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第六章 不 等 式 第一节 不等关系与不等式,【知识梳理】 1.两个实数比较大小的法则 设a,bR,则ab_,a=b_,ab_.,a-b0,a-b=0,a-b0,2.不等式的基本性质,ba,ac,a+cb+c,acbc,acbc,a+cb+d,acbd,3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质: ab,ab0 _ ; a0b _ .,(2)有关分数的性质: 若ab0,m0,则 真分数的性质: 假分数的性质:,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变; 一个非零实数越大,则其倒数就越小; 同向不等式具有可加和可乘性; 两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母. 其中错误的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错,同乘以一个负数或0时不等号改变; 错,如-2-4; 对.当这个比值中的分母小于零时,分子小于分母,当这个比 值中的分母大于零时,分子大于分母.,2.设bb+d D.a+db+c 【解析】选C.由同向不等式具有可加性可知C正确.,3.若a1b,下列不等式中不一定成立的是( ) A.a-b1-b B.a-1b-1 C.a-11-b D.1-ab-a 【解析】选C.由a1知a-b1-b,故A正确;由ab知a-1b-1,故B正确;由1b知1-ab-a,故D正确,C项错误,如当a=3,b=-3时,不成立.,4.已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.由a0且b0可知a+b0,ab0,反之,由ab0,则a,b 同号,又a+b0知a0,b0,故为充分必要条件.,5.(2014杭州模拟)设a0且a1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1), 则P与Q的大小关系为 . 【解析】由a3-10,a2-10且a0可知a1,又(a3-1)-(a2-1)= a2(a-1)0,故a3-1a2-1,所以loga(a3-1)loga(a2-1),即PQ. 答案:PQ,6.已知-2a-1,-3b-2,则a-b的取值范围是 ,a2+b2的取值范围是 . 【解析】因为-2a-1,-3b-2,所以2-b3, 于是0a-b2. 又因为1a24,4b29,所以5a2+b213. 答案:(0,2) (5,13),考点1 用不等式(组)表示不等关系 【典例1】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表:,设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多100kg的混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B,则x,y应满足的所有不等关系为 . (2)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元,用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为 .,【解题视点】(1)利用已知表格数据及题目中的限制条件逐一写出并化简整理可解. (2)确定单价变化时相应的每天利润,即可列出不等式.,【规范解答】(1)依题意,有 整理化简得 答案:,(2)若提价后商品的售价为x元,则销售量减少 件,因 此,每天的利润为(x-8)100-10(x-10)元,则“每天的利润不 低于300元”可以表示为不等式(x-8)100-10(x-10)300.即 x2-28x+1900,同时10x20. 答案:x2-28x+1900(10x20),【规律方法】用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策略 (1)常见类型: 常量与常量之间的不等关系; 变量与常量之间的不等关系; 函数与函数之间的不等关系; 一组变量之间的不等关系.,(2)解题策略:分析题目中有哪些未知量; 选择其中起关键作用的未知量,设为x,再用x来表示其他未知量; 根据题目中的不等关系列出不等式(组). 提醒:在列不等式(组)时要注意变量自身的范围,解题时极易忽略,从而导致错解.,文字语言与符号语言的转化 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换,常见的转换关系如表:,【变式训练】某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式.,【解析】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知,【加固训练】 1.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构 成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系. 【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零 即可,因此5-x0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)13- x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长 边对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2(13-x)2,故x应满足 的不等关系如下:,2.某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约:生产此产品的工人不超过200人,每个工人的年工作时间约为2100h,预计此产品明年的销售量至少为80000袋,生产每袋产品需用4h,生产每袋产品需用原料20kg,年底库存原料600t,明年可补充1200t.试根据这些数据预测明年的产量.,【解析】设明年的产量为x袋,则 解得80000x90000. 预计明年的产量在80000袋到90000袋之间.,考点2 比较大小 【典例2】(1)已知a1,a2(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( ) A.MN C.M=N D.不确定,(2)(2014郑州模拟)已知0yz B.zyx C.zxy D.yxz,【解题视点】(1)将M,N作差、变形、因式分解可解. (2)利用对数运算法则整理,再利用对数函数的单调性可解. 【规范解答】(1)选B.因为M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1) =(a1-1)(a2-1), 因为a1,a2(0,1),故a1-10,所以MN.,(2)选D.因为 又0xz.,【互动探究】若将本例(1)中,a1,a2(0,1)这个条件去掉,又将如何判断M,N的关系? 【解析】作差,即M-N=(a1-1)(a2-1). 当a1,a2(-,1)时, (a1-1)(a2-1)0,即MN; 当a1,a2(1,+)时, (a1-1)(a2-1)0,即MN;,当a1,a2中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时,(a1-1)(a2-1)0,即MN. 综上,当a1,a2(-,1)或a1,a2(1,+)时,MN,当a1,a2中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时,MN.,【规律方法】比较两个数大小的常用方法 (1)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得出结论,用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法.,(2)作商法:即判断商与1的关系,得出结论,要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断,这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤. (3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小. (4)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可采用特值验证法比较大小.,【变式训练】已知 且a=cos2,b=cos-sin,则a 与b的大小关系为 . 【解析】由于 所以 故a=cos20,且cossin,所以b0.,而 由于 所以 故 即 故必有ab. 答案:ab,【加固训练】 1.若 则( ) A.aa; 所以ac,即cab.,2.(2013烟台模拟)已知xR, 则m,n的大小关系为( ) A.m=n B.mn C.mn D.mn,【解析】选B.因为 所以 则有xR时, 恒成立.故选B.,3.已知等比数列an中,a10,q0,前n项和为Sn,则 与 的 大小关系为 . 【解析】当q=1时, 所以 当q0且q1时, 所以 综上可得 答案:,考点3 不等式性质及其应用 【考情】不等式的性质及其应用是高考命题的热点.不等式性质的应用是高考的常考点,常通过不等式性质来比较大小,有时也与函数结合综合考查充要条件等问题,常以选择题、填空题形式出现,题目难度不大.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013北京高考)设a,b,cR,且ab,则( ) A.acbc B. C.a2b2 D.a3b3 (2)(2013天津高考)设a,bR,则“(a-b)a20”是“ab”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题视点】(1)排除法(利用特值)可解. (2)利用两命题间关系可解. 【规范解答】(1)选D.A选项,当c0b时,显然B不正确;C选项,当a=1,b=-2时,a2b时,有a3b3,D是正确的. (2)选A.(a-b)a20,则必有a-b0,即ab;而ab时,不能推出(a-b)a20,如a=0,b=1,所以“(a-b)a20”是“ab”的充分而不必要条件.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2013陕西高考)设x表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( ) A.-x=-x B.2x=2x C.x+yx+y D.x-yx-y,【解析】选D.对A,设x=-1.8,则-x=1,-x=2,所以A选项错. 对B,设x=-1.4,2x=-2.8=-3,2x=-4,所以B选项错. 对C,设x=y=1.8,x+y=3.6=3, x+y=2,所以C选项错.,2.(2012四川高考)设a,b为正实数,现有下列命题: 若a2-b2=1,则a-b1; 若 =1,则a-b1; 若| |=1,则|a-b|1; 若|a3-b3|=1,则|a-b|1. 其中的真命题有 (写出所有真命题的序号).,【解析】中a2-b2=1,所以a-b= 而a0,b0,又a2=b2+11, 所以a1,所以 b,因为a3-b3=1,又(a-b)3 =a3-3a2b+3ab2-b3=1+3ab(b-a)1,故a-b1,所以正确. 答案:,【加固训练】 1.(2012湖南高考)设ab1,cloga(b-c).则其中所有的正确结论的序号是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.因为ab1,所以 又cb1,所以acb1,-c0,所以a-cb-c1, 所以logb(a-c)loga(a-c)loga(b-c), 故logb(a-c)loga(b-c),故对.,2.(2014台州模拟)已知函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点 (-1,3)和(1,1)两点,若0c1,则a的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,2) C.2,3) D.1,3 【解析】选B.函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点(-1,3) 和(1,1)两点,则 可得c=2-a, 因为0c1,所以02-a1,所以1a2, 所以实数a的取值范围是1a2.故选B.,3.(2014枣庄模拟)若ab0,c-d0, 又ab0,所以a-cb-d0,故 而e0,所以,4.(2014绍兴模拟)若二次函数f(x)的图象关于y轴对称,且1f(1)2,3f(2)4,求f(3)的范围.,【解析】设f(x)=ax2+c(a0), f(3)=9a+c=3f(2)-3f(1)+ 因为1f(1)2,3f(2)4, 所以55f(1)10,248f(2)32,148f(2)-5f(1)27, 所以,【巧思妙解6】巧用特值判断不等式问题 【典例】(2014宁波模拟)若 则下列不等式: |a|+b0; lna2lnb2中,正确 的不等式是( ) A. B. C. D.,【解析】常规解法: 选C.由 可知b0,所以 故有 故正确,排除B,D;中,因为bab, 又因为 所以 故正确,排除A,选C. 巧妙解法: 选C.因为 故可取a=-1,b=-2,显然 故对,排除B,D,对于中, 而 故 成立,排除A,选C.,【解法分析】,【小试牛刀】若ab0,则下列不等式中一定成立的是( ),【解析】常规解法:选A.对B, 故B不成立. 对D, 故D不成立.,另外,函数f(x)=x- 是(0,+)上的增函数,但函数g(x)=x+ 在(0,1上递减,在1,+)上递增.所以,当ab0时,f(a)f(b) 必定成立.但g(a)g(b)未必成立,这样, 巧妙解法:选A.取a=2,b=1,排除B和D,取a=2,b= ,排除C.,
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