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9.6 双曲线,知识梳理,考点自测,1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两焦点间的距离叫做 . 集合P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a0,c0. (1)当 时,点P的轨迹是双曲线; (2)当 时,点P的轨迹是两条射线; (3)当 时,点P不存在.,距离的差的绝对值,双曲线的焦点,双曲线的焦距,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2a|F1F2|,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,坐标轴,原点,(-a,0),(a,0),(0,-a),(0,a),a2+b2,2a,2b,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,D,知识梳理,考点自测,D,知识梳理,考点自测,5,2,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解析: (1)如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点M到两定点C1,C2的距离的差是常数且小于|C1C2|. 根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a=1,c=3,则b2=8. 故点M的轨迹方程为 (x-1).,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考如何灵活运用双曲线的定义求方程或者解焦点三角形? 解题心得双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程;二是在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|PF2|的联系.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,D,B,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,双曲线的几何性质(多考向) 考向1 求双曲线的渐近线方程,B,思考双曲线的离心率与渐近线的方程有怎样的关系?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向2 求双曲线的离心率,D,B,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求双曲线的离心率需要建立谁与谁的关系?,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考向3 由离心率或渐近线求双曲线方程,B,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考求双曲线方程的一般思路是怎样的?,2.求双曲线方程的一般思路是利用方程的思想,把已知条件转化成等式,通过解方程求出a,b的值,从而求出双曲线的方程. 3.涉及过原点的直线与双曲线的交点,求离心率的取值范围问题,要充分利用渐近线这个媒介,并且要对双曲线与直线的交点情况进行分析,最后利用解三角形或不等式等知识解决问题.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,C,A,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,双曲线与圆的综合问题,C,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,思考如何解答双曲线与圆的综合问题? 解题心得解答双曲线与圆的综合问题一般要画出几何图形,多借助圆的几何性质,挖掘出隐含条件、如垂直关系、线段或角的等量关系等.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,C,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,1.双曲线的标准方程的两种形式的区分要结合x2,y2前系数的正负. 2.关于双曲线离心率的取值范围问题,不要忘记双曲线离心率的取值范围是(1,+).,4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况. 5.当直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,高频小考点求圆锥曲线的离心率 圆锥曲线的离心率是高考中常考的问题,通常有两类:一是求离心率的值;二是求离心率的取值范围.由于它涉及圆锥曲线较多的基本量,以及方程与曲线问题、方程组与不等式的求解问题,因此解题过程比较复杂,通过本专题让学生领悟其解题方法.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,典例1已知A,B为双曲线E的左、右顶点,点M在E上,ABM为等腰三角形,且顶角为120,则E的离心率为 ( ),答案:D 解析:,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,答案:A,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,答案:A 解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k0, 分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,答案:C,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,答案:A 解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2. 因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,考点一,考点二,考点三,学科素养微专题,反思提升离心率是圆锥曲线的重要几何性质之一,是高考中常考的问题.此类问题要么直接求出参数a和c,进而通过公式 求离心率;要么先列出参数a,b,c的关系式,再转化为只含有a和c的关系,进而得出离心率.求解离心率的取值范围除了借助椭圆本身的属性,有时还要借助不等式知识及椭圆的范围等几何特点.,
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