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第三节 平面向量的数量积,【知识梳理】 1.向量的夹角,AOB,同向,反向,垂直,2.平面向量的数量积,|a|b|cos,|a|cos,|b|cos,|b|cos,3.平面向量数量积的性质 设a,b都是非零向量,e是单位向量,为a与b(或e)的夹角.则 (1)ea=ae=|a|cos. (2)ab_. (3)当a与b同向时,ab=|a|b|. 当a与b反向时,ab=-|a|b|, 特别地,aa=_或者|a|=_. (4)cos=_. (5)ab_.,ab=0,|a|2,|a|b|,4.数量积的运算律 (1)交换律:ab=ba. (2)数乘结合律:(a)b=_=_. (3)分配律:a(b+c)=_.,(ab),a(b),ab+ac,5.平面向量数量积的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),向量a与b的夹角为,则,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,【考点自测】 1.(思考)给出下列结论: 向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量; 两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量; 由ab=0可得a=0或b=0; (ab)c=a(bc). 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选A.由向量投影的定义可知正确;由数量积及线性运算的意义知正确;由ab=|a|b|cos知,当两个非零向量的夹角=90时,ab=0,而不必a=0或b=0,所以不正确;由向量数量积及向量的数乘的意义知,当ab0时,(ab)c是与c方向相同或相反的向量,而当bc0时a(bc)是与a方向相同或相反的向量,所以不正确.综上应选A.,2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=4,且ab=2,则a与b的夹角为 ( ) 【解析】选C.设a与b的夹角为, 则 又因为0,所以,3.已知向量a=(1,2),向量b=(x,-2),且a(a-b),则实数x等 于( ) A.9 B.4 C.0 D.-4 【解析】选A.a-b=(1-x,4). 由a(a-b),得1-x+8=0. 所以x=9.,4.已知单位向量a,b的夹角是120,则|a+b|=( ) A. B.1 C. D. 【解析】选B.由题意,得|a|=|b|=1, 所以,5.已知|a|=2,向量a与b的夹角是 则a在b上的投影是 . 【解析】a在b上的投影是|a|cos 答案:,6.已知等边三角形ABC的边长为1,设 则ab+bc+ca= . 【解析】如图,得a与b,b与c,c与a的夹角 都是120, 又|a|=|b|=|c|=1, 所以原式=11cos120+11cos120+11cos120 答案:,考点1 平面向量数量积的运算 【典例1】(1)(2013新课标全国卷)已知两个单位向量a,b的夹角为60,c=ta+(1-t)b,若bc=0,则t= . (2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则 的值为 , 的最大值为 .,【解题视点】(1)根据向量数量积的运算律及数量积的运算公式列方程求解. (2)结合图形建立平面直角坐标系,用向量数量积的坐标运算求解,或选取基向量,用基向量表示后再根据向量数量积的运算公式求解.,【规范解答】(1)由c=ta+(1-t)b得,bc=tab+(1-t)b2=0,整理得t|a|b|cos60+(1-t)|b|2=0,化简得 t+1-t=0,所以t=2. 答案:2,(2)方法一:如图所示,以AB,AD所在的直线 分别为x,y轴建立直角坐标系,设E(t,0), 0t1,则D(0,1),B(1,0),C(1,1), =(t,-1), =(0,-1), 所以 又因为 =(1,0),所以 =t1. 方法二:选取 作为基底,设 0t1, 则 答案:1 1,【互动探究】本例(2)中,当E是AB的中点时,试求 在 上的投影. 【解析】方法一:如图,过点E作EFDC, 垂足为F,由投影的定义知, 在 上的投影是 . 方法二:如图,向量 与 的夹角是EDC, 所以 在 上的投影是,【规律方法】向量数量积的两种求法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos. (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2. 运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.,平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(a+b)2=a2+2ab+b2. (3)(a-b)2=a2-2ab+b2.,【变式训练】(2014舟山模拟)在ABC中，A=90，AB=1, AC=2，设点P，Q满足 R.若 =-2，则=( ),【解析】选B.由题意可得,【加固训练】 1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)c=30,则x=( ) A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】选C.8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)c=(6,3)(3,x)=30,即18+3x=30,解得x=4.,2.已知两个单位向量e1,e2的夹角为 若向量b1=e1-2e2, b2=3e1+4e2,则b1b2= . 【解析】b1b2=(e1-2e2)(3e1+4e2)=3|e1|2-2e1e2-8|e2|2. 又因为e1,e2的夹角为 |e1|=1,|e2|=1, 所以b1b2=3-2cos -8=3-1-8=-6. 答案:-6,考点2 平面向量的垂直与夹角问题 【典例2】(1)(2014九江模拟)若|a|=2,|b|=4且(a+b)a,则a与b的夹角是( ) (2)(2014湖州模拟)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为( ) (3)设两个向量a,b,满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为 ,若向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,求实数t的范围.,【解题视点】(1)由向量的数量积公式知,只需根据(a+b)a求出ab即可. (2)根据向量垂直列方程求解. (3)把问题转化为两向量的数量积小于0且两向量不共线反向求解.,【规范解答】(1)选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)a, 则有(a+b)a=0a2+ba=04+ba=0,所以ba=-4,那么可 知a与b的夹角的余弦值为 则a与b的夹角是 (2)选A.a+b=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),因为向量a+b与 a-2b垂直,所以(a+b)(a-2b)=0,则3+1+4=0,解得,(3)由向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角,得 即(2ta+7b)(a+tb)0, 化简即得2t2+15t+70, 解得-7t 当夹角为时,也有(2ta+7b)(a+tb)0, 但此时夹角不是钝角, 设2ta+7b=(a+tb),0, 可求得 所以,所以 所以所求实数t的范围是,【易错警示】解答本例(3)易忽视向量2ta+7b与a+tb共线反向的情况,而得错误答案.,【规律方法】平面向量数量积的两个应用 (1)若a,b为非零向量,则由平面向量的数量积公式得cos= (夹角公式),所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.,【变式训练】(2013安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|= |a+2b|,则a与b夹角的余弦值为 . 【解析】由|a|=|a+2b|,设a与b的夹角为,等式两边平方得a2+4ab+4b2=a2ab=-b2,所以 答案:,【加固训练】 1.(2014株洲模拟)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( ) 【解析】选C.因为2a+b=(3,3),a-b=(0,3), 设2a+b与a-b的夹角为, 所以 又0,故,2.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k= . 【解析】因为(a+b)(ka-b),所以(a+b)(ka-b)=0, 即ka2+(k-1)ab-b2=0.(*) 又因为a,b为两个不共线的单位向量, 所以(*)式可化为k-1=(1-k)ab, 若1-k0,则ab=-1,这与a,b不共线矛盾; 若1-k=0,则k-1=(1-k)ab恒成立.综上可知,k=1时符合题意. 答案:1,3.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61. (1)求a与b的夹角. (2)求|a+b|和|a-b|. (3)若 作ABC,求ABC的面积. 【解析】(1)由(2a-3b)(2a+b)=61, 得4|a|2-4ab-3|b|2=61. 因为|a|=4,|b|=3,代入上式求得ab=-6, 所以 又0,所以= .,(2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2ab+|b|2 =42+2(-6)+32=13, 所以|a+b|= 同理,|a-b|= (3)由(1)知BAC= 所以,考点3 平面向量的模及其应用 【考情】有关平面向量的模的问题离不开平面向量的数量积,涉及平面向量模的问题是近几年高考的热点.常以选择题、填空题的形式出现,考查求模的最值、求模的取值范围等问题,具有一定的综合性.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013湖南高考)已知a,b是单位向量，ab=0. 若向量c满足|cab|=1,则|c|的最大值为( ) (2)(2013浙江高考)设e1,e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2, x,yR.若e1,e2的夹角为 则 的最大值等于 .,【解题视点】(1)首先弄懂向量a,b是一组正交基底,且|a+b|= 由|c-(a+b)|=1利用圆的知识可求得结果,或利用代数运算,转化为不等式求解. (2)先求 的最大值,其处理方法是变形构造函数,利用函数的最值解答.,【规范解答】(1)方法一：选C.条件|c-a-b|=1 可以理解成如图的情况 而|a+b|= 向量c的终点在单位圆上，故|c| 的最大值为 +1.,方法二:选C.由题意,得|a|=|b|=1,ab=0, 所以|a+b|= 因为|c-a-b|=1, 所以|c-a-b|2=c2-2c(a+b)+(a+b)2=1. 设c与a+b的夹角为, 则|c|2-2|c| cos+2=1, 即|c|2+1=2 |c|cos2 |c|,|c|2-2 |c|+10, 解得 -1|c| +1. 故|c|的最大值为 +1.,(2) 所以 的最大值为2. 答案：2,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2013杭州模拟)已知向量a=(1,1),b=(2,y),若|a+b|= ab,则y=( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 【解析】选D.因为a=(1,1),b=(2,y), 所以a+b=(3,y+1),ab=2+y, 因为|a+b|=ab,所以 所以y=3.,2.(2014西安模拟)已知单位向量a,b满足|a-kb|= |ka+b|，其中k0,则下列与向量b垂直的向量可以是( ) A.6a+2b B.a+ b C.a- b D.a+ b 【解析】选D.因为单位向量a,b满足|a-kb|= |ka+b|，其中 k0，所以(a-kb)2=3(ka+b)2， 即ab= 因为k0,所以ab,b(6a+2b)=6ab+2b2=6ab+2-1, 即b与6a+2b不垂直，所以A不正确； 即b与 不垂直，所以B不正确； 即b与 不垂直，所以C不正确； 所以b与 的数量积可以为零， 即b与 可以垂直，故选D.,3. (2013重庆高考)在平面上， 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】选D.因为 所以 即,因为 所以 即 因为 所以 因为 所以 所以 所以 即,4.(2014丽水模拟)设x,yR,向量a=(x,1),b=(1,y), c=(2,-4),且ac,bc,则|a+b|= . 【解析】因为ac,所以2x-4=0,解得x=2,又bc,所以2y+4=0,所以y=-2,所以a+b=(x+1,1+y)=(3,-1),所以|a+b|= 答案:,【加固训练】 1.(2014嘉兴模拟)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=3, a(a-2b)=0,则|a-b|=( ) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】选B.因为|a|=2,|b|=3, 所以a(a-2b)=a2-2ab=4-2ab=0, 即ab=2, 所以|a-b|=,2.若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则|a+b-c|的最大值为( ) 【解析】选B.由向量a,b,c都是单位向量,可得a2=1,b2=1,c2=1,由ab=0及(a-c)(b-c)0,可以知道(a+b)cc2=1,因为|a+b-c|2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc, 所以有|a+b-c|2=3-2(ac+bc)=3-2(a+b)c, 故|a+b-c|1.,【创新体验3】以平面向量的数量积为载体的创新问题 【典例】(2014福州模拟)对任意两个非零向量 定义 若平面向量a,b满足|a|b|0，a与b的夹角 且 都在集合 中，则 =( ) A. B.1 C. D.,【审题视点】,【解析】选C.根据题中的向量的新运算及向量的数量积,可知 因为 ,所以 又因为|a|b|0, 所以0 1,所以0 cos1, 即 (0,1).又 所以,由得, 所以 所以 所以,【创新点拨】 1.高考考情:以向量为背景的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,考查频次较高. 2.命题形式:常见的有新定义,新运算等.,【备考指导】 1.准确转化:解决新定义问题时,一定要弄清新定义的含义,由此把问题转化为我们学过的定义、运算,切忌同已有的定义或运算相混淆. 2.方法选取:成功转化后,可结合特例法、推理法,并注意到向量的概念及数量积的运算特点,根据题目的条件求解,要注意培养学生获取新信息、利用新知识的能力.,【新题快递】 1.(2014西安模拟)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令ab=mq-np,下面说法错误的是 ( ) A.若a与b共线,则ab=0 B.ab=ba C.对任意的R,有(a)b=(ab) D.(ab)2+(ab)2=a2b2,【解析】选B.对于A,由a与b共线,得mq-np=0,即ab=0,故A正确; 对于B,由新定义知,ab=mq-np,而ba=np-mq, 所以abba,故B错误; 对于C,(a)b=(m,n)(p,q)=mq-np=(mq-np)= (ab),故C正确; 对于D,(ab)2+(ab)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=m2q2+n2p2+m2p2+ n2q2=(m2+n2)(p2+q2)=|a|2|b|2,故D正确.,2.(2014合肥模拟)如图,在平面斜坐标系xOy中,xOy=,平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义:若 =xe1+ ye2(其中e1,e2分别是x轴,y轴同方向的单位向量),则P点的斜坐标为(x,y),向量的斜坐标为(x,y).给出以下结论:,若=60,P(2,-1),则 若P(x1,y1),Q(x2,y2),则 若 =(x1,y1), =(x2,y2),则 =x1x2+y1y2; 若=60,以O为圆心,1为半径的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy-1=0. 其中所有正确的结论的序号是 .,【解析】中,OP是两邻边长分别为2,1且一内角为60的平行四边形较短的对角线,解三角形可知 所以正确;结合向量的平行四边形加法法则可知若P(x1,y1),Q(x2,y2),则 (x1+x2,y1+y2)是正确的; =(x1,y1), =(x2,y2).所以 =(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2),因为e1e20,所以 x1x2+y1y2,所以错误;中设圆上任意一点为P(x,y),因为|OP|=1,所以(xe1+ye2)2=1,即x2+y2+xy-1=0,所以正确. 答案:,
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