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第四节 函数y=Asin(x+)的图象及三角函数 模型的简单应用,【知识梳理】 1.y=Asin(x+)的有关概念,x+,2.用“五点法”作函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的一般步骤 (1)定点:如表.,0,A,0,(2)作图:在坐标系中描出这五个关键点,用光滑的曲线顺次连接这些点,就得到y=Asin(x+)在一个周期内的图象. (3)扩展:将所得图象,按周期向两侧扩展可得y=Asin(x+)在R上的图象.,3.由函数y=sinx的图象变换得到y=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤,缩短,伸长,A,；,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 作函数y=sin(x- )在一个周期内的图象时,确定的五点是 (0，0)，( ，1)，(，0)，( ,-1),(2,0)这五个点； 利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移” 中平移的长度一致; 将y=3sin2x的图象左移 个单位后所得图象的解析式是,y=sin(x- )的图象是由y=sin(x+ )的图象向右移 个单位 得到的； 由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内的图象中 的最高点的值与最低点的值确定的. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选D.错误.五点应为 错误.“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先 伸缩，后平移”的平移单位长度为 .故当1时平移的长度 不相等. 错误.左移 个单位后解析式应为 正确.将y=sin(x+ )的图象右移 个单位后得y=sin(x- )+ =sin(x- ). 正确.振幅A的值是由最大值M与最小值m确定的，其中,2.已知简谐运动f(x)2sin( )(| )的图象经过点 (0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为( ) 【解析】选A.最小正周期为 ；由2sin 1， 得,3.将函数ysin x的图象向左平移(02)个单位后， 得到函数ysin(x- )的图象，则等于( ) 【解析】选B.将函数ysin x的图象向左平移个单位后， 得到ysin(x+)的图象，所以2k- (kZ)， 又02，所以,4.函数ysin(2x- )在区间 ,上的简图是( ),【解析】选A.令x0得 排除B，D.由 f( )0，排除C.,5.(2014台州模拟)将函数ysin x的图象上所有的点向右平 行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) 【解析】选C.将ysin x的图象向右平移 个单位得到y sin(x- )的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍得到ysin( )的图象,6.函数yAsin(x)(A，为常数，A0，0)在闭区间-，0上的图象如图所示，则_. 【解析】观察函数图象可得周期 所以3. 答案：3,考点1 函数yAsin(x)的图象及变换 【典例1】(1)(2013新课标全国卷)函数y=cos(2x+) (-)的图象向右平移 个单位后，与函数 y=sin(2x+ )的图象重合，则=_. (2)已知函数 用五点法作出函数的图象； 说明此图象是由ysin x的图象经过怎么样的变化得到的.,【解题视点】(1)平移可逆序考虑，即由y=sin(2x+ )的图象 向左平移 个单位得y=cos(2x+)的图象，借助于诱导公式可 求解. (2)将 看成一个整体，列表得出五个关键点.图象变换时 先平移后伸缩.,【规范解答】(1)函数y=cos(2x+)的图象向右平移 个单位， 得到y=sin(2x+ )的图象，即y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位得到函数y=cos(2x+)的图象. y=sin(2x+ )的图象向左平移 个单位， 得到 因为-,所以 答案：,(2)列表：,描点、连线，如图所示：,先把ysin x的图象上所有点向右平移 个单位，得到y sin(x- )的图象；再把ysin(x- )的图象上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到ysin( )的图 象，最后将ysin( )的图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的3倍(横坐标不变)，就得到y3sin( )的图象.,【互动探究】在本例(2)中，条件不变，作出函数在0,4上的图象. 【解析】因为0x4，作出函数在0,4上的图象, 所以 列表如下：,描点，作出函数图象如图,【规律方法】 1.在指定区间a,b上画函数y=Asin(x+)的图象的方法 (1)选取关键点:先求出x+的范围,然后在这个范围内选取特殊点,连同区间的两端点一起列表. (2)确定凹凸趋势:令x+=0得x=x0,则点(x0,y0)两侧的变化趋势与y=sinx中(0,0)两侧的变化趋势相同,可据此找准对应点,以此把握凹凸趋势.,2.两种不同变换思路中平移单位的区别 由y=sinx的图象变换到y=Asin(x+)的图象,两种变换的区 别:先平移再伸缩,平移的量是|个单位;而先伸缩再平移, 平移的量是 (0)个单位. 提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值, 而不是依赖于x加减多少值.,【变式训练】(2014宁波模拟)要得到函数y=sin(2x- )的 图象，只需将函数y=cos 2x的图象( ) A.向左平移 个单位 B.向左平移 个单位 C.向右平移 个单位 D.向右平移 个单位 【解析】选C.因为y=cos 2x=sin(2x+ )，y=sin(2x- ) =sin(2x+ ）- =sin2(x- )+ ，所以要得到函数 y=sin(2x- )的图象，需将函数y=cos 2x的图象向右平移 个单位.,【加固训练】1.将函数ysin(2x)(0)的图象向 左平移 个单位后，所得的函数恰好是偶函数，则的值是 _ 【解析】函数ysin(2x+)的图象向左平移 个单位后，得 ysin(2x+ +)，则 +=k+ ,kZ.又0，故 答案：,2.(2014无锡模拟)f(x)sin(2x)(-0)，yf(x) 图象的一条对称轴是直线x . (1)求. (2)画出函数yf(x)在区间0，上的图象,【解析】(1)因为x 是函数yf(x)的图象的对称轴， 所以sin(2 +)1， 所以 因为-0，所以,(2)由y 知,故函数yf(x)在区间0，上的图象如图所示,考点2 由图象求解析式 【典例2】(1)(2013四川高考)函数f(x)=2sin(x+) 的部分图象如图所示，则,的值分别 是( ),(2)(2014舟山模拟)如图所示是函数y=f(x)Asin(x) B(A0,0,|(0, )图象的一部分，则f(x)的解析 式为_.,【解题视点】(1)根据周期求,根据最高点求. (2)根据最值求A,B，根据两个特殊点求,.,【规范解答】(1)选A.根据图示可知 所以函数的周期为，可得=2，根据图象过 代入解 析式，结合 故选A.,(2)由于最大值和最小值分别等于3，-1， 故 解得A2，B1. 把(0,2)代入y=f(x)，得22sin +1，取 由图可知01，令(-)+ +2k，kZ， 得,所以函数的解析式是 答案：,【易错警示】关注或的取值范围 本例第(1)题在求解时容易忽略的取值范围而导致错解，在求函数解析式时，要注意或的取值范围，否则容易造成错解.,【规律方法】确定yAsin(x)B(A0，0)的解析 式的步骤 (1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则 (2)求，确定函数的周期T，则,(3)求，常用方法有： 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升 区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作 为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点) 为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第 四点”(即图象的“谷点”)为x “第五点”为x 2.,【变式训练】若函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析 式以及Sf(1)f(2)+f(2 014)的值分别为( ) Af(x) sin +1，S2 014 Bf(x) cos 1，S2 014 Cf(x) sin 1，S2 014.5 Df(x) cos 1，S2 014.5,【解析】选C.根据已知图象，可设f(x)Asin x+1(0， A0)， 由T4得 所以 所以f(x) 又f(1)f(2)f(3)f(4)1.510.514， 所以Sf(1)f(2)f(2 014)503f(1)f(2) f(3)f(4)+f(1)+f(2) 5034+ f(1)f(2)2 014.5.,【加固训练】 1.(2013郑州模拟) 如图是函数yAsin(x)(A0, 0,xR)在区间 上的图象，为了得到这个函数的图 象，只要将ysin x(xR)的图象上所有的点( ) A.向左平移 个单位长度，再把所得各点 的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变 B向左平移 个单位长度，再把所得各点 的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,C向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原 来的 倍，纵坐标不变 D向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原 来的2倍，纵坐标不变,【解析】选A.由图象知 所以 所以f(x)sin(2x)， 又图象过点 由五点法知 +，所以 所以 故将函数ysin x的图象先向左平移 个单位后，再把所得图 象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变)，可得函数y sin(2x+ )的图象,2.已知函数f(x)Acos(x)的图象如图所示， 则f(0)_. 【解析】由图象可得最小正周期为 所以f(0)=f( )，注意到 与 关于 对称， 故 答案：,考点3 三角函数图象性质的应用 【考情】三角函数的图象及性质是高考的热点.在高考中以选择题、填空题或解答题的某一问的形式出现，考查函数的最值、方程根的个数、不等式、由式选图及三角函数的实际应用等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014芜湖模拟) 在同一 平面直角坐标系中，画出三个函数 f(x)= sin(2x+ )，g(x)=sin(2x+ )， h(x)=cos(x- )的部分图象(如图)，则( ) A.a为f(x)，b为g(x)，c为h(x) B.a为h(x)，b为f(x)，c为g(x) C.a为g(x)，b为f(x)，c为h(x) D.a为h(x)，b为g(x)，c为f(x),(2)(2014金华模拟)函数f(x)= 的零点的个数 是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解题视点】(1)从振幅，最小正周期的特征检验排除 (2)在同一个坐标系中，作出函数 和 的图 象，观察后得交点个数.,【规范解答】(1)选B.b的振幅最大，故b为f(x)；a的最小正周 期最大，故a为h(x)；从而c为g(x)，故选B. (2)选D.函数 的周期 由 ,可得x= .由 ,可得 x=8.在同一平面直角坐标系中，作出函数 和 的图象(如图所示)，易知有5个交点， 故函数f(x)有5个零点.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2012浙江高考)把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是( ),【解析】选A.y=cos2x+1通过伸缩、平移变换后得到y=cos(x+1),对应图象为A项.,2.(2011辽宁高考)已知函数f(x)=Atan(x+)(0， | )，y=f(x)的部分图象如图，则f( )=( ),【解析】选B.由题中的图象可知： 所以=2，所以 又| ，所以 又f(0)=1，所以Atan =1，得A=1， 所以 所以,3.(2014宁波模拟)函数y=x2cos x的部分图象可以为( ) 【解析】选C.y=x2cos x为偶函数，图象关于y轴对称，所以排 除A，B.当y=x2cos x=0时，得x=0或x= +k,kZ，即函数过 原点，排除D，选C.,4.(2014温州模拟)已知方程 在0x 上有两解，则k的取值范围为_. 【解析】方程 可化为 在同一 坐标系内作函数 与y2=k的图象,对于y1= ，令x=0，得y1=1.所以当k1， )时，观察知两曲线在0，上有两交点，即方程有两解. 答案：1， ),【加固训练】 1.(2014石家庄模拟)甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，直到乙绕池一周为止，若用表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l表示甲、乙两人的直线距离，则l=f()的大致图象是( ),【解析】选B.由题意知，=时，两人相遇，排除A，C；两人的直线距离不可能为负，排除D.,2.下表所示是某地从1983年到2013年的月平均气温(华氏),以月份减1为x，平均气温为y，以下四个函数模型中哪一个最适 合这些数据( ) 【解析】选C.最高气温73.0，最低气温21.4，故2A=73.0-21.4 =51.6，A=25.8.x=2时，分别代入A,B,C,D，与y=36.0相比较， 只有C最接近,所以选C.,3.(2014安庆模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的 关系可近似地用函数ya+Acos (x-6)(x1,2,3，12) 来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ，12月份的月平 均气温最低为18 ，则10月份的平均气温为_.,【解析】因为当x=6时，y=a+A=28； 当x=12时，y=a-A=18， 所以a=23，A=5， 所以y=f(x)=23+5cos (x-6)， 所以当x=10时，f(10)=23+5cos( 4) =23-5 =20.5. 答案：20.5,【易错误区8】三角函数平移变换问题的易错点 【典例】(2014绍兴模拟)把函数y=sin(3x- )的图象向左平 移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来 的2倍(纵坐标不变),则所得函数的解析式为( ),【解析】选D.把函数y=sin(3x- )的图象向左平移 个单位长 度，可得 的图象， 即函数解析式为y=sin(3x+ )， 再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)， 可得 的图象.,【误区警示】 1.处若不能正确理解平移的实质，会出现 得到 的错误. 2.处对伸缩变换理解不到位，对横坐标扩大或缩小为原来的 倍数把握不准，会出现y= 的错误.,【规避策略】 1.图象的左右平移是针对x而言的. 2.图象的周期变换，在变换中纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，则x的系数相应变为原来的,【类题试解】(2014西安模拟)把函数 的图象向 右平移 个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为原 来的 ，所得的函数解析式为( ),【解析】选D.将原函数的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象；再把所得函数图象上 各点的横坐标缩短为原来的 ，得到函数 的 图象.,
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