所以正方体的内切球半径为 则S球=4R2=9.,3.圆柱的底面积是S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是( ) A.4S B.2S C.S D. 【解析】选A.底面半径是 所以正方形的边长是 故圆柱的侧面积是( )2=4S.,4.如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为( ) A. B.2 C.3 D.4,【解析】选A.由三视图知,该空间几何体为圆柱,所以全面积为,5.平面截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面的距离为 则此球的体积为 . 【解析】球半径 所以球的体积为 答案:,6.(2013天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为 则正方体的棱长为 . 【解析】设球半径为R,因为球的体积为 所以 又由球的直径与其内接正方体的对角线相等知正方体的对角线长为3,故其棱长为 答案:,考点1 几何体的表面积 【典例1】(1)(2013重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A.180 B.200 C.220 D.240,(2)(2014温州模拟)长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积为 ( ) A. B.56 C.14 D.64 【解题视点】(1)根据三视图可还原原来的几何体,然后求出该几何体的表面积. (2)利用三个相邻面的面积列出关于同一顶点引出的三条棱长的方程组,求出三条棱长,得到球的半径的平方,从而确定球的表面积.,【规范解答】(1)选D.由三视图可知该 几何体为底面为梯形的直四棱柱,如图, 棱柱的底面为等腰梯形,高为10.等腰梯 形的上底为2,下底为8,高为4, 所以梯形的面积为 4=20, 由三视图知,梯形的腰为 梯形的周长为8+2+5+5=20, 所以四棱柱的表面积为202+2010=240.,(2)选C.设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a,b,c, 则 得 令球的半径为R,则(2R)2=22+12+32=14, 所以R2= ,所以S球=4R2=14.,【易错警示】准确识图 本例第(1)题在解题过程中易误将3作为等腰梯形的腰长,从而误求结果为200.在解决三视图问题时一定要准确识别图形中各线段的长度.,【互动探究】若本例(1)中的三视图不变,求该几何体的体积. 【解析】由三视图可知,该几何体为一个放倒的四棱柱,底面为梯形,由三视图可知该四棱柱的底面积为 (2+8)4=20.高为10,故体积为2010=200.,【规律方法】 1.几何体表面积的求法 (1)多面体:其表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体:其表面积等于侧面面积与底面面积的和. (3)规则几何体:若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. (4)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.,2.旋转体侧面积的求法 计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.,【变式训练】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .,【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示. 长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为432+312+ 412=38; 圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为211=2; 圆柱的两个底面面积为212=2. 故该几何体的表面积为38+2-2=38. 答案:38,【加固训练】 1.(2013郑州模拟)如图是某宝石饰物的三视图,已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为 且一个内角为60的菱形,俯视图为正方形,那么该饰物的表面积为( ),【解析】选D.依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成,正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长,因为菱形的面积为 所以菱形的边长为1,因此该饰物的表面积为8( 11)4.,2.某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 .,【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示). 在四边形ABCD中,作DEAB,垂足为E,则DE=4,AE=3,则AD=5.所以其表面积为2 (2+5)4+24+45+45+44=92. 答案:92,3.(2013新课标全国卷)已知正四棱锥O-ABCD的体积为 底面边长为 则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_. 【解析】设正四棱锥的高为h，则 解得 高 又因为底面正方形的对角线长为 所以 所以球的表面积为4( )2=24. 答案：24,考点2 几何体的体积 【考情】空间几何体的体积的求解问题是近几年高考热点,其中以三视图为载体的空间几何体的体积问题备受命题者的青睐.试题主要考查体积公式的应用.常与正方体、长方体、棱锥、棱柱相结合,以选择题、填空题为主,主要考查学生的空间想象能力和计算能力.,高频考点 通 关,【典例2】(1)(2013新课标全国卷)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( ),(2)(2013浙江高考)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3 D.84cm3,【解题视点】(1)结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用V= R3求出球的体积. (2)先由三视图确定该几何体的构成,再利用体积公式求解.,【规范解答】(1)选A.设球的半径为R,由勾股定理可知， R2=(R-2)2+42,解得R=5，所以球的体积V= R3= 53= (cm3). (2)选B.由三视图可知原几何体如图所示，,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014台州模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A.16 B.12 C.8 D.4,【解析】选C.由三视图可知该几何体是由两个三棱柱构成的一个组合体,其体积为V= 222+ 222=8.,2.(2013北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为 .,【解析】此棱锥底面是边长为3的正方形,高为1,所以体积为 321=3. 答案:3,3.(2014舟山模拟)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的 顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个 球面面积的 则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大 者的高的比值为 .,【解析】如图,设球的半径为R， 圆锥的底面圆半径为r，则依题意得 r2= 4R2， 所以OCO=30,所以OO= 答案：,【加固训练】1.(2014玉溪模拟)已知球O的半径为 球面上有A,B,C三点,如果AB=AC=2,BC= 则三棱锥O-ABC的体积为 ( ) 【解析】选D.由AB=AC=2,BC= 可知ABC为直角三角形,取BC的中点O,连接OO与OA,如图所示,可知OO为锥体的高,在RtOOA中,OA= ,OA= ,所以OO= 于是VO-ABC=,2.(2014豫东十校联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 . 【解析】原几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成,其体积为 答案:,3.(2014南京模拟)若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形,则此圆柱的体积为 . 【解析】设圆柱的底面半径为r,高为h,底面积为S,体积为V,则有2r=2r= ,故底面面积S=r2=( )2= ,故圆柱的体积V=Sh= 答案:,【巧思妙解7】利用补形法巧解立体几何问题 【典例】(2014温州模拟)如图,正四面体ABCD的棱长为a,则这个四面体的外接球的体积为 .,【解析】常规解法: 如图所示,设正四面体ABCD内接于球O,由A点向底面BCD作垂线,垂足为H,连接BH,OB,则可求得 在RtBHO中,OH2+BH2=OB2, 所以 解得 所以 所以正四面体的外接球的体积是 答案:,巧妙解法： 可将正四面体还原成一正方体，如图， 所以球的直径为正方体的对角线长. 设正方体的棱长为x，球的半径为R，则 ， 所以R= a.所以 答案：,【解法分析】,【小试牛刀】如图所示,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB= 60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合,则形成的三棱锥的外接球的表面积为 . 【解析】常规解法:由已知条件知,平面图形中AE=EB=BC=CD= DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.作AF平面DEC,垂足为F,F即为DEC的中心.,取EC的中点G,连接DG,AG,过球心O作OH平 面AEC,则垂足H为AEC的中心.所以外接球 半径可利用OHAGFA求得.因为 在AFG和AHO中,根据三角形相似可知, 所以 外接球的表面积 S球= 答案:,巧妙解法:如图所示,把正四面体放在正方体 中,显然,正四面体的外接球就是正方体的外 接球.因为正四面体的棱长为1, 所以正方体的棱长为 所以外接球直径 所以 所以外接球的表面积S球= 答案:,
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