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年 级：高二 辅导科目： 数学 课时数：3课 题 数列的极限（三）教学目的1、 理解数列极限的概念；2、 掌握数列极限的运算法则；3、 掌握常用的数列极限。4、掌握公比0，则特别地 设q(-1，1)，则qn=0；或不存在。若无穷等比数列叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的和）为：关于无穷等比数列各项和：1、 使用条件：若公比为，则的范围是_;2、 常见的应用：循环小数化分数；几何应用。【典型例题讲解】例1、求下列极限。(1)(-) (2)(-) (3)(+) (4)(a1)解： (1) (2) (3) (4)当|a|1时，原式=a；当a=-1时极限不存在变式练习：（1）（2）例2、已知=5，求常数a、b、c的值。解：a=0，b=，c=变式练习：若=5，求常数a、b、的值。 例3、设无穷等比数列满足，求首项的取值范围。解：。变式练习：在等比数列中，a11,前项和Sn满足，那么a1的取值范围是（ ） （A）（1，） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，）例4、以正方形ABCD的四个顶点为圆心，以正方形的边长a为半径，在正方形内画弧，得四个交点，再在正方形内用同样的方法得到又一个正方形，这样无限的继续下去，求所有这些正方形的面积之和（包括正方形ABCD）.解：（提示）变式练习：设T1，T2，T3为一组多边形，其作法如下：T是边长为1的三角形以Tn的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该1/3线段抹去所得的多边形为Tn+1，如图所示。令an表示Tn的周长，A(Tn)表示Tn的面积。()计算T1，T2，T3的面积A(T1)，A(T2)，A(T3)()求(+)的值。解：()A(T1)=11sin60=A(T2)=3sin60+A(T1)= A(T3)=12sin60+A(T2)=()由分析知 an=an-1(Tn的边数是Tn-1边数的4倍且每边是原来的1/4)故 an=3()n-1=()n-1(+)=注：本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识，由变化情况来分析周长、面积的变化情况，掌握其规律，将规律与数列联系起来。求面积时，要利用面积公式及对称性，然后由数递推数列来求答。能力点：由图像变化联系数列知识。例5、已知公比的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。（1） 求数列的首项和公比；（2） 对给定的，设是首项为，公差为的等差数列。求的前10项之和；（3） 设为数列的第项，。求，并求正整数，使得存在且不等于零。（注：无穷等比数列各项和即当时该无穷等比数列前项和的极限）解：（）.依题意得，代入得，得，解得，代入得即，（）.由（）知，所以所以，数列是以2为首项，3为公差的等差数列，记的前项和为，所以，（）.由（）知，所以，所以，令，所以，所以所以，当存在且不为零时，。【练习】一、填空：1、求极限：（1）_； （2）_； （3）_； （4）=_； （5）=_；（6）_2、已知 ，则3、4、5、6、=_.7、.8、=_. 9、=_.10、一个无穷等比数列的各项和为9，各项平方和为27，则.11、设等比数列an（nN）的公比q=,且（a1+a3+a5+a2n1）=,则a1=_.12、首项为1，公比为q(q0)的等比数列前n项和为Sn，则13、设数列是公比的等比数列，是它的前项和，若，那么的的取值范围是_.14、无穷等比数列中，若任何一项都等于该项后所有项之和，则此数列的公比是_.15、“无穷等比数列和的极限存在”是“”的_条件.【答案】一、填空：1、（1）0；（2）3；（3）0；（4）-1；（5）1；（6）2、0，-12 3、2 4、 5、-1 6、 7、0 8、 9、 10、11、2 12、 13、 14、 15、充要二、选择16、已知数列an中，a1=1，2an+1=an(n=1，2，3)，则这个数列前n项和的极限是（ ）A、2 B、 C、3 D、17、已知a、b是互不相等的正数，则（ ）A、1 B、1或1 C、0 D、1或018、n（1）（1）（1）（1）等于（ ）A、0 B、1 C、2 D、319、在等比数列中，a11,前项和Sn满足，那么a1的取值范围是（ ） A、（1，） B、（1，4） C、（1，2） D、（1，）20、等比数列an中，a1=1,前n项和为Sn，若则（ ）A、 B、 C、2 D、221、已知数列（）为等差数列，且，则（ ）A、 B、 C、 D、22、若数列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则 的值是( )A、1 B、2. C、. D、.【答案】16、A 17、B 18、C 19、D 20、B 21、C 22、B三、解答题：23、求极限：解：原式= =+ =24、在等比数列中，是数列前项和，公比，求.解：1）当时，； 2）当时， 当时， 当时，25、已知等比数列an的首项为a1,公比为q,且有（qn）=，求首项a1的取值范围.解：当时，（qn）=1=，得 当时，（qn）=qn=，得，= 综上所述，26、已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前n项和为，若，求的取值范围。解：当时，满足条件； 当时，1） 当时，满足条件2） 当时，不满足条件3） 当时，不满足条件 综上所述，27、是无穷等比数列，且所有项和存在，解答下列问题： 若，求的范围； 若，求公比的范围。解：由条件得，即，由，得解：由条件得， 当时， 1） 当时，2） 当时，满足条件3） 当时， n趋近于无穷大时，无穷大，恒大于4） 当时，n趋近于无穷大时，既可以趋近无穷大，也可以趋近无穷小，不满足条件。 当时， 1） 当时，2） 当时，满足条件3） 当时，n趋近于无穷大时，无穷大，不合条件4） 当时，n趋近于无穷大时，既可以趋近无穷大，也可以趋近无穷小，不合条件综上所述，当时，；当时，28、已知数列an、bn都是无穷等差数列,其中a1=3,b1=2,b2是a2与a3的等差中项,且 =,求an、bn的通项解：设等差数列an的公差为，bn的公差为，则，由条件得 ，联立得， 所以，29、两个数列、中，成等差数列，且成等比数列。（一） 证明是等差数列；（二） 若的值。（1）证明：由条件得， ，代入，得 所以是等差数列 （2）由，由， 得 由30、已知且，求a的取值范围。右边=，右边=，当，即时，左边=右边
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