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等比数列概念,1,回顾,从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数,公差(d),d可正可负,且可以为零,2,（2） 一位数学家说过：你如果能将一张纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬上月球。,以上两个实例所包含的数学问题:,（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”,3,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 比 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比（q）。,一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 差 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列 ，这个常数叫做等差数列的公差（d）。,等比数列,等差数列,等比数列概念,4,(1) 1，3，9，27，81，,(3) 5，5，5，5，5，5，,(4) 1，-1，1，-1，1，,是,公比 q=3,是,公比 q= x,是,公 比q= -1,(7),(2),是,公比 q=,观察并判断下列数列是否是等比数列:,是,公比 q=1,(5) 1，0，1，0，1，,(6) 0，0，0，0，0，,不是等比数列,不是等比数列,5,(1) 1，3，9，27，,(3) 5， 5， 5， 5，,(4) 1，-1，1，-1，,(2),(5) 1，0，1，0，,(6) 0，0，0，0，,1. 各项不能为零,即,2. 公比不能为零,即,4. 数列 a, a , a , ,时,既是等差数列 又是等比数列;,时,只是等差数列 而不是等比数列.,3. 当q0，各项与首项同号 当q0，各项符号正负相间,对概念的更深理解,6,等差数列通项公式的推导:,方法一:(叠加法),7,等比数列通项公式的推导：,(n-1)个 式子, ,方法一:叠乘法, ,方法二:归纳法,8,等比数列的通项公式,当q=1时，这是一个常函数。,等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为,9,在等差数列 中,试问：在等比数列 中，如果知道 和公比q，能否求 ？如果能，请写出表达式。,变形结论:,10,等比中项的定义,如果在a与b中间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G就叫做a与b的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得,11,例1 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.,解：设这个等比数列的第1项是 ,公比是q ，那么,解得， ，,因此,答：这个数列的第1项与第2项分别是 与 8.,典型例题,12,（2）一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.,(1)一个等比数列的第5项是 ,公比是 ，求它的第1项；,解得，,答：它的第一项是36 .,解：设它的第一项是 ，则由题意得,解：设它的第一项是 ，公比是 q ，则由题意得,答：它的第一项是5，第4项是40.,，,因此,13,等比数列的例题,它是一个与n无关的常数，,即为,14,例3、等比数列 a n 中， a 4 a 7 = 512，a 3 + a 8 = 124, 公比 q 为整数，求 a 10.,法一：直接列方程组求 a 1、q。,法二：在法一中消去了 a 1，可令 t = q 5,法三：由 a 4 a 7 = a 3 a 8 = 512, 公比 q 为整数, a 10 = a 3q 10 3,= 4(-2) 7,= 512,合作交流,15,小结,从第2项起,每一项与它前一项的比等同一个常数,公比(q),q可正可负,但不可为零,从第2项起,每一项与它前一项的差等同一个常数,公差(d),d可正可负,且可以为零,16,
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