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第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,【知识梳理】 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域,包括边界直线,公共部分,2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的_, 叫做二元一次不等式(组)的解,所有这样的_构 成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.,有序数对(x,y),有序数对(x,y),3.线性规划的有关概念,不等式(组),不等式(组),解析式,一次,最大值或最小值,最大值,最小值,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 不等式Ax+By+C0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方; 任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域; 线性目标函数的最优解可能是不唯一的; 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上;,目标函数z=ax+by(b0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误.不等式Ax+By+C0表示的平面区域也可能在直线Ax+By+C=0的下方,这要取决于A与B的符号; 错误.不一定,如果二元一次不等式组的解集为空集,它就不表示任何区域; 正确.当目标函数对应的直线与可行域的某一条边界直线平行时,最优解可能有无数多个;,正确.线性目标函数都是通过平移直线,在与可行域有公共点 的情况下,分析其在y轴上的截距的取值范围,因此其取得最值 的点一定在可行域的顶点或边界上; 错误.由ax+by-z=0可得 所以 才是该直线在y 轴上的截距.,2.若点(m,1)在不等式2x+3y-50所表示的平面区域内,则m的取值范围是( ) A.m1 B.m1 C.m1 【解析】选D.依题意有2m+3-50,解得m1.,3.不等式组 所表示的平面区域的面积为( ) A.1 B. C. D.2 【解析】选B.不等式组表示的区域如图所示. 所以面积S= 11= .,4.(2013天津高考)设变量x,y满足约束条件 则目标函数z=y-2x的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2,【解析】选A.由z=y-2x,得y=2x+z.作出不等式组对应的平面区 域ABC(如图).作直线y=2x,平移直线y=2x+z,由图象知当直线经 过点B时,y=2x+z的截距最小,此时z最小.由 得 代入z=y-2x得z=3-25=-7.所以最小值为-7.,5.(2014杭州模拟)华源装饰公司要为客户做4个文字版面,3个绘画版面.现有两种规格原料,甲种规格每张3m2,可做文字版面2个,绘画版面2个;乙种规格每张2m2,可做文字版面2个,绘画版面1个.为了节约费用,使总用料面积最小,则需要买甲、乙两种规格的原料的张数分别为 .,【解析】设买甲种规格原料x张,乙种规格原料y张. 由题意得 所用原料总面积的目标函数S=3x+2y,作 出可行域,当直线S=3x+2y过2x+2y=4与2x+y=3的交点M(1,1)时, S最小,故甲、乙规格原料各1张. 答案:1,1,6.若实数x,y满足不等式组 且x+y的最大值为9, 则实数m= .,【解析】如图作出可行域. 由 得 平移直线y=-x, 当其经过点A时,x+y取得最大值, 即 解得m=1. 答案:1,考点1 平面区域的相关问题 【典例1】(1)(2014衢州模拟)如果不等式组 表 示的平面区域是一个直角三角形且y=2x与kx-y+1=0垂直,则该 三角形的面积为( ) A. B. C. D.,(2)(2013山东高考)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值为_.,【解题视点】(1)根据构成的平面区域为直角三角形来求解. (2)作出不等式组表示的平面区域,利用区域内的点与原点的距离及数形结合可求|OM|的最小值.,【规范解答】(1)选C.由y=2x与kx-y+1=0垂直,则k=- ,三角 形的三个顶点为(0,0),(0,1), 面积为,(2)作出可行域如图 易知过原点作直线x+y2=0的垂线， 即为|OM|的最小值, |OM|min= 答案：,【规律方法】平面区域问题的解题思路 (1)求平面区域的面积: 首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; 对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解.若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解.,【变式训练】(2014温州模拟)已知不等式组 表示的平面区域的面积是 ,则a等于( ) A. B.3 C. D.2 【解析】选A.画出平面区域,可知该区域是一个三角形,其面积 等于 所以 解方程组 得 所以 解得a= ,选A.,【加固训练】 1.若M为不等式组 表示的平面区域,则当a从-2连续 变化到1时,动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为( ) A. B.1 C. D.2,【解析】选C.根据题意作图如图所示. 图中阴影部分为所求的区域,设其面积为S,S=SAOD-SABC = 22- 1 = .,2.(2012福建高考)若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件 则实数m的最大值为( ) A.-1 B.1 C. D.2,【解析】选B.如图, 当y=2x经过且只经过x+y-3=0和x=m的交点时,m取到最大值,此时点(m,2m)在直线x+y-3=0上,则m=1.,3.若不等式组 表示的平面区域为M,当抛物线y2= 2px(p0)与平面区域M有公共点时,实数p的取值范围是( ) A.(0,2 B. C. D.,【解析】选D.作出平面区域(如图),可以求得A(1,2),B(2,1), 代入抛物线方程可得p=2,p= , 所以,考点2 线性规划的相关问题 【考情】线性规划问题以其独特的表达形式成为不等式部分的重要内容,线性规划中,通过最优解求参数的值或范围问题是高考命题的亮点与热点,作为不等式的重要组成部分,高考中常以选择题、填空题的形式出现,解答题偶尔也会考查.,高频考点 通 关,【典例2】(1)(2013新课标全国卷)设x,y满足约束条件 则z=2x-3y的最小值是( ) A.-7 B.-6 C.-5 D.-3 (2)(2013大纲版全国卷)记不等式组 所表示的 平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点，则a的取值范围是 _.,【解题视点】(1)作出可行域找到取最优解的点,联立方程得交点代入可求. (2)先确定可行域,再根据该直线过定点(-1,0),然后把该直线绕(-1,0)旋转,根据倾斜角和斜率的关系求解.,【规范解答】(1)选B.由z=2x-3y得3y=2x-z， 即 作出可行域如图, 平移直线 由图象可知当直 线 经过点B时，直线 的截距最大，此时z取得最小 值，由 即B(3，4),代入直线z=2x-3y,得z=23-34=-6，选B.,(2)画出可行域如图所示， 当直线y=a(x+1)过点A(0,4)时，a取得 最大值为4，当直线y=a(x+1)过点 B(1,1)时，a取得最小值为 所以a的 取值范围为 答案:,【通关锦囊】,【特别提醒】对求线性规划中含有参数的问题,有时需要对参数进行分类讨论解决.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2013福建高考)若变量x,y满足约束条件 则 z=2x+y的最大值和最小值分别为( ) A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0,【解析】选B.可行域如图所示,可行域的三个端点为(1,0), (2,0),(1,1),当直线z=2x+y分别过点(1,0),(2,0)时,z取得最小 值与最大值,分别代入可得zmin=21+0=2,zmax=22+0=4.,2.(2013四川高考)若变量x,y满足约束条件 且z=5yx的最大值为a，最小值为b，则ab的值是( ) A.48 B.30 C.24 D.16,【解析】选C.作出可行域如图，结合 图形可知，当 经过点A(4,4) 时，z取最大值16，当 经过 点B(8,0)时，z取最小值为-8，所以 ab=24，故选C.,3.(2013北京高考)设D为不等式组 表示的平面区 域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .,【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,可得点(1,0)到区 域D上点的最小距离即是点(1,0)到直线2x-y=0的距离, 答案:,4.(2014绍兴模拟)设x,y满足约束条件 若目标 函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为8,则a+b的最小值为 .,【解析】如图所示,线性约束条件表示的区域为图中的阴影部 分,A(0,2), C(1,4),当直线l:y=-abx+z过点C时,z取最 大值8,即8=ab+4, 所以ab=4.又因为a0,b0, 所以a+b =4. 答案:4,【加固训练】 1.(2013安徽高考)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,两定 点A,B满足 则点集 所表示的区域的面积是( ),【解析】选D.因为 所以 又|+|1， 故|1-|1-11,同理可推得-11,满足 的点所在的区域如图所示, 其中AOB是正三角形,其面积为S1= 故所求区域的面积为S=4S1=4 .,2.(2013江苏高考)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是 .,【解析】由y=2x得抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1)即y=2x-1, 即得可行域如图中阴影. 目标函数z=x+2y 平移目标函数,经过点A时x+2y最小, 经过点B时x+2y最大,故x+2y的取值范围是 答案:,考点3 线性规划的实际应用 【典例3】(1)(2013湖北高考)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆.则租金最少为( ) A.31200元 B.36000元 C.36800元 D.38400元,(2)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品,由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品,每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品,每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ),A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱,【解题视点】(1)利用题意设出A,B两种型号的车辆数量,列出不等式组及目标函数,利用线性规划求解. (2)设出两车间加工原料数量及总利润,列出不等式组及目标函数,利用线性规划求解.,【规范解答】(1)选C.设A型、B型车辆的数量分别为x，y辆， 则相应的租金为1 600x+2 400y，依题意，x，y还需满足： x+y21，yx+7，36x+60y900，于是问题等价于求满足约 束条件 且使目标函数z=1 600x+2 400y达到最小的x，y,作可行域如图所示的阴影部分中的整点,可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7，14)，R(15，6)， 由图可知，当直线z=1 600x+2 400y 经过可行域的点P时，直线z=1 600x+ 2 400y在y轴上的截距 最小， 即z取得最小值. 故应配备A型车5辆，B型车12辆. zmin=1 600x+2 400y=1 6005+2 40012=36 800(元).,(2)选B.设甲车间加工x箱原料,乙车间加工y箱原料,总获利为z, 则 目标函数z=280x+200y, 画出可行域如图所示(阴影部分整数点),联立 平移7x+5y=0,知z在点A(15,55)时取最大值.,【易错警示】关注实际问题的特殊性 本例(1),约束条件要全面,不能漏掉某些条件,本例(2)中是最优整数解,解题时忽略这一点,易造成误解.,【规律方法】解线性规划应用题的步骤 (1)转化:设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题. (2)求解:解这个纯数学的线性规划问题. 求解过程: 作图:画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.,平移:将l平行移动,以确定最优解所对应的点的位置. 求值:解有关方程组求出最优解的坐标,再代入目标函数,求出目标函数的最值.,(3)作答:就应用题提出的问题作出回答. 提醒:线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题.,利用线性规划解实际问题的一般思路 (1)认真分析并掌握实际问题的背景,收集有关数据. (2)将影响问题的各项主要因素作为决策量,设为未知数. (3)根据问题特点,写出约束条件. (4)根据问题特点,写出目标函数,并求出最优解或其他要求的解.,【变式训练】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?( ) A.4,4 B.4,3 C.3,4 D.3,3,【解析】选B.设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元, 则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足,作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点, 让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知 z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值. 因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可 满足要求.,【加固训练】 1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨.甲产品每吨利润为5万元,乙产品每吨利润为3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业的最大利润为 .,【解析】设生产甲产品x吨,乙产品y吨,利润为z万元,由题意可 得 目标函数为z=5x+3y,作出如图所示的可行域 (阴影部分).当直线5x+3y=z经过A(3,4)时,z取得最大值, 所以zmax=53+34=27(万元). 答案:27万元,2.(2014徐州模拟)某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为45个与55个,所用原料为A,B两种规格金属板,每张面积分别为2m2与3m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个,乙种产品5个;用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个.问A,B两种规格金属板各取多少张才能完成计划,并使总的用料面积最省?,【解析】设A,B两种金属板各取x张,y张,用料面积为z, 则约束条件为 目标函数z=2x+3y. 作出不等式组所表示的平面区域,即可行域,如图所示.,z=2x+3y变成 得斜率为- ,在y轴上截距为 ,且 随z变化的一族平行直线. 当直线z=2x+3y过可行域上点M时,截距最小,z最小, 解方程组 得M点的坐标为(5,5). 此时zmin=25+35=25(m2). 答:两种金属板各取5张时,用料面积最省.,【易错误区14】含参数的线性规划问题的易错点 【典例】(2013浙江高考)设z=kx+y，其中实数x,y满足 若z的最大值为12，则实数k=_.,【解析】画出可行域如图所示. 其中A(2，3)，B(2，0)，C(4，4). 当k=0时，显然不成立； 当k0时,最大值在C处取得，此时 12=4k+4，得k=2； 当k0时，最大值在A或C处取得， 此时，12=2k+3或12=4k+4, 得 均不合要求，故k=2. 答案：2,【误区警示】 1.处易出现未对k的取值讨论，直接将点代入求解. 2.处忘记检验所求值与条件是否相符.,【规避策略】 1.对于含参数的线性规划问题，若目标函数含参数一般需要分类讨论. 2.解题过程中，对求出的参数值要进行检验是否合乎要求.,【类题试解】(2014余姚模拟)已知x,y满足约束条件|x|+ 2|y|2，且z=y-mx(m0)的最小值等于-2，则实数m的值等于_.,【解析】原不等式等价于以下四个不等式组： 因此可画出可行域(如图).由z=y-mx得y=mx+z.,(1)当m 时，由图形可知，目标函数在点A(2,0)处取得最小值，因此-2=0-2m，解得m=1. (2)当0m 时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得最小值，因此-2=-1-m0,m无解. (3)当m- 时，由图形可知，目标函数在点C(-2,0)处取得最小值，因此-2=0+2m，解得m=-1.,(4)当- m0时，由图形可知，目标函数在点D(0,-1)取得最小值，因此-2=-1-m0，m无解. 综上，实数m的值等于1或-1. 答案:1或-1,
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