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第一部分 教材梳理,第3节 一元一次方程,第二章 方程与不等式,知识要点梳理,概念定理,1. 一元二次方程 (1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程. (2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a0)，它的特征是：等式左边为一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项， a 叫做二次项系数；bx叫做一次项， b 叫做一次项系数； c 叫做常数项.,2. 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法，叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如(x+a)2=b的一元二次方程.根据平方根的定义可知，x+a是b的平方根，当b0时，x+a= ，x=-a ，当b0时，方程没有实数根. (2)配方法 配方法的理论根据是完全平方公式：a02ab+b2=(a b)2，把公式中的a看作未知数x，并用x代替，则有x22bx+b2 =(xb)2. 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上一次项系数的一半的平方，最后配成完全平方公式.,(3)公式法 公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式： 公式法的步骤：把一元二次方程的各系数分别代入求根公式，然后计算得出结果即可，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c. (4)因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的思想，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求出方程的解的方法，它是解一元二次方程最常用的方法.,方法规律,1. 直接开平方法是解一元二次方程最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法.公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法). 在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解. 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程.,2. 一般解一元二次方程最常用的方法是因式分解法，在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数. 3. 如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实数根是x1，x2，那 么 也就是说，对于任何一个有实 数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.,中考考点精讲精练,考点1 一元二次方程的解法,考点精讲 【例1】(2015广东)解方程：x2-3x+2=0. 思路点拨：把方程的左边利用十字相乘法因式分解为(x-1)(x-2)，再利用积为0的特点求解即可. 解：将方程因式分解,得(x-1)(x-2)=0. x-1=0或x-2=0. 解得x1=1，x2=2.,解题指导：解此类题的关键是掌握用因式分解法解一元二次方程的基本思路和步骤. 解此类题要注意以下要点： (1)解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种； (2)求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重点在于掌握求根公式和因式分解的方法.,考题再现 1. (2012佛山)用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时，方程变形正确的是 ( ) A. (x-1)2=2 B. (x-1)2=4 C. (x-1)2=1 D. (x-1)2=7 2. (2014珠海)填空：x2-4x+3=(x- )2-1. 3. (2013佛山)方程x2-2x-2=0的解是 . .,B,2,A,B,考题预测 4. 已知关于x的一元二次方程x2+x+c=0有一个解为x= 1，则c的值为 ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 5. 方程4x2-kx+6=0的一个根是2，那么k的值和方程的另一个根分别是 ( ),6. 解下列方程： (1)(x-2)2=25； (2)2x2-3x-4=0；,解：两边直接开平方,得x-2=5. 即x-2=5或x-2=-5. 解得x1=7，x2=-3.,解：用公式法，已知a=2，b=-3，c=-4， =b2-4ac=9+424=41. 即,(3)x2-2x=2x+1； (4)2x2+14x-16=0.,解：原方程变形,得 x2-4x-1=0. 由a=1，b=-4，c=-1， 得=b2-4ac=16+411=20. 即,原方程变形,得x2+7x-8=0. 因式分解,得(x+8)(x-1)=0. x+8=0或x-1=0. 解得x1=-8，x2=1.,考点2 一元二次方程根的情况,考点精讲 【例2】(2015广东)若关于x的方程 有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( ) A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 思路点拨：根据判别式的意义得=12-4 0，然后解一元一次不等式即可. 答案：C,解题指导：解此类题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系. 解此类题要注意以下要点： 一元二次方程根的情况与判别式的关系： (1)0 方程有两个不相等的实数根； (2)=0 方程有两个相等的实数根； (3)0 方程没有实数根.,考题再现 1. (2014广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为 ( ) 2. (2015珠海)一元二次方程x2+x+ =0的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定根的情况,B,B,3. (2014深圳)下列方程没有实数根的是 ( ) A. x2+4x=10 B. 3x2+8x-3=0 C. x2-2x+3=0 D. (x-2)(x-3)=12,C,4. (2015梅州)已知关于x的方程x2+2x+a-2=0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.,解：(1)b2-4ac=22-41(a-2)=12-4a0， 解得a3. a的取值范围是a3. (2)设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： 解得 a的值是-1，该方程的另一根为-3.,考题预测 5. 关于x的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是 ( ) 6. 若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是 ( ) A. a1 B. a1 C. a1 D. a1,D,B,A,D,7. 已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ( ) 8. 若关于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有实数根，则k的取值范围是 ( ),考点3 一元二次方程的应用,考点精讲 【例3】(2013广东)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”的赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； (2)按照(1)中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款？,思路点拨：(1)解答此题利用的数量关系是：第一天收到捐款钱数(1+每次增长的百分率)2=第三天收到捐款钱数，设出未知数，列方程解答即可； (2)第三天收到捐款钱数(1+每次增长的百分率)=第四天收到捐款钱数，依此列式解答即可. 解：(1)设捐款增长率为x，根据题意列方程得 10 000(1+x)2=12 100. 解得x1=0.1，x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：捐款增长率为10%. (2)12 100(1+10%)=13 310元. 答：第四天该单位能收到13 310元捐款.,解题指导：解此类题的关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程并求解. 解此类题要注意以下要点：增长率问题通常为一元二次方程的重点应用问题，备考时应多加练习掌握.,考题再现 1. (2015广州)已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为 ( ) A. 10 B. 14 C. 10或14 D. 8或10 2. (2015佛山)如图2-3-1，将一块正方 形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边 减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面 积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边 长是 ( ) A. 7 m B. 8 m C. 9 m D. 10 m,B,A,3. (2013湛江)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降.由原来每斤12元连续两次降价a%后售价下调到每斤5元，下列所列方程中正确的是 ( ) A. 12(1+a%)2=5 B. 12(1-a%)2=5 C. 12(1-2a%)=5 D. 12(1-a2%)=5,B,4. (2015珠海)白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷. (1)求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率； (2)若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？,解：(1)设绿地面积的年平均增长率为x，根据题意得 57.5(1+x)2=82.8. 解得x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去). 答：该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率为20%. (2)由题意得 82.8(1+0.2)=99.36(万元). 2015年不能达到100公顷. 答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷.,5. (2015广州)某地区2013年投入教育经费2 500万元，2015年投入教育经费3 025万元. (1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； (2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元.,解：(1)设增长率为x，根据题意得 2 500(1+x)2=3 025. 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去). 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%. (2)3 025(1+10%)=3 327.5(万元). 答：预计2016年该地区将投入教育经费3 327.5万元.,考题预测 6. 如图2-3-2，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m的住房墙，另外三边用25 m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？,解：设矩形猪舍垂直于住房墙一 边长为x m，可以得出平行于墙的一边 的长为(25-2x+1)m，由题意得 x(25-2x+1)=80. 化简，得x2-13x+40=0. 解得x1=5，x2=8. 当x=5时，26-2x=1612(舍去)， 当x=8时，26-2x=1012， x=8,26-2x=10. 答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m.,7. 新兴商场经营某种儿童益智玩具.已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰好为2 520元？,解：设每件玩具上涨x元，则售价为(30+x)元， 根据题意，得(30+x-20)(230-10x)=2 520. 整理方程，得x2-13x+22=0. 解得x1=11，x2=2. 当x=11时，30+x=4140， x=11(不合题意，舍去). x=2. 每件玩具售价应定为：30+2=32(元). 答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰好为 2 520元.,8. “创卫工作人人参与，环境卫生人人受益”，我区创卫工作已进入攻坚阶段.某校拟整修学校食堂，现需购买A，B两种型号的防滑地砖共60块，已知A型号地砖每块80元，B型号地砖每块40元. (1)若采购地砖的费用不超过3 200元，那么，最多能购买A型号地砖多少块？ (2)某地砖供应商为了支持创卫工作，现将A，B两种型号的地砖单价都降低a%，这样，该校花费了2 560元就购得所需地砖，其中A型号地砖a块，求a的值.,解：(1)设购买A型号地砖x块，由题意得 80x+40(60-x)3 200. 解得x20. 答：最多能购买A型号地砖20块. (2)由题意得 80(1-a%)a+40(1-a%)(60-a)=2 560. 解得a1=a2=20. 经检验，a=20符合题意. 答：a的值为20.,
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