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第三节 三角函数的图象与性质,【知识梳理】 1.周期函数和最小正周期,非零常数,f(x+T)=f(x),2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质,R,R,-1，1,-1，1,R,x|xR且x + k，kZ,(kZ),(kZ),2k-，,2k(kZ),2k，2k+,(kZ),(kZ),2k(kZ),+2k(kZ),(k，0)，,kZ,x=k，kZ,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: y=sinx在第一、第四象限是增函数; 所有的周期函数都有最小正周期; 正切函数y=tanx在定义域内是增函数; y=ksinx+1,xR,则y的最大值为k+1; y=sin|x|是偶函数. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误.由y=sinx的递增区间是 (kZ)可知不正确, 错误.不是所有的周期函数都有最小正周期,如函数f(x)=C (C为常数)的周期为任意非零实数,但没有最小正周期. 错误.正切函数y=tanx在每一个区间 (kZ)上 都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数. 错误.当k0时y的最大值为k+1;而当k0时,y的最大值为-k+1. 正确.由sin|-x|=sin|x|可知正确.,2.函数y=tan( -x)的定义域是( ) A.x|x ,xR B.x|x- ,xR C.x|xk- ,kZ,xR D.x|xk+ ,kZ,xR 【解析】选D.因为x- k+ ，kZ, 所以xk+ ，kZ.,3.函数y=tan(2x+)的最小正周期是( ) A.2 B. C. D. 【解析】选C.根据正切函数的周期公式可知最小正周期为 T= ，选C.,4.函数y=4sinx,x-,的单调性是( ) A.在-,0上是增函数,在0,上是减函数 B.在 上是增函数，在 和 上都是减函数 C.在0，上是增函数，在-，0上是减函数 D在 和 上是增函数，在 上是减函数 【解析】选B.函数y=4sinx,x-,在 上是增函数, 在 和 上是减函数.,5.(2014嘉兴模拟)已知函数f(x)sin(x+ )(0)的最 小正周期为，则该函数的图象( ) A.关于直线x 对称 B.关于点( ,0)对称 C.关于直线x 对称 D.关于点( ,0)对称 【解析】选B.由题意知T ，则2，所以f(x) sin(2x+ )，又f( )sin( )sin 0，故图象关 于点( ,0)对称.,6.y 的最大值为_,此时x_. 【解析】当cos(x+ )1时， 函数y23cos(x+ )取得最大值5， 此时x 2k,kZ，从而x 2k，kZ. 答案：5 2k，kZ,考点1 三角函数的定义域与值域 【典例1】(1)函数y=2sin( )(0x9)的最大值与最小值之和为( ) A.2- B.0 C.-1 D.-1- (2)函数f(x)=1-2sin2x+2cos x的最小值和最大值分别为( ) A.-1,1 B.- ，-1 C.- ，3 D.-2， (3)函数 的定义域是_.,【解题视点】(1)先由x的范围求出 的范围，再结合三角函数的性质求出函数的最值 (2)利用平方关系将sin x用cos x表示，再利用二次函数求解. (3)由三角函数的正弦线、余弦线及单位圆进行作图求解.,【规范解答】(1)选A.利用三角函数的性质先求出函数的最值. 因为0x9，所以 所以 所以y- ，2，所以ymax+ymin= (2)选C.因为f(x)=1-2sin2x+2cos x=1-2(1-cos2x)+2cos x= 2cos2x+2cos x-1= 又因为xR，所以cos x-1,1. 所以当cos x= 时，f(x)有最小值，且f(x)min= 当cos x=1时，f(x)有最大值，且f(x)max=3.,(3)由题意，得 即 首先作出sin x= 与cos x= 表示的角的终边(如图所示).,由图可知劣弧 和优弧 的公共部分对应角的范围是 所以函数的定义域为 答案:,【规律方法】 1.三角函数定义域的求法 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.,2.三角函数值域的三种求法 (1)直接法:利用sinx,cosx的值域. (2)化一法:化为y=Asin(x+)+k的形式逐步分析x+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域. (3)换元法:把sinx或cosx看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.,【变式训练】函数ysin xcos xsin xcos x，x0，的最小值是_. 【解析】设sin xcos xt， 因为x0，所以 所以t1， ，sin xcos x 所以 当t1时，ymin1. 答案：1,【加固训练】 1.函数 的定义域为_. 【解析】要使函数有意义，必须使sin x-cos x0. 利用图象.在同一坐标系中画出0,2上y=sin x和y=cos x的图象，如图所示.,在0,2内，满足sin x=cos x的x为 再结合正弦、 余弦函数的周期是2，所以定义域为 x| +2kx +2k,kZ. 答案：x| +2kx +2k,kZ,2.函数y 的值域为_. 【解析】由y 得cos x 因为1cos x1，所以1 1，解得 因此，原函数的值域为 答案：,考点2 三角函数的单调性 【典例2】(1)函数y=sin( -2x)的减区间是 . (2)(2014绍兴模拟)若函数f(x)=2sinx(0)在 上单调递增,则的最大值为 . 【解题视点】(1)将x的系数化为正数后再求解. (2)根据 是相应增区间的子集构造不等式求解或转化 为周期关系求解.,【规范解答】(1)ysin( -2x)可化为 ysin(2x- ). 令2k 2x 2k ，kZ， 得k xk ，kZ. 所以xR时，ysin( -2x)的减区间为 kZ. 答案： kZ,(2)方法一：由2k x2k ，kZ, 得f(x)的增区间是 ，kZ. 因为f(x)在 上是增函数， 所以 . 所以 且 ，又因为0,所以(0, . 因此的最大值为 .,方法二：因为x ,0. 所以x , 又f(x)在区间 上是增函数， 所以 ， 则 得0 因此的最大值为,方法三：因为f(x)在区间 上是增函数，故原点到 的距离不超过 ，即 ，得T ,即 , 又0，得0 因此的最大值为 答案：,【互动探究】在本例(1)中函数不变，求函数在，0上 的单调递减区间. 【解析】方法一：xR时，ysin( -2x)的减区间为k- ,k+ ，kZ.令k0得 ；令k1得 ，故x，0时，ysin( -2x)的减 区间为-, ， ,0.,方法二：因为x0， 所以 结合正弦曲线， 由 解得 由 解得 所以单调减区间为-, ， ,0.,【规律方法】求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法:所谓代换法,就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间. (2)图象法:函数的单调性表现在图象上是:从左到右,图象上升趋势的区间为单调递增区间,图象下降趋势的区间为单调递减区间,画出三角函数的图象,结合图象易求它的单调区间. 提醒:求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域.,【变式训练】函数 的递减区间是_. 【解析】y的递减区间为cos 2x的递增区间，同时注意 cos 2x0，所以有2k 2x2k(kZ)，k xk(kZ)，其递减区间为(k ，k(kZ). 答案：(k ，k(kZ),【加固训练】 1.下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是( ) A.(0，) B.(- ,0) C.( ,2) D.(-,- ) 【解析】选D.作出函数y2|cos x|的图象，结合图象可判断选D.,2.比较下列各组数的大小： (1)cos( )与 . (2)cos 1,sin 1. 【解析】(1)cos( )=cos =cos(- )=-cos ; 而 因为 所以 所以 所以,(2)因为cos 1=sin( -1)，而0 -11 , 且y=sin x在0, 上单调递增， 所以sin( -1)sin 1，即cos 1sin 1.,考点3 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 【考情】三角函数的奇偶性与周期性、对称性在高考中以选择题、填空题或解答题的某一问的形式出现，考查对称中心与对称轴、奇偶性的判断等问题.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014湖州模拟)函数y2sin(3x) (| )的一条对称轴为x ，则_. (2)(2014舟山模拟)函数f(x) (0)在一个周期内的图象如图所示，A为图 象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且 ABC为正三角形,则_.,【解题视点】(1)根据对称轴方程求或利用对称轴处函数取最值求解. (2)利用相邻的两个对称中心之间的距离为半个周期求解.,【规范解答】(1)方法一：由ysin x的对称轴为xk (kZ)，即3 k (kZ)，得k (kZ) 又| ，所以k0，故 . 方法二：因为x 是函数y2sin(3x)(| )的一条 对称轴，故当x 时，函数y2sin(3x)取得最值，即 f( )2，故2sin( )2，得 得k (kZ).又| ，所以k0，故 . 答案：,(2)正三角形ABC的高为2 ，从而BC4. 所以函数f(x)的周期T428， 即 答案：,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2012福建高考)函数f(x)sin(x- )的图象的一条对称 轴是( ) A.x B.x C.x D.x,【解析】选C.方法一：(图象特征) 因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x k ，kZ，所以xk ，kZ. 取k1，则x . 方法二：(验证法) x 时，sin（ ）0，不合题意，排除A；x 时， sin( ) ，不合题意，排除B；x 时，sin(- - )1，符合题意，C项正确；而x 时，sin(- - ) 不合题意，故D项也不正确.,2.(2012新课标全国卷)已知0,0，直线x 和x 是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则 ( ) 【解析】选A.由于直线x 和x 是函数f(x)sin(x )图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T 2，所以1，所以 k (kZ).又0， 所以 .,3.(2014无锡模拟)函数f(x)=Asin(x+) (A0,0)的图象如图所示,则f(1)+f(2)+ f(3)+f(2013)= . 【解析】由图可得:T=8,A=2,可取0. 且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0, 所以f(1)+f(2)+f(2013)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) = +2. 答案:2+,4.(2014绍兴模拟)已知函数y=Acos( x+)(A0)在一个周 期内的图象如图所示,其中P,Q分别是这段图象的最高点和最低 点，M，N是图象与x轴的交点，且PMQ=90，则A的值为_.,【解析】由y=Acos( x+)知,函数的周期 设M(x0,0)， 则P(x0+3,A),Q(x0+1,-A)，又PMQ=90，故kPMkQM= =-1，解得A2=3，又A0，故A= . 答案：,【加固训练】 1.(2014哈师大附中模拟)若函数f(x)=Asin2x(A0,0)在x=1处取得最大值,则f(x+1)的奇偶性为( ) A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数,【解析】选A.因为f(x)=Asin2x在x=1处取得最大值,故f(1)=A,得2= +2k,kZ.因此,f(x+1)=Asin(2x+2) =Asin( )=Acos2x,故f(x+1)是偶函数.,2.(2012上海高考)若Sn= (nN*),则在 S1,S2,S100中,正数的个数是( ) A.16 B.72 C.86 D.100 【解析】选C.因为函数f(x)=sin 的最小正周期为T=14, 又 所以在S1,S2,S3,S13,S14中,只有S13=S14=0,其余均大于0. 由周期性可知,在S1,S2,S100中共有14个0,其余都大于0, 即共有86个正数.,3.已知函数 (1)判断f(x)的奇偶性. (2)求f(x)的最小正周期. 【解析】(1)由cos2x0得2xk+ ,kZ, 解得 kZ, 所以f(x)的定义域为x|x ，kZ. 当x ,kZ时, f(x)=,又f(x)的定义域关于原点对称. 所以f(x)是偶函数. (2)因为f(x)=3cos2x-1= 所以函数的最小正周期为T= =.,【巧思妙解4】巧用对称性解决奇偶性问题 【典例】(2014金华模拟)若函数f(x)2sin(2x+- ) (0)是偶函数，则_.,【解析】常规解法： 因为f(x)为偶函数，所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立， 因此 即 整理得 因为xR,所以 又因为0， 故 所以 答案：,巧妙解法:因为f(x)为偶函数， 所以函数y= f(x)的图象关于x=0对称， 故当x=0时函数取得最值，即f(0)2， 所以2sin( )2， 从而 又因为0，故= 答案：,【解法分析】,【小试牛刀】(2014昆明模拟)若函数f(x)=cos(2x+- )(0)是奇函数，则=_. 【解析】常规解法：因为f(x)为奇函数， 所以对xR,f(-x)=-f(x)恒成立， 因此 即 整理得,因为xR,所以 又因为0， 故 所以 答案：,巧妙解法：因为f(x)为奇函数， 所以函数y=f(x)的图象关于点(0，0)对称， 故f(0)=0，所以 从而 又因为0，故 答案：,
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