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第三节 等比数列及其前n项和,【知识梳理】 1.等比数列及其相关概念,前面一项,同一个常数,常数,G2=ab,2.等比数列的通项公式 若等比数列an的首项是a1,公比是q,则其通项公式为_ _. 3.等比数列的前n项和公式 (1)当公比q=1时,Sn=_. (2)当公比q1时,Sn=_=_.,an=,a1qn-1(nN*),na1,4.等比数列的常见性质 (1)项的性质: an=amqn-m; am-kam+k=am2(mk,m,kN*). (i)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则aman=_=ak2; (ii)若数列an,bn(项数相同)是等比数列,则an,|an|, ,an2,anbn, (0)仍然是等比 数列;,apaq,(iii)在等比数列an中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,为等比数列,公比为qk.,(2)和的性质: Sm+n=Sn+qnSm; 若等比数列an共2k(kN*)项,则 =q; 公比不为-1的等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn, _仍成等比数列,其公比为qn,当公比为-1时,Sn,S2n-Sn, _不一定构成等比数列.,S3n-S2n,S3n-S2n,(3)等比数列an的单调性: 满足 an是_数列; 满足 an是_数列; 当 时,an为_数列; 当q0时,an为摆动数列.,递增,递减,常,(4)其他性质: an为等比数列,若a1a2an=Tn,则Tn, 成等 比数列; 当数列an是各项都为正数的等比数列时,数列lgan是公 差为lgq的等差数列.,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列; G为a,b的等比中项G2=ab; 如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列; 如果数列an为等比数列,则数列lnan是等差数列. 其中错误的命题是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.q=0时an不是等比数列. 错误.G为a,b的等比中项G2=ab;反之不真,如a=0,b=0,G=0. 错误.如数列1,-1,1,-1,. 错误.数列an中可能有小于零的项.,2.已知数列an是各项均为正数的等比数列,若a2=2,2a3+a4=16, 则an等于( ) A.2n-2 B.23-n C.2n-1 D.2n 【解析】选C.设该等比数列的公比为q,则a3=2q,a4=2q2,由此得 4q+2q2=16,即q2+2q-8=0,解得q=2或者q=-4(舍去),所以an= a2qn-2=2n-1.,3.在等比数列an中,前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则公比q的值 是( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 【解析】选A.易得q1,由题意得 两式相除得 1+q3=9,所以q=2.,4.设an是任意等比数列,它的前n项和,前2n项和与前3n项和 分别为X,Y,Z,则下列等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 【解析】选D.(特例法)取等比数列1,2,4,令n=1得X=1,Y=3, Z=7代入验算.,5.设an是由正数组成的等比数列,a1,a9是方程x2-8x+12=0的 两根,则a4a5a6= . 【解析】因为a52=a1a9=12,an0,所以a5= 所以a4a5a6= 答案:,6.若数列an满足：a1=1,an+1= (nN*),其前n项和为Sn,则 =_. 【解析】由a1=1,an+1= 知an是首项为1，公比为 的等比 数列，所以 故 答案：15,考点1 等比数列的基本运算 【典例1】(1)(2013江西高考)等比数列x,3x+3,6x+6,的第四项等于( ) A.-24 B.0 C.12 D.24 (2)(2013新课标全国卷)等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( ),【解题视点】(1)先根据等比中项的性质求出x的值,再利用通项公式求第四项. (2)利用S3=a1+a2+a3,根据通项公式求出q2,再解方程求得a1.,【规范解答】(1)选A.因为等比数列的前三项为x,3x+3,6x+6, 所以(3x+3)2=x(6x+6), 即x2+4x+3=0,解得x=-1或x=-3. 当x=-1时,3x+3=0不合题意,舍去.故x=-3. 此时等比数列的前三项为-3,-6,-12.所以等比数列的首项为-3, 公比为2,所以等比数列的第四项为-324-1=-24. (2)选C.由S3=a2+10a1,得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,即a1q2=9a1, 解得q2=9,又因为a5=9,所以a1q4=9,解得a1= .,【互动探究】 若本例已知条件不变,(1)对于第(1)小题,求通项公式an. (2)对于第(2)小题,求前n项和Sn.,【解析】(1)由本例(1)知a1=-3,q=2,所以an=(-3)2n-1. (2)由本例(2)知a1= ,q=3,所以 当q=3时,Sn= 当q=-3时,Sn= 因此Sn= (3n-1)或Sn= 1-(-3)n.,【易错警示】关注等比数列项的符号规律 等比数列的通项公式是an=a1qn-1,不管公比q的正负,q20,因此我们可以知道,等比数列中奇数项符号相同,偶数项符号也相同,但在做题时,我们往往会忽视这一点,尤其是在用到等比中项的时候.本例第(1)题就易出现两种情况不能决定取舍的问题.,【规律方法】解决等比数列有关问题的常见思想方法 (1)方程的思想.等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以 “知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而 解. (2)数形结合的思想.通项an=a1qn-1可化为an= qn,因此an是 关于n的函数,点(n,an)是曲线y= qx上一群孤立的点.,(3)分类讨论的思想.当q=1时,an的前n项和Sn=na1;当q1时, an的前n项和Sn= 等比数列的前n项和公式 涉及对公比q的分类讨论,此处是常考点,也是易错点. (4)整体思想.应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当 成整体进行求解.,等比数列设项技巧 对称设元法:一般地,连续奇数个项成等比数列,可设为, x,xq,;连续偶数个项成等比数列,可设为, xq, xq3,(注意:此时公比q20,并不适合所有情况)这样即可减少 未知量的个数,也使得解方程较为方便.,【变式训练】(2013四川高考)在等比数列an中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列an的首项、公比及前n项和. 【思路点拨】首先需要明确等比数列中2a2为3a1和a3的等差中项,然后设出公比,利用方程的思想进行求解.,【解析】设该数列的公比为q.由已知可得a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2, 所以,a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1. 由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去. 故公比q=3,首项a1=1. 所以,数列an的前n项和Sn=,【加固训练】 1.在等比数列an中,若公比q1,且a2a8=6,a4+a6=5,则= ( ) 【解析】选D.因为a2a8=6,所以a4a6=6, 又因为a4+a6=5,q1,所以a4=2,a6=3, 所以,2.设等比数列an的前n项和为Sn，若 则 =( ) 【解析】选B.设数列an的公比为q ,则 1q33q32, 于是,3.设an是等差数列,bn是等比数列,记an,bn的前n项和 分别为Sn,Tn.若a3=b3,a4=b4,且 则 = . 【解析】设数列an的公差为d,数列bn的公比为q. 因为 =5,所以 =5,即2a1+7d=5b1q2(1+q),因为 a3=b3,a4=b4,所以 可得 故2(3-2q)+7(q-1)=5(1+q), 解得q=-3,所以 答案:,考点2 等比数列的判定与证明 【典例2】(1)(2013福建高考)已知等比数列的公比为q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1am(n-1)+2 am(n-1)+m(m,nN*，),则以下结论一定正确的是( ) A.数列bn为等差数列,公差为qm B.数列bn为等比数列,公比为q2m C.数列cn为等比数列,公比为 D.数列cn为等比数列,公比为,(2)(2013陕西高考)设an是公比为q的等比数列. 推导an的前n项和公式. 设q1,证明数列an+1不是等比数列. 【解题视点】(1)判定一个数列是等差或等比数列,可利用作差或作比,看看结果是不是常数. (2)推导数列an的前n项和公式要注意分q=1或q1两种情况讨论,利用错位相减法求解;证明数列an+1不是等比数列,一般要用反证法,只需证明前三项不符合等比数列的条件即可.,【规范解答】(1)选C.显然,bn是等比数列但公比为qm;cn是等比数列;证明如下: cn=am(n-1)+1am(n-1)+2am(n-1)+m, cn+1=amn+1amn+2amn+m, =qmqmqm=(qm)m=,(2)分两种情况讨论. (i)当q=1时,数列an是首项为a1的常数数列,所以Sn=a1+a1+a1=na1. (ii)当q1时,Sn=a1+a2+an-1+anqSn=qa1+qa2+qan-1+qan. 上面两式错位相减: (1-q)Sn=a1+(a2-qa1)+(a3-qa2)+(an-qan-1)-qan=a1-qan Sn= 综上,Sn=,使用反证法. 不妨设an是公比q1的等比数列,假设数列an+1是等比数列,则 (a2+1)2=(a1+1)(a3+1)即(a1q+1)2 =(a1+1)(a1q2+1), 整理得a1(q-1)2=0得a1=0或q=1均与题设矛盾,故数列an+1不是等比数列.,【易错警示】注意对公比的讨论 本例第(2)题容易忽略对公比是否为1的讨论而致误,在解决等比数列问题时,要注意公比是否有限制条件,确定是否应进行讨论.,【规律方法】等比数列的判定方法 (1)定义法:若 =q(q为非零常数,nN*)或 (q为非零常数且n2,nN*),则an是等比数列. (2)中项公式法:若数列an中,an0且an+12=anan+2(nN*),则数列an是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),则an是等比数列.,(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列. 提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.,【变式训练】(2014金华模拟)已知数列an的首项a1=t0,an+1= n=1,2, (1)若t= ,求证 是等比数列并求出an的通项公式. (2)若an+1an对一切nN*都成立,求t的取值范围.,【解析】(1)由a10,an+1= 知an0, 所以数列 是首项为 公比为 的等比数列，,(2)由(1)知 因为an0,故an+1an得 即 得 又t0，则0t1.,【加固训练】 1.已知数列an满足a1= ,an= (n2,nN*). (1)试判断数列 是否为等比数列,并说明理由. (2)设cn=ansin ,数列cn的前n项和为Tn.求证:对任 意的nN*,Tn,【解析】(1)由 所以 又 -1=30, 所以数列 是首项为3,公比为-2的等比数列.,(2)由(1)得 所以 所以 所以,2.已知数列an中,a1= ,点(n,2an+1-an)在直线y=x上,其中 n=1,2,3. (1)令bn=an+1-an-1,求证数列bn是等比数列. (2)求数列an的通项.,【解析】(1)a1= ,2an+1=an+n, 则a2= ,a2-a1-1= - -1=- , 又bn=an+1-an-1,bn+1=an+2-an+1-1, 所以 所以bn是以- 为首项,以 为公比的等比数列.,(2)所以an+1-an-1= 所以a2-a1-1= a3-a2-1= an-an-1-1= 将以上各式相加得: 所以an-a1-(n-1)=,所以 所以,3.已知数列an是等差数列,a2=6,a5=18,数列bn的前n项和是 Tn,且Tn+ bn=1. (1)求数列an的通项公式. (2)求证:数列bn是等比数列. (3)记cn=anbn,求证cn+1cn.,【解析】(1)由已知 解得a1=2,d=4. 所以an=2+(n-1)4=4n-2. (2)由于Tn=1- bn, 令n=1，得b1=1- b1， 解得 当n2时，Tn-1=1- bn-1. ,-得bn= bn-1- bn, 所以bn= bn-1. 又b1= 0, 所以 所以数列bn是以 为首项， 为公比的等比数列.,因为n1,故cn+1-cn0.所以cn+1cn.,考点3 等比数列性质的应用 【考情】等比数列的性质是高考重点考查的内容之一,题型有选择题、填空题,近几年也与方程、不等式、三角函数等内容交汇考查,主要考查通项公式的变式、等比中项的变形、前n项和公式的变形等求值运算或判断证明等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2012新课标全国卷)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 (2)(2012北京高考)已知an为等比数列,下面结论中正确的是( ) A.a1+a32a2 B. C.若a1=a3,则a1=a2 D.若a3a1,则a4a2,【解题视点】(1)利用等比数列的性质将a5a6替换为a4a7,然后联立方程组求得a4,a7的值,最后将a4,a7及公比q的值整体代入a1+a10求出其值. (2)利用等比数列的基本量和基本不等式进行计算.,【规范解答】(1)选D.方法一:因为an为等比数列,所以a5a6=a4a7=-8,联立 解得或所以q3=- 或q3=-2, 故a1+a10= +a7q3=-7.,方法二:因为an为等比数列, 所以a5a6=a4a7=-8, 又a4+a7=2,联立方程组可得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4. 根据等比数列性质,a1,a4,a7,a10也成等比数列. 若a4=4,a7=-2,得a1=-8,a10=1,a1+a10=-7; 若a4=-2,a7=4,得a10=-8,a1=1, 仍有a1+a10=-7,综上选D.,(2)选B.,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2014台州模拟)在等比数列an中,已知a2+a3=1,a4+a5=2, 则a8+a9等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选C.设等比数列an的公比为q,则q2= =2,故 a8+a9=(a4+a5)q4=222=8.,2.(2014绍兴模拟)等比数列an的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=( ) A.12 B.10 C.8 D.2+log35 【解析】选B.因为an为等比数列,且a5a6+a4a7=18, 所以2a5a6=18,即a5a6=9, 所以log3a1+log3a2+log3a10 =log3(a1a2a10)=log3(a5a6)5 =5log3(a5a6)=5log39=52=10.,3.(2014石家庄模拟)设各项都是正数的等比数列an,Sn为前n项和,且S10=10,S30=70,那么S40= . 【解析】依题意,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S200,因此S20=30,S20-S10=20,S40=10+20+40+80=150. 答案:150,4.(2014杭州模拟)已知各项均为正数的等比数列an,若 2a4+a3-2a2-a1=8,则2a8+a7的最小值为 . 【解析】设an的公比为q,由2a4+a3-2a2-a1=8,得(2a2+a1)q2- (2a2+a1)=8,所以(2a2+a1)(q2-1)=8,显然q21,2a8+a7=(2a2+ a1)q6= 令t=q2,则2a8+a7= 设函数f(t)= (t1), f(t)= ,易知当t(1, )时f(t)为减函数,当t ( ,+)时,f(t)为增函数,所以f(t)的最小值为f( )=54,故 2a8+a7的最小值为54. 答案:54,【加固训练】 1.(2012安徽高考)公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8 【解析】选A.a3a11=16a72=16a7=4=a522a5=1.,2.(2014黄冈模拟)在等比数列an中,“8a2-a5=0”是“an为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分又不必要条件 D.充要条件 【解析】选C.由8a2-a5=0,得到a5=8a2.又a5=q3a2,则q=2,而a10时,数列an为递增数列,a10时,数列an为递减数列.当an为递增数列时,q不一定等于2. 则“8a2-a5=0”是“an为递增数列”的既不充分又不必要条件.,3.(2014商丘模拟)已知x1,y1,且 lnx, ,lny成等比数列, 则xy的最小值是 . 【解析】由已知条件得 lnxlny,即lnxlny= ,又 lnxlny ,当且仅当x=y时等号成立,所以 ln(xy)21,又x1,y1,所以ln(xy)1,即xye,xy的最小 值为e. 答案:e,【创新体验4】以数列为载体的创新问题 【典例】(2014连云港模拟)定义一个“等积数列”:在一个数列中,如果每一项与它后一项的积都是同一常数,那么这个数列叫“等积数列”,这个常数叫做这个数列的公积. 已知数列an是等积数列,且a1=2,公积为5,则这个数列的前n项和Sn的计算公式为 .,【审题视点】,【解析】这个数列为2, ,2, ,2, ,若n是偶数,则Sn= 若n是奇数,则 故Sn= 答案:Sn=,【创新点拨】 1.高考考情:先定义一个(一类)新数列,然后要求根据新定义推断这个新数列的一些性质或判断一个数列是否属于这类新数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一个命题方向,考查频次较高. 2.命题形式:常见的有新定义、新法则、新运算等,形式新颖,常给人耳目一新的感觉.,【备考指导】 1.准确转化:解决数列新定义问题,首先要弄清新定义的本质含义,紧扣题目所给定义进行等价转化. 2.方法选取:对于数列新定义问题,可结合等差数列、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法求解.,【新题快递】 1.若数列an满足 =p(p为正常数,nN*),则称an为“等 方比数列”.甲:数列an是等方比数列;乙:数列an是等比数 列,则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的充要条件 C.甲是乙的必要条件但不是充分条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件,【解析】选C.乙甲,但甲 乙,如数列2,2,-2,-2,-2,是等方 比数列,但不是等比数列.,2.定义“等平方和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的平方和都等于同一个常数,那么这个数列叫做等平方和数列,这个常数叫做该数列的平方和,已知数列an是等平方和数列,且a1=1,平方和为5,且an0,则a2015= ,这个数列的前n项和Sn的计算公式为 .,【解析】由定义知a12+a22=5,a1=1, 所以a22=4,因为an0,所以a2=2. 又由a22+a32=5,所以a32=1, 因为a30,所以a3=1,由此可知a4=2,a5=1, 即数列an的奇数项均为1,偶数项均为2，所以a2 015=1.,当n为偶数时， 当n为奇数时， 答案:,【规范解答】函数在研究数列问题中的应用 【典例】(15分)(2014桂林模拟)已知:函数f(x)在(-1,1)上 有定义, =-1,且对x,y(-1,1)有f(x)+f(y)= (1)试判断函数f(x)的奇偶性. (2)对于数列xn,有x1= ,xn+1= 试证明数列f(xn) 成等比数列. (3)求证:,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)在f(x)+f(y)= 中, 令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0), 1分 再令x=y=0得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,3分 所以f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数f(x)为奇函数. 4分,(2)由 因为 等号当且仅当|xn+1|=1时成立,当xn+1 =1时,根据xn= 得xn=1,进而xn-1=xn-2=x1=1,与已知x1 = 矛盾,故xn+11,同理xn+1-1,故 所以 .6分 所以f(xn+1)= 因为函数f(x)为奇函数, 所以f(xn+1)=f(xn)-f(xn+1),2f(xn+1)=f(xn).,因为xn0,否则与x1= 矛盾, 所以f(xn)f(0)=0, 所以 9分 因为f(x1)=f( )=-1, 所以f(xn)是以-1为首项, 为公比的等比数列.10分,(3)根据(2)可得f(xn)= 11分 因为 13分 14分 又因为nN*, 所以-2+ -2, 所以 15分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练,能力迁移 函数f(x)=x2-ax+a(xR),数列an的前n项和Sn=f(n),且f(x)同时满足: 不等式f(x)0的解集有且只有一个元素; 在定义域内存在0f(x2)成立. (1)求函数f(x)的表达式. (2)求数列an的通项公式.,【解析】(1)因为不等式f(x)0的解集有且只有一个元素,所以=a2-4a=0,解得a=0或a=4. 当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+)上递增,不满足条件; 当a=4时,函数f(x)=x2-4x+4在(0,2)上递减,满足条件. 综上得a=4,即f(x)=x2-4x+4.,(2)由(1)知Sn=n2-4n+4=(n-2)2, 当n=1时,a1=S1=1; 当n2时,an=Sn-Sn-1=(n-2)2-(n-3)2=2n-5. 所以an=,
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