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第七节 正弦定理和余弦定理,【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理,b2+c2-2bccosA,c2+a2-2cacosB,a2+b2-2abcosC,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况,一解,两解,一解,一解,无解,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： 三角形中三边之比等于相应的三个内角之比； 在ABC中，若sin Asin B，则AB； 在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素； 正弦定理对钝角三角形不成立； 在ABC中， 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C. 错误. 由正弦定理知abc sin Asin Bsin C. 正确.由正弦定理知sin A= ，sin B= ，由sin Asin B 得ab，即AB. 错误.当已知三个角时不能求三边. 错误.正弦定理对任意三角形都成立. 正确. 由正弦定理结合比例的性质可证明.,2.已知ABC的三个内角之比为ABC=321，那么对应的 三边之比abc=( ) A.321 B. 21 C. 1 D.2 1 【解析】选D.由ABC=321及A+B+C=180，可解得 A=90，B=60，C=30，所以abc=sin Asin B sin C=1 ,即abc=2 1.,3.在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于( ) 【解析】选D.因为 所以 所以sin B 又因为ab，A60， 所以B60， 所以cos B,4.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a 2bcos C，则此三角形一定是( ) A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形 【解析】选C.因为a2bcos C，所以由余弦定理得：a 整理得b2c2，则此三角形为等腰三角形,5.(2014金华模拟) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若sin A= sin C，B=30，b=2，则边c= . 【解析】依题意得，sin A sin C，即a c，根据余弦 定理可得b2a2c22accos B，即43c2c22 c2 ， 解得c2. 答案：2,6.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若b2+c2-a2-bc =0,则A=_. 【解析】由b2+c2-a2bc =0得 b2+c2-a2=bc,所以cos A= 所以A=60. 答案：60,考点1 正弦定理的简单应用 【典例1】(1)在ABC中，A=60, a= ,b=2,那么满足条件 的ABC( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定 (2)(2014丽水模拟)如图，在ABC中，AB= AC=2，BC=2 ，点D在BC边上，ADC=75， 则AD的长为_.,(3)在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若 A=2B，则cos B=_. 【解题视点】(1)通过具体计算的方法或数形结合的方法求解. (2)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B，再利用正弦定理求解. (3)由两边之比联想用正弦定理，化为两角的正弦值之比，再利用二倍角公式化简.,【规范解答】(1)选A.方法一：因为 又A=60，且ab，所以B60，故B45，所以有一个解. 方法二：结合草图，因为A60,a= ,b=2所以ab,故三角 形有一个解.,(2)过点A作AEBC，垂足为E，则在 RtABE中， 故B=30. 在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105. 由正弦定理得 答案：,(3)由正弦定理得 又A=2B， 所以 所以cos B= . 答案：,【互动探究】把本例(3)条件改为“在锐角ABC中，a,b,c分 别是三个内角A,B,C的对边，A=2B”,试求 的取值范围.,【解析】由正弦定理得 因为ABC是锐角三角形， 所以 所以 即 所以 所以 即 的取值范围是,【易错警示】注意角的范围的确定 本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时，要注意应保证三个内角都是锐角，否则易出现范围过大的情况.,【规律方法】 1.正弦定理的应用技巧 (1)求边：利用公式 或其他相应变形公式求解. (2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式 或其他相应变形公式求解. (3)相同的元素归到等号的一边：即 可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,2.判断解的个数的两种方法 (1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数. 提醒：利用正弦定理解三角形时，要注意解的个数的判断.,【变式训练】已知在ABC中,a=x,b=2,B=45,若三角形有两解,则x的取值范围是( ) A.x2 B.x2且xsin452, 所以2x2 .,【加固训练】 1.在ABC中，a=10，B=60,C=45,则c等于( ) A.10+ B.10( -1) C. +1 D.10 【解析】选B.A=180-(BC)=180-(60+45)=75. 由正弦定理，得,2.在ABC中，若B=2A，ab1 , 则A=_. 【解析】因为ab1 ，所以sin Asin B1 ， 即sin Asin 2A1 ，所以cos A ，故A=30. 答案：30,考点2 余弦定理的应用 【典例2】(1)(2013青岛模拟) 已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( ) A.8a10 B.2 a C.2 a10 D. a8 (2)(2013安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( ),【解题视点】(1)根据锐角三角形三边关系,并结合余弦定理求解. (2)将条件统一为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余弦定理求解.,【规范解答】(1)选B.若a是最大边，则 所以3a ； 若3是最大边，则 所以2 a3； 当a=3时符合题意，综上2 a ，故选B.,(2)选B.由题设条件可得 由余弦定理，得 所以,【规律方法】 1.利用余弦定理解三角形的步骤,2.利用余弦定理解三角形的注意事项 (1)余弦定理的每个等式中包含四个不同的量,它们分别是三角形的三边和一个角,要充分利用方程思想“知三求一”. (2)已知三边及一角求另两角的两种方法：利用余弦定理的推论求解，虽然运算较复杂，但较直接；利用正弦定理求解，虽然比较方便，但需注意角的范围，这时可结合“大边对大角，大角对大边”的法则或图形帮助判断.,【变式训练】(2014温州模拟)在ABC中，a=2,b=2 ,C=45， 则A=_. 【解析】由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=4+(2 )2-22 2 cos 45=4,故c=2,因此a=c，故A=C=45. 答案：45,【加固训练】 1.在ABC中，若a=c=2,B=120,则边b=( ) 【解析】选B.由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=4+4-222(- )=12， 所以b=2 .,2.在ABC中，C=60，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则 = . 【解析】因为C=60,所以a2+b2-c2=ab， 所以a2+b2=ab+c2， 等式两边都加上ac+bc，整理得 (a2+ac)+(b2+bc)=(b+c)(a+c)， 所以 答案：1,考点3 正、余弦定理的综合应用 【考情】正、余弦定理的应用很广泛，也比较灵活.在高考中三种题型都有可能出现，主要考查边角的计算、三角形形状的判断等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2013陕西高考)设ABC的内角A, B, C所对的 边分别为a, b, c, 若bcos C+ccos B=asin A, 则ABC的形状 为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 (2)(2013山东高考)ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c， 若B=2A，a=1，b= ，则c=( ) A. 2 B.2 C. D.1,【解题视点】(1)利用正弦定理将边的关系化为角的关系来判断三角形的形状. (2)根据角的关系结合正弦定理求出角A，然后求出角B，C后再求解.,【规范解答】(1)选A.因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦 定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A, sin A=sin2A,sin A=1,即A= ，所以三角形ABC是直角三角形. (2)选B.由B=2A,则sin B=sin 2A，由正弦定理知 即 所以cos A= ，所以 所以C=BA= ，所以c2=a2+b2=1+3=4， 故c=2.,【通关锦囊】,【特别提醒】在判断三角形的形状时,注意等式两边的公因式不要约掉,要移项提取公因式,否则会有漏掉一种情况的可能.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2012湖北高考)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,3b=20acosA,则sinAsinBsinC为( ) A.432 B.567 C.543 D.654,【解析】选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,所以3b=20acosA= 整理得：7b2-27b-40=0，解得b=5或b=- (舍去), 可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.,2.(2014衢州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别 为a,b,c，若acos B+bcos A=csin C,b2+c2-a2= bc，则 角B= . 【解析】由b2+c2-a2= bc，得 所以A=30.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A= sin Csin C，即sin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得 sin C=1(sin C=0舍去)，所以C=90，所以B=60. 答案：60,3.(2014金华模拟)在ABC中，sin2Asin2B+sin2C- sin Bsin C，则A的取值范围是_. 【解析】因为sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C， 所以由正弦定理得a2b2+c2-bc，即b2+c2-a2bc, 故cos A= 又A(0，)，故0A . 答案：0A,【加固训练】 1.(2014嘉兴模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a,b,c,满足 (1)求角C. (2)求 的取值范围.,【解析】(1) 化简得a2+b2-c2=ab， 所以,2.(2014长沙模拟)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，求证： 【证明】方法一：由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B， 所以a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B. 整理，得 由正弦定理，得 即,方法二：右边 故,【规范解答4】正、余弦定理在三角形中的应用 【典例】(14分)(2013江西高考)在ABC中,角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0. (1)求角B的大小. (2)若a+c=1,求b的取值范围.,【审题】分析信息,形成思路,【解题】规范步骤,水到渠成 (1)在ABC中，因为ABC， 所以-cos(A+B)+cos Acos B- sin Acos B=0，3分 即sin Asin B- sin Acos B=0, 因为sin A0，所以sin B- cos B=0, 5分 cos B0，所以tan B= , 又0B， 所以B . 7分,(2)由余弦定理，有b2=a2+c2-2accos B， 因为a+c=1,cos B= ，所以c=1-a，代入上式整理得 11分 又因为c=1-a，由0c1得0a1, 所以 b21，即 b1. 综上，b的取值范围是 ，1). 14分,【点题】失分警示,规避误区,【变题】变式训练，能力迁移 (2014杭州模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别 为a,b,c，asin Asin B+bcos2A= a (1)求 .(2)若c2=b2+ ，求B,【解析】(1)由正弦定理得，sin2Asin B+sin Bcos2A= sin A， 即sin B(sin2A+cos2A)= sin A 故sin B= sin A，所以 (2)由余弦定理和c2=b2+ a2，得 由(1)知b2=2a2，故c2=(2+ )a2 可得cos2B= .又cos B0，故cos B= ，所以B=45,
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