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第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,【知识梳理】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(-):cos(-)=_. (2)C(+):cos(+)=_. (3)S(+):sin(+)=_. (4)S(-):sin(-)=_.,coscos+sinsin,coscos-sinsin,sincos+cossin,sincos-cossin,(5)T(+):tan(+)=_(,+ +k, kZ). (6)T(-):tan(-)= _(,- + k,kZ).,2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2:sin2=_. (2)C2:cos2=_=_=_. (3)T2：tan 2= _( +k,kZ).,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1-2sin2,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题： 两角和与差的正弦、余弦公式中的角,是任意的; 存在实数,使等式sin(+)=sin +sin 成立; 在锐角ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定; 公式tan(+)= 可以变形为tan +tan =tan(+)(1-tan tan ),且对任意角,都成立; 存在实数，使tan 2=2tan . 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选B.正确.对于任意的实数, ,两角和与差的正 弦、余弦公式都成立. 正确.如取=0，因为sin 0=0, 所以sin(+0)=sin =sin +sin 0. 错误.因为 A+B, 所以cos(A+B)0,即cos Acos B-sin Asin B0. 所以sin Asin Bcos Acos B. 错误.变形可以，但不是对任意角,都成立. ,+k+ ,kZ. 正确.当=k(kZ)时，tan 2=2tan .,2.计算sin 68sin 67-sin 23cos 68的结果等于( ) 【解析】选B.原式=sin 68cos 23-cos 68sin 23 =sin(68-23)=sin 45=,3.下列各式中，值为 的是( ) A2sin 15cos 15 B.cos215sin215 C2sin215-1 D.sin215cos215 【解析】选A.2sin 15cos 15sin 30 cos215-sin215cos 30 2sin215-1-cos 30 sin215+cos215=1.,4.(2014宁波模拟)已知锐角满足cos 2=cos( -)，则 sin 2等于( ) 【解析】选A.由cos 2=cos( -), 得(cos -sin )(cos +sin )= (cos +sin ), 由为锐角知cos +sin 0. 所以cos -sin = ，平方得1-sin 2= 所以sin 2=,5.计算： =_. 【解析】 = = 答案：,6.已知tan(+)=3，tan(-)=5，则tan 2=_. 【解析】因为2=(+)+(-)， 所以tan 2=tan(+)+(-) = = 答案：,考点1 三角函数公式的逆用与变形应用 【典例1】(1)计算： =_. (2)计算：tan 20+tan 40+ tan 20tan 40_. (3) 的化简结果是_,【解题视点】(1)观察式子的特点，利用特殊角的三角函数值，逆用和差角的正切公式求解. (2)所求式子中有两个正切的和与积，故可逆用和角的正切公式求解. (3)逆用二倍角公式将根号内配方化简.,【规范解答】(1) =tan 45=1. 答案：1 (2)因为tan 60tan(20+40) 所以tan 20+tan 40tan 60(1-tan 20tan 40) 答案：,(3)原式 2|cos 4|2|sin 4cos 4|， 因为 所以cos 40，且sin 4cos 4, 所以原式-2cos 4-2(sin 4cos 4)-2sin 4. 答案：-2sin 4,【易错警示】注意角的范围 本例第(3)题容易忽略讨论cos 4的符号及sin 4与cos 4的大小而直接求解导致错误，在涉及开方时，一定要讨论被开方数的符号.,【规律方法】三种常见公式变形 (1)正切和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1 tan xtan y). (2)倍角公式变形：降幂公式 (3)升幂变形：,特殊角的三角函数的逆用 当式子中出现 这些特殊角的三角函数值时，往 往就是“由值变角”的一种提示.可以根据问题的需要，将常 用三角函数式表示出来， 构成适合公式的形式，从而达到化 简的目的.,【变式训练】化简： =_. 【解析】 答案：,【加固训练】 1.化简 的结果是( ) A.-cos 1 B.cos 1 C. cos 1 D.- cos 1 【解析】选C.原式=,2.(2014西宁模拟)计算： =_. 【解析】 =tan(45-15)=tan 30= 答案：,考点2 给角求值 【典例2】(1)(2013重庆高考)计算：4cos 50tan 40 =( ) (2)(2014杭州模拟)计算： _,【解题视点】(1)先切化弦,然后通分化简求解即可. (2)综合运用二倍角公式，两角和与差的正余弦公式求解.,【规范解答】(1)选C. 4cos 50tan 40=4cos 50-,(2)原式= 答案：,【规律方法】给角求值应注意的三个问题 (1)变角：分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分. (2)变名：尽可能使得函数统一名称. (3)变式：观察结构，利用公式，整体化简. 提醒：“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.,【变式训练】(2014舟山模拟)求值： =_. 【解析】原式= 答案：,【加固训练】 1.(2014伊宁模拟)计算： =_. 【解析】 答案：2,2.(2014宜昌模拟)计算： _. 【解析】因为sin 50(1+ tan 10) = = 所以 答案：,考点3 有限制条件的求值、证明问题 【考情】有限制条件的求值问题是高考的热点.在高考中以选择题、填空题或解答题的形式出现，考查诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式的灵活应用等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014嘉兴模拟)已知sin( -x)= ,0x ，则 =_. (2)(2013广东高考)已知函数f(x)= xR 求 的值. 若,【解题视点】(1)先求出 -x的范围，再求出cos( -x)的值， 最后根据2x, +x与已知角 -x的联系求解. (2)根据两角和与差的余弦公式展开，转化为特殊角和已知角 求解,【规范解答】(1)因为x(0, ),所以 -x(0, ). 又因为 所以 又 = 所以原式= 答案：,【通关锦囊】,【特别提醒】解答有限制条件的求值问题时,要善于发现所求的三角函数的角与已知条件角的联系,一般方法是拼角与拆角.,【关注题型】,【通关题组】 1.(2013江西高考)若 ，则cos =( ) 【解析】选C.cos =,2.(2014金华模拟)设，为钝角，且sin = ， cos =- ，则+的值为( ),【解析】选C.因为，为钝角，所以cos = = sin = 故cos(+)= cos cos -sin sin = 又+2，因此+=,3.(2013四川高考)设 ，则tan 2的 值是_ 【解析】根据题意sin 2=-sin ，可得2sin cos = -sin ，可得cos = ，tan = 所以 答案：,4.(2014杭州模拟)已知 cos(-)= ， sin(+)=- ，则sin +cos 的值为_.,【解析】因为 所以 sin(-)= cos(+)= 故sin 2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-) +cos(+)sin(-)=,因此(sin +cos )2=1+2sin cos =1+sin 2= 又sin +cos 0，所以sin +cos = 答案：,【加固训练】 1.(2014石家庄模拟)已知向量a=(4,5cos )，b=(3， -4tan ).若ab，且(0, )，则cos(2- )=_. 【解析】因为ab， 所以ab=0， 即12-20cos tan =0， 所以12-20sin =0，即 因为(0， )，所以,所以sin 2=2sin cos = cos 2=1-2sin2= 所以cos(2- )=cos 2cos +sin 2sin 答案：,2.(2013兰州模拟)已知sin和cos是关于x的方程 x2-2xsin+sin2=0的两个根. 求证:2cos2=cos2. 【证明】因为sin,cos是方程x2-2xsin+sin2=0的两根, 所以sin+cos=2sin,sincos=sin2. 因为(sin+cos)2=1+2sincos, 所以(2sin)2=1+2sin2,即4sin2=1+2sin2, 所以2(1-cos2)=1+1-cos2, 所以2cos2=cos2.,【易错误区9】给值求角问题的易错点 【典例】(2014无锡模拟)已知，为三角形的两个内角， cos ，sin() ，则=_.,【解析】因为0，cos ， 所以sin 故 又因为0，sin(+) 所以0+ ，或 +， 由 ，,所以cos(+) 所以cos cos() cos(+)cos +sin()sin 又因为0，所以 . 答案：,【误区警示】 1.处不能缩小角+的范围,导致求cos(+)时不能正确判断符号,产生两解. 2.所求函数值不是cos,而是sin,导致在(0,)中角有两解的错误.,【规避策略】 1.在利用平方关系求sin,cos时开方需要判断符号,若所给范围过大,此时应注意缩小角的范围,方法是把所给角的函数值和特殊角的函数值比较,再结合单调性判断.,2.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下 原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值, 选正弦或余弦函数;若角的范围是 选正、余弦皆可;若角 的范围是(0,),选余弦较好;若角的范围为 选正弦较好.,【类题试解】已知0 , (1)求sin 的值. (2)求的值.,【解析】(1)因为 所以,(2)因为0 ,sin = ,所以cos = 又0 ,所以0-. 由cos(-)= ,得0- . 所以sin(-)= 所以sin =sin(-)+=sin(-)cos +cos(- )sin 由 得= .（或求cos = ,得= ）,
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