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第二节 一元二次不等式及其解法,【知识梳理】 1.一元二次不等式的特征 一元二次不等式的二次项(最高次项)系数_0.,不等于,2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系,在不等式ax2+bx+c0(a0)中,如果二次项系数a0,则可先根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.,x|xx2,R,x|x1xx2,3.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式解法 口诀:大于取两边,小于取中间.,x|xa,x|xb,或xa,x|axb,4.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的求解过程用程序框图表示为,x|xx2或xx1,R,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 若不等式ax2+bx+c0; 若不等式ax2+bx+c0的解集是(-,x1)(x2,+),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2; 若方程ax2+bx+c=0(a0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R;,不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a0且=b2-4ac0; 若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.正确.由不等式ax2+bx+c0; 正确.由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的; 错误.只有当a0时才成立,当a0的解集为空集;,错误.还要考虑a=0的情况,不等式ax2+bx+c0在R上恒成立的条件是a=0,b=0,c0或a0且=b2-4ac0; 正确.当抛物线开口向下时,在x轴下方一定存在图象,因此ax2+bx+c0的解集一定不是空集. (另外此类题也可边选边排除.通过判断正确排除D.正确排除B.错排除A,从而选C),2.不等式x(2-x)0的解集是( ) A.(-,0) B.(0,2) C.(-,0)(2,+) D.(2,+) 【解析】选B.由x(2-x)0x(x-2)00x2.,3.x2-ax+b0的解集为x|x3,则a+b的值是( ) A.1 B.-1 C.11 D.12 【解析】选C.由题意可知x2-ax+b=0的两根为2,3,故a=2+3=5,b=23=6,故a+b=11.,4.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是( ) A.(-1,1) B.(-2,2) C.(-,-2)(2,+) D.(-,-1)(1,+) 【解析】选C.由题意可得=m2-40,即(m-2)(m+2)0,得m2.,5.(2013广东高考)不等式x2+x-20的解集为 . 【解析】x2+x-2=(x-1)(x+2)0,解得-2x1,解集为x|-2x 1. 答案:x|-2x1,6.已知集合A=x|-5x1,集合B=xR|(x-m)(x-2)0,且AB=(-1,n),则m= ,n= . 【解析】因为A=x|-5x1,AB=(-1,n),所以m1,故B=x|mx2,得m=-1,n=1. 答案:-1 1,考点1 一元二次不等式的解法 【典例1】(1)(2013重庆高考)关于x的不等式x2-2ax-8a20)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( ) (2)(2013武汉模拟)不等式2x+3-x20的解集是 . (3)(2014丽水模拟)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a0.,【解题视点】(1)利用不等式的解集及x2-x1=15可解得a. (2)化为标准形式,求根,写解集. (3)将不等式左边因式分解后比较1与a的大小可得解集.,【规范解答】(1)选A.由题意知,不等式x2-2ax-8a20)的解 集为(-2a,4a),因为x2-x1=15, 所以4a-(-2a)=15,解得a= (2)原不等式可化为x2-2x-30,即(x-3)(x+1)0, 所以-1x3. 答案:x|-1x3,(3)原不等式可化为(x-a)(x-1)1时,不等式等价于11时解集为x|1xa.,【规律方法】 1.解一元二次不等式的一般步骤 一化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. 二判:计算对应方程的判别式. 三求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根. 四写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.,2.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. 提醒:当不等式中二次项的系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0的情况.,【变式训练】 1.(2013大连模拟)已知函数f(x)=(ax-1)(x+b),如果不等 式f(x)0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)0的解集是( ) A. B. C. D.,【解析】选A.不等式f(x)0, 即(ax-1)(x+b)0,其解集是(-1,3),所以 解得 于是f(x)=(-x-1)(x-3),所以不等式f(-2x) 或x- .,2.(2014嘉兴模拟)已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为 . 【解析】由题意知,-2,- 是方程ax2+bx+c=0的两个根,且a0即为 2x2-5x+20,故解集为 答案:,【加固训练】 1.已知函数f(x)=x2+bx+1是R上的偶函数,不等式f(x-1)x的解集为 . 【解析】由于函数是偶函数,可得b=0, 此时f(x)=x2+1,于是不等式f(x-1)x可化为x2-3x+20,解得1x2. 答案:x|1x2,2.解关于x的不等式(1-ax)20时,由ax(ax-2)0时,不等式解集为 当a0时,不等式解集为,考点2 一元二次不等式恒成立问题 【典例2】(1)若关于x的不等式ax2+2x+20在R上恒成立,则实数a的取值范围为 . (2)已知函数f(x)=x2+ax+3. 当xR时,f(x)a恒成立,求a的取值范围; 当x-2,2时,f(x)a恒成立,求a的取值范围.,【解题视点】(1)由于二次项含有字母要分类讨论,结合函数图 象求解. (2)可直接利用判别式0求解;可转化为求f(x)-a在-2, 2上的最小值,令其最小值大于或等于0即可.,【规范解答】(1)当a=0时,原不等式可化为2x+20,其解集不为 R,故a=0不满足题意,舍去;当a0时,要使原不等式的解集为R, 只需 解得a . 答案: (2)f(x)a即x2+ax+3-a0,要使xR时,x2+ax+3-a0恒成 立, 应有=a2-4(3-a)0,即a2+4a-120, 解得-6a2.,当x-2,2时,设g(x)=x2+ax+3-a. 分以下三种情况讨论: ()当- -2,即a4时,g(x)在-2,2上单调递增,g(x)在 -2,2上的最小值为g(-2)=7-3a,因此 a无解;,()当- 2,即a-4时,g(x)在-2,2上单调递减,g(x)在 -2,2上的最小值为g(2)=7+a, 因此 解得-7a-4; ()-2- 2,即-4a4时,g(x)在-2,2上的最小值为 因此 解得-4a2. 综上所述,实数a的取值范围是-7a2.,【互动探究】将例题(1)中条件改为“在(-1,2)上恒成立”,则a的取值范围为 . 【解析】令f(x)=ax2+2x+2,当a=0时,f(x)=2x+2 在(-1,2)上为增函数. 因f(-1)=0,所以不等式ax2+2x+20在(-1,2)上恒成立.,当a0,与a0时,=4-8a 时恒成立.f(x)的对称轴为,若- 0,即a-2+20.所以02不成立.综上,a0. 答案:a0,【易错警示】关注含参不等式的解法 (1)情况分类要全面,否则易漏解. (2)综合解集要准确,否则易出错.,【规律方法】一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2+bx+c0(a0)恒成立的充要条件是: a0且b2-4ac0在区间(m,n)上恒成立,一般考虑f(x)在该区间上的最小值大于0. 提醒:对于含参数的恒成立问题,有时需要分类讨论.,【变式训练】1.在R上定义运算:xy=x(2-y),若不等式(x+ m)x0对任意xR恒成立, 因此=(m-2)2-4(1-2m)0, 即m2+4m0,解得-4m0. 答案:(-4,0),2.不等式x2-3ax-a对一切3x4恒成立,则实数a的取值范围 是 . 【解析】因为x2-3ax-a对一切3x4恒成立, 所以a 在x3,4恒成立, 令g(x)= ,x3,4,即ag(x)min, 而g(x)= 在x3,4 单调递增,故g(x)在x=3时取得最小值3,则a3. 答案:a3,【加固训练】 1.(2013重庆高考)设0,不等式8x2-(8sin)x+ cos 20对xR恒成立,则的取值范围为 . 【解析】因为不等式8x2-(8sin)x+cos20对xR恒成立, 所以=64sin2-32cos20,即64sin2-32+64sin20, 解得0sin (0). 因为0,所以 答案:,2.若函数f(x)=log2(mx2+4mx+3). (1)若函数的定义域为R,求m的取值范围. (2)若函数的值域为R,求m的取值范围. 【解析】(1)依题意,f(x)的定义域为R,则 mx2+4mx+30恒成立. 当m=0时显然成立;,当m0时,则应有 等价于 即 由得m的取值范围是 (2)若函数的值域为R,则mx2+4mx+3的范围必包含(0,+). 故 故m的取值范围是,考点3 一元二次不等式的综合应用 【考情】一元二次不等式是高考考查的热点,几乎每年高考均有与其有关的题目.常以选择题、填空题的形式出现.通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角、立体几何、解析几何等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013陕西高考)在如图所示的 锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位: m)的取值范围是( ) A.15,20 B.12,25 C.10,30 D.20,30,(2)(2013新课标全国卷改编)已知函数f(x)= 若|f(x)|ax,则a的取值范围是( ) A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0,【解题视点】(1)利用三角形关系得出矩形的长、宽,利用面积公式构造不等式求解. (2)先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象,利用|f(x)|在(0,0)处的切线为制定参数的标准.,【规范解答】(1)选C.设矩形高为y,由三角形相似得: 且x0,y0,x40,y40,xy300, 整理得y+x=40,将y=40-x代入xy300, 整理得x2-40x+3000,解之得10x30.,(2)选D.画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示, 当x0时,g(x)=|f(x)|=x2-2x, g(x)=2x-2,g(0)=-2,故a-2. 当x0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g(x)= 由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于a,所以a0,综上 -2a0.,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2014杭州模拟)若方程ax2+bx+c=0的两实根为x1,x2,集合S=x|xx1,T=x|xx2,P=x|x0(a0)的解集为( ) A.(ST)(PQ) B.(ST)(PQ) C.(ST)(PQ) D.(ST)(PQ),【解析】选D.不妨设x1x2,因为不等式ax2+bx+c0(a0)的解集在两根之外,所以不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为x|xx1,而ST=x|xx1,PQ=x|xx1=(ST)(PQ).,2.(2013金华模拟)某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得从2014年开始第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且2014年后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自2014年后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tn=an+b,且2014年第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问2014年后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.,【解析】2014年改革后经过n个月的纯收入为(Tn-300-n)万元,公司若不进行改革,由题设知2014年后因竞争加剧收入将逐月减少. 分析测算得2014年第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元. 所以不改革,第一个月:70-3-2(1-1), 第二个月:70-3-2(2-1), 第三个月:70-3-2(3-1), 第n个月:70-3-2(n-1),所以不改革时的纯收入为: 万元, 由题设知 所以 由题意建立不等式:80n+10-300-n70n-3n-(n-1)n, 整理,得n2+11n-2900,得n12.4, 因为nN,故取n=13. 答:经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.,3.(2014临海模拟)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x R.F(x)= (1)若不等式f(x)4的解集为x|x1,求F(x)的表达式. (2)在(1)的条件下,当x-1,1时,g(x)=f(x)-kx是单调函数, 求实数k的取值范围. (3)设mn0,a0且f(x)为偶函数,判断F(m)+F(n)能否 大于零?,【解析】(1)由已知,不等式ax2+bx-30的解集为x|x1,故a0,且方程ax2+bx-3=0的两根为-3,1. 由根与系数的关系,得 所以f(x)=x2+2x+1=(x+1)2, 所以F(x)=,(2)由(1)有g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx =x2+(2-k)x+1 = 当 1或 -1时, 即k4或k0时,g(x)具有单调性.,(3)因为f(x)是偶函数,所以f(x)=ax2+1, 所以F(x)= 因为mn0,设mn,则n0,m-n0, 所以|m|-n|, 所以F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=(am2+1)-an2-1 =a(m2-n2)0, 所以F(m)+F(n)能大于零.,【加固训练】 1.(2013太原模拟)设二次不等式ax2+bx+10的解集为 则ab的值为( ) A.-6 B.-5 C.6 D.5 【解析】选C.由题意得-1, 是方程ax2+bx+1=0的两根,且a0, 所以 所以 又 所以a=-3,b=-2,所以ab=6.,2.(2013张家界模拟)已知f(x)=ax2-x-c,不等式f(x)0的解集为x|-2x1,则函数y=f(-x)的图象为( ),【解析】选B.由根与系数的关系知 =-2+1,- =-2,得a=-1, c=-2.f(-x)=-x2+x+2的图象开口向下,顶点坐标为,【易错误区13】分段函数解不等式问题的易错点 【典例】(2013江苏高考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为 .,【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数, 所以f(0)=0, 又当x0,所以f(-x)=x2+4x. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-x2-4x(x0), 所以f(x)=,(1)当x0时,由f(x)x,得x2-4xx,解得x5. (2)当x=0时，f(x)x无解； (3)当xx，得-x2-4xx. 解得-5x的解集用区间表示为(-5,0)(5,+). 答案:(-5,0)(5,+),【误区警示】 1.处对于x=0时的情况漏掉分析而导致不全面. 2.处利用奇函数求x0的解析式时求解错误.,【规避策略】 1.利用奇偶性求函数的解析式时一定要看清函数的定义域,若在0处有定义,则奇函数中必有f(0)=0. 2.利用奇偶性解不等式一般需要求解f(x)的解析式,因此要正确利用奇偶性转化求解析式.,【类题试解】(2013四川高考)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)5的解集是 . 【解析】依据已知条件求出y=f(x),xR的解析式,再借助y=f(x)的图象求解.,设x0.当x0时,f(x)=x2-4x, 所以f(-x) =(-x)2-4(-x). 因为f(x)是定义在R上的偶函数,得f(-x)=f(x), 所以f(x)=x2+4x(x0),故f(x)=,由f(x)=5得 得x=5或x=-5.观察图象可知由f(x)5, 得-5x5. 所以由f(x+2)5,得-5x+25,所以-7x3.故不等式f(x+2)5的解集是x|-7x3. 答案:x|-7x3,
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