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第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算,【知识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)基底:平面内_的向量e1,e2叫做表示这一平面内的所 有向量的一组基底. (2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向 量,那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数1, 2,使a=_.,不共线,1e1+2e2,2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量 a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数 对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=_,其中a在x轴上的坐标 是x,a在y轴上的坐标是y.,(x,y),3.平面向量的坐标运算,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x,y),(x2-x1,y2-y1),x1y2-x2y1=0,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 平面内的任何两个向量都可以作为一组基底; 在ABC中,向量 的夹角为ABC; 同一向量在不同基底下的表示是相同的; 设a,b是平面内的一组基底,若实数1,1,2,2满足1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.平面内不共线的两个向量可以组成一组基底,平面内同一向量在不同基底下的表示形式是不同的,故不正确;向量是有方向的,故在ABC中, 与 的夹角应是ABC的补角,故不正确;根据平面向量基本定理,同一向量在基底a,b下的表现形式是唯一的,故正确.,2.已知A(x,1),B(2,y), =(3,4),则x+y=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 【解析】选C.由题意,得 解得 所以x+y=4.,3.若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则c=( ) A.3a+b B.3a-b C.-a+3b D.a+3b 【解析】选B.设c=xa+yb,则 所以 故c=3a-b.,4.下列各组向量中,能作为基底的是( ) a=(1,2),b=(2,4); a=(1,1),b=(-1,-1); a=(2,-3),b=(-3,2); a=(5,6),b=(7,8). A. B. C. D. 【解析】选C.对于,显然b=2a,对于,b=-a,故不能作为基底;对于,因为22-(-3)(-3)0,所以a,b不共线,故能作为基底;对于,因为58-670,所以a,b不共线,故能作为基底.综上应选C.,5.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,则实数m= . 【解析】a+b=(1,m-1). 因为(a+b)c, 所以2-(-1)(m-1)=0,所以m=-1. 答案:-1,考点1 平面向量基本定理及其应用 【典例1】(1)(2014绍兴模拟)若a与b不共线,已知下列各组向量 a与-2b; a+b与a-b; a+b与a+2b; 其中可以作为基底的是 (只填序号即可).,(2)(2014莱芜模拟)如图,已知OCB中,A是CB的中点,D是将 分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设 用a和b表示向量 若 求实数的值.,【解题视点】(1)由共线向量定理及基底的定义进行判断. (2)由向量加法的平行四边形法则及三角形法则求解; 由平面向量基本定理及共线向量定理求解.,【规范解答】(1)因为a与b不共线,所以,对于,显然a与-2b不共线;对于,假设a+b与a-b共线,则存在实数,使a+b=(a-b),则=1且-=1,由此得=1且=-1矛盾,故假设不成立,即a+b与a-b不共线;同理,对于,a+b与a+2b也不共线;对于 故 与 共线.由基向量的定义知,都可以作为基底,不可以. 答案:,(2)由题意知,A是BC的中点,且 由平行四边形法则,得 所以 由题意知, 故设 因为 所以,因为a与b不共线,由平面向量基本定理, 得 解得 故,【互动探究】本例(1)中,若将条件a与b不共线省去,则情况如何? 【解析】若a与b共线,不妨令a0,b=0,则所给4组向量都共线,故4组向量都不能作为基底.,【规律方法】 1.构成平面一组基底的条件 (1)一组基底有两个向量. (2)这两个向量不共线(其中没有零向量). 2.应用平面向量基本定理的注意事项 (1)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.,(2)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. (3)强化共线向量定理的应用 提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.,【变式训练】如图所示,在ABC中,点M是AB的中点,且 BN与CM相交于点E,设 试用基底a,b表示向量,【解析】易得 由N,E,B三点共线知,存在实数m,满足 由C,E,M三点共线知存在实数n, 满足 所以 由于a,b为基底, 所以 解得 所以,【加固训练】 1.下列各组向量:e1=(-1,2),e2=(5,7); e1=(3,5),e2=(6,10); e1=(2,-3),e2= 能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是( ) A. B. C. D.,2.如图,在ABC中, DEBC交AC于E,BC边上的中线AM 交DE于N.设 用a,b表示向量,【解析】1.选A.中的两向量不共线;中e1= e2,故两向量共 线;中e2= e1,故两向量共线.综上,只有中的两向量可作为 平面的一组基底. 2.因为 DEBC, 所以 由ADEABC,得 又AM是ABC的中线,DEBC, 所以 又,因为ADNABM, 所以,考点2 平面向量的坐标运算 【典例2】(1)(2014杭州模拟)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线, =(2,4), =(1,3),则 =( ) A.(2,4) B.(1,1) C.(-1,-1) D.(-2,-4) (2)(2013北京高考)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则 = .,【解题视点】(1)先将 用 表示,再利用向量坐标运 算法则求解. (2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标 运算及平面向量基本定理列方程组求解.,【规范解答】(1)选C.因为四边形ABCD为平行四边形,所以 因此 =(1,3)-(2,4)=(-1,-1). (2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正方向,正 方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系,则a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=a+b得(-1,-3)=(-1,1)+ (6,2),即 解得=-2,=- ,所以 =4. 答案:4,【互动探究】在本例(2)中,试用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系,则 a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3), 设b=xa+yc, 则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,【规律方法】平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.,【变式训练】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 求点C,D的坐标和 的坐标. 【解析】设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 得 =(x1+1,y1-2), =(3,6), =(-1-x2,2-y2), =(-3,-6). 因为 所以有 和 解得 和 所以点C,D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而 =(-2,-4).,【加固训练】 1.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=( ) A.(6,3) B.(7,3) C.(2,1) D.(7,2) 【解析】选B.a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).,2.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: 直线OC与直线BA平行; 其中正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,【解析】选C.由题意得 =(-2,1), =(2,-1),故 又 无公共点,故OCBA,正确; 因为 故错误; 因为 =(0,2)= 故正确; 因为 =(-4,0), =(-4,0),故正确.所以选C.,3.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 则向量 = . 【解析】因为A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), 所以 =(1,8), =(6,3). 所以 =3(1,8)=(3,24), 2(6,3)=(12,6). 所以 (12,6)-(3,24)=(9,-18). 答案:(9,-18),考点3 平面向量共线的坐标表示及运算 【考情】平面向量共线的坐标表示以其承前启后的连接形式成为高考命题的亮点.作为一种重要的坐标运算,常以选择题、填空题的形式出现,作为载体有时也在解答题的某一步中出现,考查解方程、函数式化简等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013陕西高考)已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于( ) A. B. C. D.0 (2)(2014金华模拟)已知向量 =(1,3), =(3,-1),且 则点P的坐标为( ) A.(2,-4) B. C. D.(-2,4),【解题视点】(1)根据平面向量共线的坐标表示直接列方程 求解. (2)设点P的坐标为(x,y),由 可得(x-1,y-3)=2(3-x, -1-y),解出x,y的值,即可得到点P的坐标.,【规范解答】(1)选C.因为a=(1,m),b=(m,2),ab,所以12-m2=0,即m2=2,故 (2)选C.设点P的坐标为(x,y), 由 可得(x-1,y-3)=2(3-x,-1-y), 故有x-1=6-2x,且y-3=-2-2y, 解得 故点P的坐标为,【通关锦囊】,【通关题组】 1.(2014舟山模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且ab,则2a+3b等于( ) A.(-5,-10) B.(-4,-8) C.(-3,-6) D.(-2,-4) 【解析】选B.因为ab,a=(1,2),b=(-2,m), 所以m-2(-2)=0,得m=-4, 所以2a+3b=(2,4)+(-6,-12)=(-4,-8).,2.(2011广东高考)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若为实数,(a+b)c,则=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.因为a+b=(1,2)+(1,0)=(1+,2),c=(3,4),又(a+b)c,所以4(1+)-23=0.解得= .,3.(2014枣庄模拟)已知平面向量a=(1,x),b= 若a与b共线,则y=f(x)的最小值是( ) A. B.-4 C. D.-3 【解析】选C.因为a与b共线, 所以 即y= x2-3x+1= (x-3)2- , 所以当x=3时,ymin=,【加固训练】 1.(2013郑州模拟)已知向量 =(k,12), =(4,5), = (-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是( ) 【解析】选A. (4-k,-7), =(-2k,-2). 因为A,B,C三点共线, 所以 共线, 所以-2(4-k)=-7(-2k),解得,2.(2014济宁模拟)已知向量a=(1-sin,1),b=( ,1+sin ), 若ab,则锐角等于( ) A.30 B.45 C.60 D.75 【解析】选B.由ab得, (1-sin)(1+sin)-1 =0,解得sin= 又为锐角,所以=45.,3.(2011北京高考)已知向量a=( ,1),b=(0,-1),c=(k, ).若a-2b与c共线,则k= . 【解析】因为a=( ,1),b=(0,-1), 所以a-2b=( ,1)-2(0,-1)=( ,3), 又c=(k, ),所以 -3k=0,解得k=1. 答案:1,【易错误区11】平面向量基本定理应用的易错点 【典例】(2013广东高考)设a是已知的平面向量且a0,关于向量a的分解,有如下四个命题: 给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; 给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+c; 给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c;,给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c. 上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选B.对于 因为a与b给定，所以a-b一定存在，可表示为c，即c=a-b， 故a=b+c成立，正确； 对于，因为b与c不共线， 由平面向量基本定理可知正确； 对于,以a的终点为圆心，以为半径作圆， 这个圆必须和向量b有交点， 这个不一定满足，故错误；,对于由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边)， 即必有|b|+|c|=+|a|，而给定的和不一定满足此条件， 所以是假命题.,【误区警示】 1.处想不到用a-b表示c,而直接根据平面向量基本定理判断该结论错误. 2.处忽略平面向量基本定理成立的条件,而直观认为正确.,【规避策略】 1.明确给定和存在的关系,另外,注意向量加法三角形法则的应用. 2.明确平面向量基本定理成立的条件,即(1)给定的向量a与b不共线.(2)对平面内任一向量c存在唯一确定的有序实数对(,)使c=a+b,其中,的正负及是否为0不确定.,【类题试解】在平面直角坐标系中,若O为坐标原点,则A,B,C三 点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数,使得 成立,此时称实数为“向量 关于 和 的终点共线分解系数”.若已知P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三 点共线且向量 与向量a=(1,1)垂直,则“ 向量关于 和 的终点共线分解系数”为( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1,【解析】选D.由 与向量a=(1,1)垂直,可设 =(t,-t)(t0), 由 得 (t,-t)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2), 所以 两式相加得2+2=0,所以=-1.,
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