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第四章 平面向量 第一节 平面向量的概念及其线性运算,【知识梳理】 1.向量的有关概念,大小,方向,a,b,c,长度,2.几个特殊向量,0,任意的,1个单位,相同或相反,相同,相反,3.向量的加法与减法,三角形,平行四边形,b+a,a+(b+c),相反向量,三角形,4.向量的数乘运算及其几何意义 (1)定义:实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数 乘,记作a,它的长度与方向规定如下: |a|=|a|; 当0时,a与a的方向_;当0时,a与a的方向_; 当=0时,a=0. (2)运算律:设,是两个实数,则 _=()a; (+)a=_; (a+b)=_.,相同,相反,(a),a+a,a+b,5.共线向量定理 向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使_.,b=a,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 零向量的模等于0,没有方向; 若两个非零向量共线,则其方向相同或相反; 共线向量定理b=a中,当a=0时,则实数不唯一. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.错误.零向量的方向是任意的; 正确.因为两个向量都是非零向量,所以当其共线时,其方向相同或相反; 正确. 错误.当a=0且b=0时,则实数可为任意实数,故不唯一;当a=0且b0时,不存在.故不正确.,2.如图,已知D,E,F分别是ABC的边BC,AB,AC的 中点,则下列说法正确的是( ) 【解析】选C.由三角形的中位线定理知,3.判断下列四个命题: 若ab,则a=b;若|a|=|b|,则a=b; 若|a|=|b|,则ab;若a=b,则|a|=|b|.其中正确的个数 是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选A.中两向量共线,但这两向量的方向、模均不一定相同,故不一定相等;中两向量的模相等,但方向不一定相同,故这两向量不一定相等;中两向量的模相等,但两向量不一定共线;中两向量相等,则模一定相等,故正确.,4.如图,在正方形ABCD中,AC与BD交于点O, =( ) 【解析】选C.,5.若O,E,F是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( ) 【解析】选B.,考点1 平面向量的有关概念 【典例1】(1)已知下列命题: 若a=b,b=c,则a=c; 0与任何向量共线; 所有的单位向量都是相等的向量; 共线向量都在同一条直线上. 其中真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,(2)(2014青岛模拟)给出下列命题: 非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件; 若 与 共线,则A,B,C三点在同一条直线上; 若a与b同向,则a与-b反向; ,为实数,若a=b,则a与b共线. 其中错误命题的序号为 . 【解题视点】(1)根据向量相等及共线的条件逐一判断即可. (2)由共线向量定理逐一判断即可.,【规范解答】(1)选B.显然正确;对于,由向量相等的定义知,错误;对于,表示共线向量的有向线段也可能平行,所以错误. (2)对于,因为向量a与b都是非零向量,所以该命题是正确的;对于,因为向量 与 共线,且有公共点B,所以该结论是正确的;对于,因为b与-b反向,所以该结论正确;对于,当=0时,a与b可为任意向量,不一定共线,所以不正确. 答案:,【互动探究】若本例(2)中的,都为非零实数,该结论是否正确. 【解析】因为,都为非零实数,则由a=b,得 由共线向量定理知该结论正确.,【规律方法】平面向量相关概念的含义 (1)向量定义的核心是方向和长度. (2)非零共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的核心是方向相同且长度相等. (4)单位向量的核心是方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量的核心是方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线.,【规律方法】平面向量中常用的两个结论 (1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. (2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图象的平移混为一谈.,【变式训练】下列关于向量的叙述不正确的是( ) A.向量 的相反向量是 B.模长为1的向量是单位向量,其方向是任意的 C.若A,B,C,D四点在同一条直线上,且AB=CD,则 D.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线 【解析】选C.A,B显然正确;对于C,如图, A,B,C,D四点满足条件,但 所以C不正确; 对于D,由a+b=0,得b=-a,由共线向量定理知,a与b共线,所以D正确.,【加固训练】 (1)设a是任一向量,e是单位向量,且ae,则下列表示形式中正确的是( ) A. B.a=|a|e C.a=-|a|e D.a=|a|e 【解析】选D.对于A,当a=0时, 没有意义,错误;对于B,C,D当a=0时,选项B,C,D都对; 当a0时,由ae可知,a与e同向或反向,选D.,(2)给出下列命题: 若A,B,C,D是不共线的四点,则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; 0a=0; a=b的充要条件是|a|=|b|且ab; 若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是 .,【解析】正确;数乘向量的结果为向量,而不是实数,故不正确;当a=b时|a|=|b|且ab,反之不成立,故错误;当a,b不同向时不成立,故错误. 答案:,考点2 平面向量的线性运算 【考情】平面向量的线性运算包括向量的加、减及数乘运算,是高考的热点.常以选择题、填空题的形式出现.考查向量加法的平行四边形法则和三角形法则,向量减法的三角形法则及向量的相等.,高频考点 通 关,【典例2】(1)(2013四川高考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O, 则= . (2)(2013江苏高考)设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点, AD= AB,BE= BC,若 (1,2为实数),则1+2的值为 .,【解题视点】(1)根据向量加法的平行四边形法则及向量的 相等求解. (2)利用向量加法的三角形法则求解. 【规范解答】(1)在平行四边形ABCD中, 而 所以 故=2. 答案:2 (2)由 则1+2的值为 答案:,【通关锦囊】,【特别提醒】解答平面向量线性运算有关问题的总体原则是数形结合,即结合图形利用向量加、减法的法则进行向量运算.,【通关题组】 1.(2014温州模拟)设M是ABC所在平面内的一点, 则( ) 【解析】选B.因为 ,所以 即,2.(2014大连模拟)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若 等于( ),【解析】选B.如图, 由题意知, DEBE=13=DFAB, 所以 所以,3.(2014宁波模拟)在ABC中,已知D是AB边上一点,若 则=( ) 【解析】选A.如图，因为 所以 又 所以,【加固训练】 1.(2011山东高考)设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 且 则称A3,A4调和分割A1,A2.已知点C(c,0),D(d,0)(c,dR)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( ) A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上 D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上,【解析】选D.由题意得 若C是AB的中点,则= ,此时 即 =0,这样的不 存在,故A错误;同理B错误;若C,D同时在线段AB上,则01,1, 这与 矛盾, 故选D.,2.(2011四川高考)如图,正六边形ABCDEF中, ( ),【解析】选D.因为六边形ABCDEF是正六边形, 所以 故选D.,3.(2014西安模拟)任意四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,则 = (用向量 表示). 【解析】如图所示,因为E,F分别是AD与BC的中点, 所以 又因为 所以 同理 ,由+得, 所以 答案:,考点3 共线向量定理及其应用 【典例3】(1)a=b(R)是a与b共线的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设两个非零向量a与b不共线. 若 求证:A,B,D三点共线; 试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.,【解题视点】(1)由共线向量定理及其成立的条件进行判断. (2)利用共线向量定理证明 共线; 由共线向量定理列方程组求解. 【规范解答】(1)选A.当a=b(R)时,若b=0,则a=0,显然a与b共线;若b0,则由共线向量定理知a与b共线. 反之,若a与b共线,当b=0,而a0时,a=b(R)不成立.故选A.,(2)因为 所以 所以 共线.又 与 有公共点B, 所以A,B,D三点共线. 因为ka+b与a+kb共线, 所以存在实数,使ka+b=(a+kb), 所以 所以k=1.,【互动探究】本例(2)条件不变,结论若改为“若向量ka+b和向量a+kb反向共线,求k的值”,则结果如何? 【解析】因为ka+b与a+kb反向共线, 所以存在实数,使ka+b=(a+kb)(0), 所以 所以k=1. 又0,k=,所以k=-1.故当k=-1时两向量反向共线.,【易错警示】关注共线向量定理成立的条件 本例(1)易误选C,出错的原因是忽视共线向量定理成立的条件.共线向量定理:向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数,使b=a.定理成立的条件是a0,若a=0,b0,a与b共线,此时,不存在实数,使b=a.,【规律方法】共线向量定理的应用 (1)证明向量共线,对于向量a,b,若存在实数,使a=b,则a与b共线. (2)证明三点共线,若存在实数,使 则A,B,C三点共线. (3)求参数的值,利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. 提醒:证明三点共线时,要说明共线的两向量有公共点.,【变式训练】(2014金华模拟)已知点P是ABC所在平面内一点,边BC的中点为D,若 其中R,则P点一定在( ) A.AB边所在的直线上 B.BC边所在的直线上 C.AC边所在的直线上 D.ABC的内部 【解析】选C.因为D为边BC的中点,所以 故 可变为 即 故三点P,A,C共线,即P点一定在AC边所在的直线上.,【加固训练】 1.如图,A,B,C是数轴上的三点,则下列结论正确的是( ) A. =4 B. C. D. 【解析】选D.因为 所以,2.已知点G是ABO的重心(三边中线的交点),M是AB边的中点. (1)求 (2)若PQ过ABO的重心G,且 求证: 【解析】(1)因为 所以,(2)显然 因为G是ABO的重心,所以 由P,G,Q三点共线,得 所以,有且只有一个实数,使 而 所以 又因为a,b不共线, 所以 消去,整理得3mn=m+n,故,【易错误区10】向量共线中参数求值问题的易错点 【典例】(2014温州模拟)已知向量a,b不共线,且c=a+b, d=a+(2-1)b,若c与d共线反向,则实数的值为( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或-,【解析】选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k0), 于是a+b=ka+(2-1)b, 整理得a+b=ka+(2k-k)b. 由于a,b不共线,所以有 整理得22-1=0, 解得=1或=- . 又因为k0,所以0,故,【误区警示】 1.处忽视了c与d反向,从而漏掉k的范围限制. 2.处易忘记与k的关系及处对k的取值范围的限制.,【规避策略】 1.认真审题,挖掘题目的隐含限制条件,避免产生增解. 2.做出答案后要注意检验,养成检验反思的习惯.,【类题试解】已知向量a,b不共线,c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么( ) A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向 C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 【解析】选D.由cd得c=d,即ka+b=(a-b), 所以 所以k=-1,所以向量c与d共线反向.,
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