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第四节 平面向量应用举例,【知识梳理】 1.向量在平面几何中的应用 (1)平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题.,(2)用向量解决常见平面几何问题的技巧.,a=b(b0),x1y2-x2y1=0,ab=0,x1x2+y1y2=0,(3)用向量方法解决平面几何问题的步骤. 平面几何问题 向量问题 解决向量问题 解决几何问题,2.平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量,它们的分解与合成和向量的减法和加法相似,可以用向量的知识来解决. (2)物理学中的功是一个标量,是力F与位移s的数量积,即W=_=_(为F与s的夹角).,Fs,|F|s|cos,【考点自测】 1.(思考)给出下列结论: 若 与 共线,则A,B,C,D四点在一条直线上; 若A(x1,y1),B(x2,y2),则 在ABC中,若 0,则ABC为钝角三角形; 物理中的力、速度、位移都是既有大小,又有方向的量,可用向量表示. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误,线段AB,CD所在的直线也有可能平行; 正确,因为 所以 错误,由 得 可得角B为锐角,但三角形的形状不能判定; 正确,由物理学的知识知正确.,2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4),B(5,2), C(-1,-4),则这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选B.由题意,得 =(2,-2), =(-4,-8), =(-6, -6),显然 所以角A是锐 角, =(-6,-6)(-2,2)=12-12=0,所以角B是直角,故 ABC是直角三角形.,3.在ABC中, 则ABC的面积是 ( ) A.5 B.10 C.5 D.20 【解析】选C.由 得cosA= 所以 故SABC=,4.已知平面向量a=(1,cos),b=(1,3sin),若a与b共线,则tan2的值为( ) 【解析】选C.因为a与b共线,所以3sin-cos=0,即tan= 所以tan2=,5.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态,已知F1,F2成60角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为 . 【解析】由题意得F3+F1+F2=0,所以|F3|= 答案:,考点1 向量在平面几何中的应用 【典例1】(1)(2013福建高考)在四边形ABCD中, =(1,2), =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A. B. C.5 D.10 (2)(2013天津高考)在平行四边形ABCD中,AD=1,BAD=60, E为CD的中点.若 则AB的长为 .,【解题视点】(1)观察向量 与 坐标的特点,由此通过计算判断AC与BD的位置关系,再利用面积公式求解. (2)根据题意,选取 当基底,根据向量的加法及平面向量基本定理由 表示 由 列方程求AB的长,或建系用向量的坐标运算求AB的长.,【规范解答】(1)选C.因为 所以AC,BD是互相垂直的对角线,所以S= |AC|BD|= (2)方法一: 因为 所以 所以 解得,方法二:如图,以A为原点,AD所在直线为x轴 建立直角坐标系,则A(0,0),D(1,0),设AB的 长为a,则 因为E是 CD的中点,所以 所以 即2a2-a=0,解得a= 或a=0(舍去).故AB的长为 . 答案:,【易错警示】关注四边形面积的求法 本例(1)采用对角线互相垂直的四边形面积的求法,解答本题易忽视向量 的关系,想不到该种方法,使问题陷入僵局而产生误选.求四边形面积的方法有:特殊四边形套公式法;不规则四边形常用分割法;对角线互相垂直的四边形,其面积是对角线长乘积的一半.,【互动探究】本例(2)中其他条件不变,若AB= ,试求 的值. 【解析】如图, 令 则 |a|= ,|b|=1,a与b的夹角为60, =a+b, 因为E是CD的中点, 所以 故,【规律方法】平面几何问题的向量解法 (1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. (2)基向量法:适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解. 提醒:用坐标法解题时,建立适当的坐标系是解题的关键,用基向量解题时要选择适当的基底.,【变式训练】(2014宁波模拟)已知空间向量a,b满足|a|= |b|=1,且a,b的夹角为 ,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足 =2a+b, =3a-b,则OAB的面积为( ),【解析】选B.因为|a|=|b|=1，且a,b的夹角为 ，则ab=|a|b|cos = | |= 设 与 的夹角为，则cos = 又0, 故 因此，SOAB= sin =,【加固训练】 1.已知ABC,点D在BC边上,且 则m+n的值为( ) 【解析】选B.如图, 因为 所以 又 不共线,所以 故m+n=0.,2.若等边ABC的边长为 平面内一点M满足 则 = . 【解析】方法一:以BC的中点为原点,BC所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可知A(0,3),B(- , 0),C( ,0). 设M(x,y),则 由 得,所以x=0,y=2, 所以点M的坐标为(0,2). 所以 所以 方法二:由于 所以,因为ABC是边长为 的等边三角形, 所以 所以 答案:-2,考点2 向量在三角函数中的应用 【考情】向量的共线与垂直和向量的数量积之间的关系以其独特的表现形式成为高考命题的亮点,作为一个重要载体,它常与三角函数相结合,在知识的交汇点处命题,常以解答题的形式出现.,高频考点 通 关,【典例2】(1)(2012陕西高考)设向量a=(1,cos)与b= (-1,2cos)垂直,则cos 2等于( ) (2)(2013江苏高考)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin), 0. 若|a-b|= 求证:ab; 设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.,【解题视点】(1)由向量a与b垂直列方程求解. (2)利用模的运算证明ab=0即可;根据向量相等列关于,的方程组,由三角变换求解. 【规范解答】(1)选C.已知a=(1,cos),b=(-1,2cos), 因为ab, 所以ab=0, 所以-1+2cos2=cos 2=0,故选C.,(2)由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2ab+b2=2. 又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2ab=2,即ab=0,故ab. 因为a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),所以 由此得,cos=cos(-),由0,所以,【通关锦囊】,【特别提醒】解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.,【通关题组】 1.(2014嘉兴模拟)设向量a=(cos,-1),b=(2,sin),若ab,则tan(- )等于( ) 【解析】选B.因为ab,所以ab=2cos-sin=0,即tan=2,所以tan(- )=,2.(2014湖州模拟)已知向量a=(sin,2)与向量b=(cos,1)平行,则tan2的值为 . 【解析】因为向量a=(sin,2)与b=(cos,1)平行,所以sin-2cos=0,即tan=2,故 答案:,3.(2014合肥模拟)如图,A,B是单位圆上的动点,C是单位圆与x轴的正半轴的交点,且AOB= ,记COA=,(0,), AOC的面积为S. (1)若f()= +2S,试求f()的最大值以及此时的值. (2)当A点坐标为 时,求| |2的值.,【解析】(1) 则 因为(0,),故= 时,f()max=1. (2)依题 在BOC中,BOC=+ . 由余弦定理得:,【加固训练】 1.已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且ab,则2sincos 等于( ) A.3 B.-3 C. D. 【解析】选D.由ab得cos=-2sin, 所以tan= 所以2sincos=,2.(2014海口模拟)若向量 且ab,则锐角的大小是 . 【解析】因为ab,所以 -sincos=0, 所以sin2=1,又为锐角,故 答案:,3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB. (1)求cosB的值. (2)若 =2,且b= 求a和c的值.,【解析】(1)由正弦定理,得 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB(R为ABC外接圆半径), 所以sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, 即sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 所以sin(B+C)=3sinAcosB, 又sin(B+C)=sin(-A)=sinA. 所以sinA=3sinAcosB. 因为sinA0,所以cosB= .,(2)由 =2,得accosB=2, 由(1)知cosB= ,所以ac=6. 又因为b2=a2+c2-2accosB,即8=a2+c2-4, 所以a2+c2=12. 由式解得a=c=,考点3 向量在解析几何中的应用 【典例3】(1)已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且 则动点P(x,y)到点M(-3,0)的距离d的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 (2)(2014吉林模拟)已知点A(-1,0),B(1,0),动点M的轨迹曲线C满足AMB=2, 过点B的直线交曲线C于P,Q两点. 求 的值,并写出曲线C的方程; 设直线PQ的倾斜角是 试求APQ的面积.,【解题视点】(1)先根据向量的运算判断点P的轨迹,再由点M的特点求解. (2)先根据向量的运算确定点M的轨迹,然后根据相关的值写出曲线C的方程;写出直线PQ的方程,与曲线C的方程组成方程组,根据根与系数的关系求APQ的面积.,【规范解答】(1)选B.因为M(-3,0),N(3,0),所以 由 得 化简得y2=-12x,所以点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到点M的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以dmin=3.,(2)设M(x,y),在MAB中,|AB|=2,AMB=2,根据余弦定理得 即 而 cos2=3,所以 所以 又 因此点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆(点M在x轴上也符合题意), a=2,c=1.所以曲线C的方程为,由题意得直线PQ的方程为:y=x-1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 由 得 7x2-8x-8=0, 所以x1+x2= ,x1x2=- , y1+y2=x1+x2-2= y1y2=(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1= 因为A(-1,0),B(1,0),所以|AB|=2. 所以SAPQ=SABP+SABQ= |AB|y1|+ |AB|y2|=|y1-y2|,即APQ的面积是,【规律方法】向量在解析几何中的两个作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. (2)工具作用:利用abab=0(a,b为非零向量),ab a=b(b0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法.,提醒:用向量法解决解析几何中的平行与垂直问题,比用斜率解决优越,因为用斜率解决问题时,易忽视斜率不存在的情况,常出现使问题漏解的错误.,【变式训练】已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且 则点P到点C的距离的最大值是 .,【解析】设P(x,y),则Q(8,y), 由 得 即(x-2)2+y2- (x-8)2=0, 化简得 所以点P的轨迹是焦点在x轴的椭圆,且a=4, c=2,点C是其右焦点. 故|PC|max=a+c=4+2=6. 答案:6,【加固训练】 1.(2014银川模拟)在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足 =4,则点P的轨迹方程是 . 【解析】因为定点A(1,2)与动点P(x,y)满足 =4,所以(x,y)(1,2)=4,即x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0,2.在平行四边形ABCD中,A(1,1), =(6,0),点M是线段AB的 中点,线段CM与BD交于点P. (1)若 =(3,5),求点C的坐标. (2)当 时,求点P的轨迹. 【解析】(1)设点C的坐标为(x0,y0), 又 =(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5), 所以x0=10,y0=6,即点C(10,6).,(2)设P(x,y), 则 =(x-1,y-1)-(6,0)=(x-7,y-1), =(3(x-1),3(y-1)-(6,0)=(3x-9,3y-3). 因为 所以平行四边形ABCD为菱形.所以 所以(x-7,y-1)(3x-9,3y-3)=0,即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0. 所以x2+y2-10x-2y+22=0. 即(x-5)2+(y-1)2=4. 又当y=1时,点P在AB上,与题意不符, 故点P的轨迹是以(5,1)为圆心,2为半径的圆且去掉与直线y=1的两个交点.,【规范解答6】向量与三角函数相结合的综合问题 【典例】(14分)(2013辽宁高考)设向量a=( sinx,sinx), b=(cosx,sinx), (1)若|a|=|b|,求x的值. (2)设函数f(x)=ab,求f(x)的最大值.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤，水到渠成 (1)因为 b=(cos x，sin x)，|a|=|b|， 所以 3分 即4sin2x=1, 5分 因为 , 所以 7分,(2)因为 b=(cos x，sin x), 所以 12分 因为 ,所以 所以当 时， 14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练,能力迁移 (2014重庆模拟)已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且mn. (1)求角C的大小. (2)若向量s=(0,-1),t= 试求|s+t|的取值范围.,【解析】(1)由题意得mn=(a+c,b-a)(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab. 由余弦定理得cosC= 因为0C,所以C= (2)因为s+t= =(cosA,cosB), 所以|s+t|2=cos2A+cos2B=cos2A+cos2( -A) 因为0A ,所以 所以 所以 故,
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